第六章时间数列

本章重点1、时期数列和时点数列的特点2、序时平均数的计算3、平均发展速度的计算第六章时间数列资料来源：国家统计局网站图2股票价格时间序列图图3市场用煤销售量案例：销售量增长情况分析和预测

V饭店位于靠近佛罗里达的C岛上，是一个公众常去的场所。它由K拥有和经营，到目前经营已超过30年。成为岛上最好的营业额增长最快的饭店之一。为确定饭店未来的增长计划，需要在对过去的销售情况进行分析的基础上建立一个系统，以便提前一年预测今后每个月食品和饮料的销售量。K拥有过去三年经营中有关食品和饮料的销售总量数据：月份123456789101112第一年242235232178184140145152110130152206第二年263238247193193149157161122130167230第三年282255265205210160166174126148173235这些年销售量的增长情况如何？各年增长量？年平均增长量？同比增长量？各年发展速度？年平均发展速度？年平均增长速度？同比增长速度？销售量的变化是否具有季节性规律？季节变化规律是什么？每个月的季节指数是多少？如何预测第四年各月的销售量？如果没有季节因素的影响，销售量是否具有一种基本变化趋势？其趋势变化规律是什么？时间数列分析是指从时间发展变化的角度，研究事物在不同时间上的发展状况，探索事物随时间推移的演变趋势和规律，揭示其数量变化和时间的关系，预测事物在未来时间上所可能达到的数量和规模。第一节时间数列的编制第二节时间数列的水平分析指标第三节时间数列的速度分析指标第四节长期趋势的测定第五节季节变动的测定§1

时间数列的概念和种类53082201052871200949804200750160粮食产量（万吨）2008年份1、时间数列是同类现象的指标数值按时间先后排列而形成的数列，又叫动态数列一、时间数列的概念和作用客观现象常常随着时间的变化而变化，并表现出一定的动态规律性。在统计学中，我们可以用时间数列理论来对现象作动态分析。2、基本构成要素：时间、指标数值（发展水平）3、时间数列的作用:第一，利用时间数列可以揭示现象发展的动态规律。第二，利用时间数列所表现的动态规律还可以对现象的未来发展状况进行预测，从而为管理和决策提供依据。时间数列分析方法：

确定性时间数列分析方法随机性时间数列分析方法，又称为时间序列分析方法。二、时间数列的种类（按统计指标性质和表现）

1、绝对数（总量指标）时间数列时期数列时点数列连续时点数列间断时点数列间隔相等时点数列间隔不等时点数列时期数列的特点同时期指标；时点数列的特点同时点指标。2、相对数（相对指标）时间数列3、平均数（平均指标）时间数列三、时间数列的编制原则基本原则：可比性原则1、时间长短应该统一2、总体范围应该一致3、指标的经济内容应该相同4、计算口径应该统一§2时间数列水平分析指标水平指标有：发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量。一、发展水平1、时间数列每一项指标数值就是发展水平。2、常用a0、a1、…、an表示3、通常把a0称为最初水平，把an称为最末水平。二、平均发展水平（序时平均数）是对时间数列中各发展水平计算的平均数，又称序时平均数或动态平均数。反映现象一定时间内发展变化所达到的一般水平。异同特点静态平均数动态平均数相同抽象一般水平一般水平不同依据的数列变量数列时间数列平均的差异不同总体单位的不同时间的说明内容总体一定历史条件下的一般水平现象一定发展阶段的一般水平与一般平均数（静态平均数）的异同（一）对绝对数时间数列计算平均发展水平1.时期数列的序时平均数

2.时点数列的序时平均数连续时点数列间断时点数列①等间隔时点数列②异间隔时点数列1、由时期数列计算序时平均数例，由表数据可得1990—1998年期间我国国内生产总值年平均数为：3605月a53104月a43003月a32402月a23201月a1

销售额月份例5-2-1：某商业企业1—5月份商品销售资料如下：单位：万元则：1—5月份平均每月的销售额为：2、由时点数列计算序时平均数①由连续时点数列计算序时平均数连续登记变动时登记例5-2-2：有某企业1号—6号每天的职工人数资料：106

6日a6108

5日a5101

4日a4

99

3日a3100

2日a2

98

1日a1职工人数（人）日期则：1—6号平均每天的职工人数为：例5-2-3：有某企业1号—30号每天的职工人数资料：108

16日—30日a31059日—15日a2102

1日—8日a1职工人数（人）日期则：1号至30号平均每天的职工人数为：②由间断时点数列计算序时平均数当时点数列中的数据是每隔一段时间（如隔一月、一年等）才观测一次的数据时，这样的时点数列为间断时点数列。计算方法：假定相邻两时点间现象的数量变动是均匀的，则这两个时间段的代表值为相邻两时点数值相加除2，又分别以f1、f2、…fn-1，代表相邻时点间的时间间隔长度，则整个时间段的序时平均数可用下式表示：(1)时点数列—间隔相等(首末折半法)某商业企业某年第二季度某种商品的库存量如下表，求该商品第二季度月平均库存量。月份3月末4月末5月末6月末库存量667264684月平均库存=（66+72）/2=69第二季度月平均库存=（69+68+66）/3=67.67（百件）6月平均库存=（64+68）/2=665月平均库存=（72+64）/2=68计算年平均储蓄存款余额⑵间隔不等时点数列（加权序时平均法）104

