五章 图像变换

电子科技大学光电信息学院二○一二年3月15日第五章图像变换Chapter5ImageTransform彭真明E-mail:zmpeng@

pengzm_ioe@163.com主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换Walsh-Hadamard变换K-L变换小波变换图像变换的新方法介绍主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换Walsh-Hadamard变换K-L变换小波变换图像变换的新方法介绍求反运算—获得阴图像什么叫图像变换？——直接灰度变换图像变形什么叫图像变换？——几何变换图像模糊什么叫图像变换？——空间滤波什么叫图像变换？——空间域变换F(x’,y’)变换(T)f(x,y)空间域图像变换变换域空间域几何变换、灰度变换、图像滤波处理等）什么叫图像变换？频率域——频域变换PcPRF=PcfPRTf=QcFQRTf(x,y)输入F(u,v)输出T变换矩阵什么叫图像变换？F=Tf图像变换

——通过运用不同的变换核（kernel）对图像进行处理，以突出所需要的图像特征。核的模型可以从数学上去讨论它的转换方法。什么叫图像变换？定义1:设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的，V都有(A，A)=(，)，则称A为V的正交变换。什么叫图像变换？定理1:设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列命题等价:1)A是正交变换。

2)A保持向量的长度不变,即对于V，|A|=||。

3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基。

4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.注：由单位向量构成的正交基称为标准正交基。

什么叫图像变换？正交矩阵正交矩阵有以下几种等价定义：

定义2.1:A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵。

定义2.2:A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为正交矩阵。

定义2.3:A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为正交矩阵。

定义2.4:A为n阶实矩阵，若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵。图像的正交变换F

=Tf设有以下图像变换：若变换矩阵T为正交矩阵，则称以上变换为图像的正交变换。若P1、P2为T分离后得到的变换矩阵，则称为可分离正交变换，且P1、P2也为正交矩阵。常见的图像变换方法：什么叫图像变换？

FourierTransform(傅立叶变换)DiscreteCosineTransform(离散余弦变换)

WalshTransform(沃尔什变换)

HadamardTransform(哈达玛变换)

Karhunen-LoeveTransform(K-L变换)

WaveletTransform(小波变换)

……主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换Walsh-Hadamard变换K-L变换小波变换图像变换的新方法介绍二、傅立叶变换傅立叶变换提出:傅立叶（Fourier）：法国数学家，1768年生。1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅立叶级数。傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和。傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分。逆变换可以重建原函数。应用:信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现）。二、傅立叶变换=++++n=0n=1n=2n=3n=4分解（正变换）合成（逆变换）欧拉公式：1、Fourier变换的基函数一维基函数：二维基函数：对函数f(x)进行傅立叶变换得到F(u)其逆变换，即将F(u)变换到f(t)为：2.一维连续Fourier变换f(x)的傅立叶变换F(u)往往是虚数，可用复数形式表示为：定义幅值为：定义相位为：2.一维连续Fourier变换用幅值和相位来表示傅立叶变换f(x)的能量谱(或功率谱)：2.一维连续Fourier变换正变换：逆变换：3.一维离散Fourier变换Fourier变换和频率域例析信号的（功率谱）频谱Fourier变换和频率域例析含噪信号的（功率谱）频谱对于二维信号，定义为：4.二维连续Fourier变换正变换：逆变换：5.二维离散Fourier变换正变换：逆变换：同样有：频谱(幅度):相位角:功率谱(能量谱):5.二维离散Fourier变换E/2-/2f(t)t6.空间域与频率域的关系一维(1D)变换结果：二维(2D)变换结果：6.空间域与频率域的关系幅值相位幅值恢复相位恢复图像

f(x,y)的功率谱|F(u,v)|2=F(u,v)F*(u,v)高频分量低频分量图像灰度分布6.空间域与频率域的关系傅立叶谱：|F(u,v)|=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2相位:(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v))6.空间域与频率域的关系幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多少。相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位置。

