第五章机械振动

第五章机械振动1

1、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。振动的概念任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。运动形式:直线、平面和空间振动.22、振动的特征3、振动中最简单最基本的是简谐振动任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成(在时间上）具有某种重复性。

简谐运动最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解周期和非周期振动谐振子:作简谐运动的物体.35-1简谐振动的力学特征１、弹簧振子构成：轻质弹簧一端固定，其另一端与刚体联结条件：位移限定在弹性限度内，不计弹簧内部摩擦无阻尼时的自由振动阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。4（3）惯性的作用整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振动的（2）弹性恢复力的特点：恢复力与位移正比而反向（线性回复力），即

F=-kx

（1）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为 坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）特指系统偏离平衡位置的位移5解微分方程得：3）弹簧振子的运动微分方程由牛顿定律：以振子为对象

a

与x

方向相反积分常数，根据初始条件确定6图图图取72）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，O为角坐标原点。（2）恢复力矩的特点：重力对过悬点O/的水平轴的力矩为：负号表示力矩方向始终与角位置方向相反1）定义２、微震动的简谐近似：单摆8根据麦克劳林展开略去高阶无穷小后（3）惯性的作用:即恢复力矩与角位移正比而反向。

（角位移指偏离平衡位置的角位移）此处的惯性指摆球对过O的水平轴的转动惯量:

93）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：方程的解为10简谐振动的特征和谐振动的定义1、谐振动特征动力学特征：其谐振动的微分方程：运动学特征：谐振动的运动学方程式中A、

是由初始条件所决定的两个积分常数振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力） F＝b-ax物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数112、谐振动的定义：谐振子的定义：的系统，即为谐振振子系统。谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动谐振动定义：一个描述其“惯性”的物理量可视为常数的系统,在其稳定平衡位置附近作微小的自由振动时,只受到内部线性恢复力的作用，且系统的运动微分方程，能满足二阶齐次、线性常系数微分方程，即能满足12一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为该方程的解即为谐振动的运动学方程式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。5.2简谐振动的运动学13二、描述谐振动的三个物理量

1、振幅A──由初始条件x0、v0决定（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间2、周期T（频率、圆频率ω

、固有圆频率）14(3)圆/角频率：２秒内完成的完全振动的次数固有角频率(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数＝2固有振动周期(4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率15

3、相位：相位是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相──取其具有周期性。）(位——位置；相——变化的态势）能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是(2)初位相t=0时的位相

怎样确定？16(i)用分析法确定特殊情况下的位相

t=0时，x0=A,v0=0.X0X0=+A

X0

t=0时,x0=0,v0<0v17X0

t=0时,x0=-A,v0=0-AX0v

t=0时,x0=0,v0>0X0A／2

t=0时,x0=A/2,v0<0v18即由初始条件所决定的两个积分常数(ii)由初始条件决定的积分常数求初位相j0，取使x0

v0

均满足的值19AXoXotXo-AXoAXotttt20谐振动的速度，加速度特点说明：2)加速度特征1)速度特征：说明：(ii)

“±”表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向21例5-1：振动曲线如图

(a)、(b)所示，写出它们的振动方程。500.40.60.2t(s)x(cm)(a)300.20.30.1t(s)x(cm)(b)22课堂测试六如下图为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程．231、旋转矢量的规定法则

(1)旋转矢量的制作(2)旋转矢量的作用：(3)旋转矢量本身不是谐振动若已知一个谐振动

x=A

cos(t+0)习惯上用A的位置x0t+0t时刻t=0

时刻A的位置x0xO5.2.3谐振动的旋转矢量表示法使描述谐振动的三个重要参量A、w、j0形象化旋转矢量的端点在Ox轴上的投影242、参考圆、参考点：(1)所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参考点。参考点在坐标轴上的投影才是谐振动（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限由图可知:同时,其也形象地说明了，对应于每一个x值,有两种可能的运动方向x25以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.当时26以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.时2728x(t)=Acos(wt+j0)v(t)=-Awsin(wt+j0)=vmcos(wt+j0+π/2)a(t)=-Aw2cos(wt+j0)=amcos(wt+j0±π)

设j0=0三种描述方法(即：三角函数、函数图象、旋转矢量）都离不开三个特征量A、w和j0谐振动的三种表示法29A-AOOT*A-A用旋转矢量图画简谐运动的

图（旋转矢量旋转一周所需的时间）********30例：一质点作简谐振动的圆频率为，振幅为A，当t=0时质点位于x=A/2处，且向X轴正方向运动，试画出此振动的旋转矢量图。解：由已知条件可知，t=0时，与之对应的初位相角在第四象限wAxO311、动能4、动能和势能在一个周期内的平均值2、势能3、总能设x(t)=Acos(ωt+j0)v(t)=-Aωsin(ωt+j0)§5-3简谐振动的能量32同理平均势能Etx0tx=Acosωt在一个周期T内的平均动能33例：

谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于解：34例：一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动具有势能0.06J和动能0.02J，求（1）振幅；（2）经过平衡位置时物体的速度。解（1）（2）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量35§5-4一维简谐振动的合成一两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动.36讨论相位差：表示两个相位之差.

1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.37同步

2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）为其它超前落后反相381）相位差讨论392）相位差403）一般情况2）相位差1）相位差相互加强相互削弱相位差41解：设合振动为例：两谐振动方程分别为42例

两谐振动振动方程分别为解这两个谐振动的位相差为作旋转矢量图，利用旋转矢量合成法，合振动为034ox43

例：

两个同频率的简谐运动1和2的振动曲线如图，求(1)两简谐运动的运动方程x1

和x2；(2)在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；(3)若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．

分析(1)由振动曲线可知初相可由旋转矢量法确定则44

(2)由旋转矢量可知振动2超前振动1的相位为5π

/6.(3)由振动合成知

问:为何不是振动1超前振动2的相位为7π

/6?式中于是45从图可看出，因两旋转矢量的角速度1、2

不相同，所以由两矢量A1、A2合成的平行四边形的形状要发生变化，矢量A的大小也随之而变，出现了振幅有周期性地变化。1、利用旋转矢量合成法4.4.2同方向不同频率简谐振动的合成1ox246因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为拍。合振动在单位时间内加强(或减弱)的次数称为拍频。472、拍振动表达式

设分振动为3、拍频：指合振幅变化的频率余弦函数的周期应为2π，但取绝对值后，周期为π，故合振幅变化的周期即“拍频”等于两个分振动频率之差。484、“拍振动”的应用声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等5、同步锁模：495.5.1阻尼振动1、固体在介质中所受阻力在一般情况下为

2、以弹簧振子为例，其运动微分方程为令 ， 则有我们只讨论其中的线性部分，即在低速情况下的振动§5-5阻尼振动受迫振动共振50式中β──阻尼系数ω0──系统固有角频率。＊方程的解及其物理意义1、弱阻尼

(1)式中A0、φ0是由初始条件所决定的两个积分常数；(2)阻尼振动的振幅 即：振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；51(3)准周期的问题：准周期指函数 与时间轴t的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的中心）,即x阻尼振动曲线说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有周期。522、临界阻尼

这时

c1、c2为两积分常数。其用途之一,用于灵敏仪器的回零装置。此时其不是往复运动，须无限长的时间才能回零。3、过阻尼

531、弱阻尼谐振子系