平移特性

旋转特性尺度变换（缩放）周期性和共轭对称性统计特性(平均值)

可分离性

卷积定理

相关定理7.傅立叶变换的性质平移特性7.傅立叶变换的性质幅值不变|F(u,v)|相角变化-2(ux0+vy0)/N频移(u0,v0)空域f(x,y)被另一函数e2(u0x+v0y)/N所调制空域频域任何一点的DFT可以用某点的DFT乘以两点间相角的变化得到。图像背景噪音可采用频移方法消除干扰，获得清晰图像。平移特性7.傅立叶变换的性质图像为了分析傅立叶频谱，常将傅氏频谱原点移到矩阵N×N中心。图像f(x,y)乘上(-1)x+y因子后进行DFT变换平移特性7.傅立叶变换的性质原图频谱(0值未平移)频谱(0值移到中心)平移性质7.傅立叶变换的性质3D频谱(0值未平移)3D频谱(0值移到中心)7.傅立叶变换的性质旋转性质空域图像旋转角度对应于频域DFT函数旋转相同角度。7.傅立叶变换的性质尺度变换特性7.傅立叶变换的性质f(x,y)、F(u,v)都是以N为周期的离散函数。周期性和共轭对称性7.傅立叶变换的性质周期性和共轭对称性f(x,y)经过变换后的F(u,v)是以原点中心对称的。F(0,0)置于谱方阵的中心，其余各行各列的谱对中心都是共轭对称的。因此，DFT变换只需求半个周期内的值便可得到整个周期值。

7.傅立叶变换的性质统计特性(平均值)f(x,y)

F(u,v)

F(0,0)

可分离性7.傅立叶变换的性质

y不变，x方向每一行一维变换FT

x不变，y方向每一列一维变换FT卷积定理7.傅立叶变换的性质即:空间域的卷积运算对应频率域的乘积运算；频率域的卷积运算对应空间域的乘积运算。相关定理7.傅立叶变换的性质即：空间域的相关运算对应频率域的乘积运算；频率域的相关运算对应空间域的乘积运算。主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换Walsh-Hadamard变换K-L变换小波变换图像变换的新方法介绍为FT的特殊形式，被展开的函数是实偶函数的傅氏变换，即只有余弦项。变换核固定，利于硬件实现。计算复杂度适中，有快速算法FCT(类似FFT)。可分离特性，一次二维变换可分解为两次一维变换三、离散余弦变换（DCT）正变换：反变换：其中：三、离散余弦变换（DCT）三、离散余弦变换（DCT）原图

DCT系数

三、离散余弦变换（DCT）原图

DCT系数

图像变换的矩阵表示法三、离散余弦变换（DCT）则有：令三、离散余弦变换（DCT）一般地，若P是正交矩阵(酉矩阵)，则称：是图像的正交变换。注意到矩阵乘法的定义，可知：从理论推导可知，余弦变换是一种“特殊的”傅立叶变换，令：三、离散余弦变换（DCT）故,离散余弦变换(DCT)可表示为：A=im2double(imread('rice.png'));imshow(A)；P=dctmtx(size(A,1));dct=P*A*P';figureimshow(dct);三、离散余弦变换（DCT）A=imread('rice.png');imshow(A);dct=dct2(A);figureimshow(log(abs(dct)),[]);colormap(jet(64));colorbar注：任意矩阵求DCT注：方阵求DCT三、离散余弦变换（DCT）三、离散余弦变换（DCT）8x8DCT变换矩阵Matlab中,可用dctmtx(8)求出。主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换

Walsh-Hadamard变换K-L变换小波变换图像变换的新方法介绍Walsh变换上节介绍的FFT、DCT都属于正弦型变化，其变换核函数都是正弦函数型的。还有几种常用于数字图像处理的变换，它们的基函数不是正弦型函数，而是方波的各种变形，通常，这些变换计算速度都很快。沃尔什(Walsh)变换，是由+1和-1两个数值的基本函数的级数展开而构成的，它也满足正交特性。由于Walsh函数是二值正交函数，与数字逻辑中的两个状态相对应，因而很适合计算机处理。1D-Walsh变换沃尔什变换是一种可分离变换。当N=2n时，变换核为：

离散沃尔什变换W(u)为：

bk(x)是x的二进制表达中的第k位。例如n=3，则对x=7（111），有b0(x)=1，b1(x)=1，b2(x)=1。

对于N=2、4、8，Walsh变换核矩阵分别为：可以看出，Walsh变换核是一个对称矩阵，其行和列是正交的。核矩阵由：可得：可见，沃尔什变换本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按照一定规律改变，进行加减运算，因此，它的运算速度相当快。例：N=4的1D-Walsh变换沃尔什正、反变换核只相差1/N这个常数项，因此，计算沃尔什正变换的算法可以直接用来求反变换。沃尔什反变换核为：沃尔什反变换定义为：Walsh反变换二维沃尔什正变换核和反变换核由以下二式给出：

这两个变换核完全相同，所以下面给出的二维沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：

2DWalsh变换可分离性沃尔什变换核是可分离的：因此，二维沃尔什变换可以分成两步一维沃尔什变换进行。二维沃尔什变换矩阵表示为：二维沃尔什反变换矩阵表示为：下图给出n=4时沃尔什基本函数的图示，其中白色表示1，而阴影表示

–1。

2DWalsh变换基本函数例：N=4二维沃尔什变换(1)图像矩阵：变换核矩阵：二维沃尔什变换：图像矩阵：变换核矩阵：2DWalsh变换：由上述两个例子可以看出，Walsh变换具有能量集中性质，图像越均匀，能量越集中，因此Walsh变换也可用于图像压缩。例：N=4,2DWalsh变换(2)哈达玛(Hadamard)变换本质上是一种特殊排列的沃尔什变换，因此经常被称作沃尔什-哈达玛变换(DWT-DHT)。由于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用低阶矩阵求得，因此应用比沃尔什变换更为广泛。最小阶(N=2)的哈达玛矩阵是：

用HN代表N阶哈达玛矩阵，下式给出计算高阶哈达玛矩阵的迭代关系：

Walsh-Hadamard变换2、4、8阶Hadamard矩阵二维哈达玛正变换核和反变换核：二维哈达玛正变换核和反变换核都是可分离的和对称的，并且具有相同形式。因此二维哈达玛变换正变换和反变换也具有相同形式：

Hadamard变换数学表达例：4阶Hadamard变换基本函数以8阶哈达玛矩阵为例：矩阵右边的一列数表示相应的矩阵行的符号变换次数，注意，每一行的这个数都是不同的。这种符号的变化次数被称为这一行的列率(sequency)。列率(sequency)将哈达玛变换核矩阵的行重新排序，使得各行的列率递增。这样就产生了有序哈达玛变换核矩阵：有序Hadamard变换主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换Walsh-Hadamard变换

K-L变换小波变换图像变换的新方法介绍四、K-L变换Karhunen-Loeve(K-L)变换是建立在统计特性基础上的一种变换，也称为霍特林（Hotelling）变换，因他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。K-L变换的突出优点是均方误差(MeanSquareError,MSE)意义下的最佳变换。因此，在数据压缩技术中占有重要地位。假定:则X可用X=Y精确表示，即是两个n维随机向量。四、K-L变换正交矩阵四、K-L变换若用来表示X,即则与精确表示存在误差。即如何取{bi,i=m+1,…,n}和{i,i=1,2,…,n}，使均方差最小?四、K-L变换均方差：四、K-L变换我们可以：i

取为X的协方差矩阵Cx的特征向量。取Cx特征值作=[1,2,…,n]Hotelling变换由于{i}从大到小排列，从m+1到n的特征值和是最小的。选取Y方差最大的前m个分量表示原输入信号X。即四、K-L变换X的协方差矩阵记作：式中：四、K-L变换代表均值向量，则存在如下关系式：图像的K-L变换四、K-L变换A为一个正交变换矩阵(M×M)，且满足：其中，CX为图像X的协方差矩阵，λ为特征值，且求图像向量X的K-L变换，就是求图像协方差矩阵[Cx]的特征向量i，也称特征向量变换。

变换后M个yi分量恢复图像X的估计估计值误差K-L变换的输出误差最小准则等价于取方差最大的成分逼近，所以该最佳准则又称方差准则。四、K-L变换K-L变换有时也叫主成分分析（Principalcomponentanalysis，PCA）是图像变换中具有最佳性质的一种，常作为标准用来衡量其他变换性能的好坏。缺点：不利于硬件实现，软件运算量大，没有快速算法。四、K-L变换主要用途：四、K-L变换数据压缩（图像压缩）特征优化模式识别（如人脸识别）四、K-L变换主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换Walsh-Hadamard变换K-L变换

小波变换图像变换的新方法介绍五、WaveletTransform小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值计算等已有重大突破。随着小波分析在理论上的不断发展，其应用领域也在不断拓展。小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学显微镜”。五、小波变换(WaveletTransform)傅立叶变换的不足：五、小波变换(WaveletTransform)傅立叶变换的不足：用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。tf(t)时间振幅WtF(u)时间频率STFT加窗傅立叶变换(WindowFourierTransform)五、小波变换(WaveletTransform)五、小波变换(WaveletTransform)WindowFourierTransform注：分析中，一般要取小时窗，因此也叫短时傅立叶变换(Short-timefouriertransform,STFT)。ShortTimeFourierTransform(STFT)Gabortransform(1946)Wigner-VilleDistribution

(WVD)五、小波变换(WaveletTransform)窗口函数窗函数五、WaveletTransformGabor

transform(1946)

(1900-1979)

Gabor变换是为了提取信号Fourier变换的局部信息，使用了一个Gauss函数作为窗函数。它属于加窗傅立叶变换，Gabor函数可以在频域不同尺度、不同方向上提取相关的特征。五、WaveletTransformWigner-Ville

Distribution

(1902-1995)在Wigner-Ville分布中使用解析信号g(t)而不是原实际信号x(t)的优点在于:

第一,解析信号的处理中只采用频谱正半部分,因此不存在由正频率项和负频率项产生的交叉项；第二,使用解析信号不需要过采样,同时可避免不必要的畸变影响。五、WaveletTransformWigner-Ville

Distribution

五、WaveletTransform如输入信号为：GaborWDF五、WaveletTransform“小波”（wavelet)就是一种“尺度”很小的波动，并具有时间和频率特性。

时间A时间B什么是小波？

五、WaveletTransform小波函数必须满足以下两个条件的函数：小波必须是振荡的；小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：图1小波例1图2小波例2五、WaveletTransform不符合小波特点的例子图4图3五、WaveletTransform什么是小波？

小波基表示发生的时间和频率“时频局域性”图解：Fourier变换的基(上)小波变换基(中)和时间采样基(下)的比较时间采样基小波基Fourier基WT:其中，a—伸缩因子；b—平移因子，反映了时空域的位置五、WaveletTransform连续小波变换的数学表达式

IWT:五、WaveletTransform连续小波变换示意图小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较.计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高.小波右移k得到的小波函数为ψ(t-k)

，然后重复步骤1和2，……直到信号结束.扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)

重复步骤1~4.1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。δ函数,时域定位完全准确，频域无任何定位能力1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码(subbandcoding),多采样率滤波器组(multiratesamplingfilterbank).1910年Harr提出规范正交基。1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。1984年,Morlet提出了连续小波。1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基。1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。1988年,Daubecies在NSF/CBMS的小波专题研讨会进行了讲座。小波分析发展简史

概念：小波基小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定滤波系数生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是对称的，有的是非对称的。小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这是Daubechies等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础。概念：尺度函数φ与小波函数ψf=sin(t),a=1f=sin(2t),a=1/2f=sin(4t),a=1/4概念：尺度函数φ与小波函数ψf=ψ(t),a=1f=ψ

(2t),a=1/2f=ψ

(4t),a=1/4时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动，如图所示。概念：时间平移概念：尺度函数φ与小波函数ψ尺度函数(Scalingfunction,φ,phi)

—父小波函数；—近似空间（低频）；小波函数(Waveletfunction,Ψ,psi)

—母小波函数；—细节空间（高频）构成Vj+1的正交基。满足下列关系式（二尺度方程）：五、WaveletTransform离散小波变换中的φ(x)与Ψ(x)

五、WaveletTransform部分小波函数ψ(x)及其尺度函数φ(x)基函数和滤波系数(Haar)

“近似”基函数“细节”基函数分解低通滤波器分解高通滤波器重构低通滤波器重构高通滤波器Lo_D={0.70710.7071}Hi_D={-0.70710.7071}Lo_R={0.70710.7071}Hi_R={0.7071-0.7071}

基函数和滤波系数(db4-正交,不对称)基函数和滤波系数(sym4-正交,近似对称)基函数和滤波系数(bior3.7–双正交，对称)信号的多尺度分解：五、WaveletTransform五、WaveletTransform一级分解—harr五、WaveletTransform二级分解—harr四级分解—harr五、WaveletTransform2D小波变换是由1D小波变换扩展而来的，2D尺度函数和2D小波函数可由1D尺度函数和小波函数张量积得到，即：图像的2D小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)滤波和2-下采样。五、WaveletTransform二维多尺度分析：五、WaveletTransform图像的小波变换（一级分解）垂直细节水平细节近似图象对角细节图像的小波分解(金字塔分解)小波基函数一览wavemngr(‘read’);

%读取小波函数名及相关信息。dwt()%1D离散变换idwt()%1D离散反变换wcodemat()%系数矩阵编码dwt2()%2D离散变换wavedec2()%2D离散变换idwt2()%2D离散反变换waverec2()%2D离散反变换五、WaveletTransform几个Matlab函数dwt()函数功能：1-D离散小波变换格式：

[cA,cD]=dwt(X,’wname’)

[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)说明：[cA,cD]=dwt(X,’wname’)使用指定的小波基函数‘wname’对信号X进行分解，cA和cD分别是近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的滤波器组Lo_D,Hi_D对信号进行分解。dwt()函数功能：1-D离散小波变换格式：

[cA,cD]=dwt(X,’wname’)

[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)说明：[cA,cD]=dwt(X,’wname’)使用指定的小波基函数‘wname’对信号X进行分解，cA和cD分别是近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的滤波器组Lo_D,Hi_D对信号进行分解。功能：1-D离散小波反变换。格式：

X=idwt(cA,cD,’wname’) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,’wname’,L) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)说明：由近似分量cA和细节分量cD经过小波反变换，选择某小波函数或滤波器组，L为信号X中心附近的几个点。idwt()函数wcodemat()函数功能：对数据矩阵进行伪真彩色编码格式：

Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y=wcodemat(X,NB,OPT) Y=wcodemat(X,NB) Y=wcodemat(X)说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回数据矩阵X的编码矩阵Y；NB为编码的最大值（缺省16），OPT是编码方式，‘row’行方式，‘col’列方式‘mat’整个矩阵编码（缺省），ABSOL是函数的控制方式，0返回编码矩阵，1返回数据矩阵的ABS（缺省）。功能：2-D一级离散小波变换格式：

[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’) [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)说明：cA近似分量，cH水平细节分量，cV垂直细节分量，cD对角细节分量。dwt2()函数idwt2()函数功能：2-D一级离散反小波变换。格式：

X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’,S) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)说明：略wavedec2()函数功能：2-D信号的多层小波分解。格式：

[C,S]=wavedec2(X,N,’wname’); [C,S]=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D);说明：使用小波基函数或指定滤波器对2-D信号X进行N层分解。示例1：2D图像的小波分解loadwoman;nbcol=size(map,1);[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'db1');cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d=[cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1];subplot(1,2,1);imshow(cod_X,[]);subplot(1,2,2);imshow(dec2d,[]);示例2：图像的2级小波分解loadwoman;nbcol=size(map,1);[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'db1');cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);nbcol=size(cod_X,1);[xcA1,xcH1,xcV1,xcD1]=dwt2(cA1,'db1');xcod_cA1=wcodemat(xcA1,nbcol);xcod_cH1=wcodemat(xcH1,nbcol);xcod_cV1=wcodemat(xcV1,nbcol);xcod_cD1=wcodemat(xcD1,nbcol);xdec2d=[xcod_cA1,xcod_cH1;xcod_cV1,xcod_cD1];dec2d=[xdec2d,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1];subplot(1,2,1);imshow(cod_X,[]);subplot(1,2,2);imshow(dec2d,[]);五、WaveletTransform超小波(BeyondWavelet)分析技术Curvelet——

曲波

Ridgelet——

脊波Bandelet——

带波Beamlet——

束波,小线波Wedgelet——

楔波Surfacelet——

面小波Directionlet

——

方向波Contourlet——

轮廓波Shearlet——

剪切波—多尺度几何分析...主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换Walsh-Hadamard变换

K-L变换小波变换图像变换的新方法介绍六、近期新的变换方法分数阶傅立叶变换

FractionalFourierTransform(FrFT):S变换

Stockwell变换1929～1980早期未被人们重视的研究。1980年，V.Namias从特征值和特征函数的角度提出了分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分数幂形式。1994年，L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频面上的坐标轴旋转。1、分数阶傅立叶变换简介：FT0.1FT?问题提出：1、分数阶傅立叶变换1、分数阶傅立叶变换定义一：信号的p阶FRFT是一个线性积分运算，即：其中：tωuvαα1、分数阶傅立叶变换定义二：tωuvαα1、分数阶傅立叶变换物理意义：FT:

时间域

频率域FrFT:

时间域

分数域

注:分数域介于时间域和频率域之间。部分像时间，部分像频率。

某一角度α下的FrFT等效于顺时针旋转α角度下的Gabor变换，即

FRFT(

α)

=

withangleα物理意义：1、分数阶傅立叶变换因此：1、分数阶傅立叶变换1、分数阶傅立叶变换FrFTofaDeltaFunction1、分数阶傅立叶变换FrFTofaSineFunction1、分数阶傅立叶变换FrFTofaSineFunction1996年，Stockwell等人，首次提出的一种新的时频分析方法——Stockwell变换(简称S变换)，它是非平稳信号时频分析的有力工具。2003年，高静怀(西安交大)、Pirmegar等人采用广义高斯窗代替高斯窗，提出广义S变换。2、S变换简介：2、S变换特点：S变换是一种介于STFT和WT之间的时频分析方法，它与STFT和WT既有密切联系又具有不同的特点。(1)变换结果是一个时间局部谱，克服了STFT不能调节分析窗口频率的缺点，并与傅氏谱保持直接联系。(2)引进了小波的多分辨分析，具有WT的自适应时频窗、输入长度不受时窗的限制，而且基本小波不必满足容许性条件等优越性质。基本S变换定义：2、S变换广义S变换定义：2、S变换S变换的应用：2、S变换医学信号处理地震信号处理电力质量异常检测雷达目标检测红外目标识别等“图形图像与信号处理应用”研究室开发软件红外图像分析SAR图像分析主要内容图像变换概述傅立叶变换离散余弦变换

K-L变换

小波变换图像变换的新方法介绍Anyquea