年底a4108

9月初a3105

3月初a2102

1月初a1职工人数（人）时间例5-2-5则：该年平均每月的职工人数为：“首末折半”公式和“间隔加权”公式并没有实质上的不同，前者不过是后者的特例而已。（二）由相对指标或平均指标时间数列计算序时平均数基本公式公式表明：相对指标或平均指标时间数列的序时平均数，是由a、b两个数列的序时平均数对比得到的。a数列的序时平均数b数列的序时平均数200120022003（a）实际完成数（万元）105380200（b）计划任务数（万元）100400200（C）计划完成程度%(c=a/b)10595100要求：计算这三年的平均计划完成程度。例5-2-6某公司最近三年销售额计划完成情况如下：例5-2-7：有某企业产量和职工人数资料如下：641650四月651050三月601440二月1200产量（件）60一月月初人数（人）项目时间要求：计算该企业一季度平均每月的劳动生产率。劳动生产率(件/人)2023.0416.2325.78时期指标时点指标解：设以a、b、c分别表示产量、人数、劳动生产率所以其中：所以：例5-2-8：某商业企业商品销售额和库存额资料如下：75150七月45240六月55200五月150商品销售额（万元）45四月月初库存额（万元）项目时间要求：根据资料计算二季度平均每月的商品流转次数。提示：商品流转次数(次)3442解：=即：二季度的商品库存额平均每月周转3.69次。设以a、b、c分别表示销售额、库存额、商品流转次数则所以，例5-2-9：某地区某年各季度末零售网点和职工人数资料如下：320

2536四季末304

2520三季末255

2479二季末256

2408一季末250

2400上年末零售企业数（个）职工人数（人）要求：计算该地区平均每季度平均每网点职工人数。设以a、b、c分别表示职工人数、企业数、平均每网点职工人数解：即：该地区该年平均每个零售网点约9名职工。则所以，三、增长量与平均增长量

1、增长量：说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。增长量=报告期水平-基期水平因为基期有两种前一时期某一固定时期增长量逐期增长量：累计增长量：计算人均可支配收入的增长量累计增长量等于相应的各逐期增长量之和实际工作中，为了消除季节因素的影响，对于月度或季度数据，也可以本月（季）发展水平与上年同月（季）发展水平相减，表示本月（季）较之上年同月（季）增减的绝对数量，称为年距增减量。2、平均增长量：它是逐期增长量的序时平均数平均增长量=例：200520062007200820092010工业总产量（元）276.8348.0381.1392.2461.0474.2逐期增长量——累计增长量——33.171.271.2104.311.1115.468.8184.213.2197.4练习题：

以2006年为基期，某企业2007年～2010年产量的累计增长量分别为60、70、75、80吨。要求：⑴计算2007～2010年的年平均增长量；⑵判断哪几年的增长量超过了平均增长量。解：设以a0～a4分别表示2007～2010年的产量，则a1-a0=60、a2-a0=70、a3-a0=75、a4-a0=80⑴年平均增长量=20（吨）⑵各年的逐期增长量为：2007年：a1-a0=602008年：a2

–a1=70-60=102009年：a3

–a2=52010年：a4

–a3=80-75=5所以，只有2007年的增长量超过了平均增长量§3时间数列速度分析指标主要有：发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度1、发展速度=报告期水平/基期水平一、发展速度环比发展速度：ai/ai-1

定基发展速度：ai/a0（也称总速度）计算税收收入的发展速度定基发展速度等于相应的各环比发展速度的连乘积；

相邻两个定基发展速度的商等于相应时期的环比发展速度。2、环比发展速度与定基发展速度的关系3、年距发展速度：年距发展速度消除了季节变动的影响，表明本期水平相对于上年同期水平发展变化的方向与程度，是实际统计分析中经常使用的指标。1、概念：增长速度是报告期增长量与基期水平之比，表明报告期水平比基期水平增长（或降低）了百分之几或若干倍。2、增长速度计算公式为：

二、增长速度３、增长速度为正，表示报告期比基期增长；增长速度为负，表示报告期比基期降低。４、环比增长速度的连乘积不等于相应时期的定基增长速度定基增长速度=定基发展速度–1环比增长速度=环比发展速度–1应用速度指标时应注意的问题：定基增长速度与环比增长速度不能象定基发展速度与环比发展速度那样互相推算；定基增长速度与环比增长速度之间的推算，必须通过定基发展速度和环比发展速度才能进行。环比增长速度环比发展速度定基发展速度定基增长速度定基增长速度定基发展速度环比发展速度环比增长速度+1

连乘-1+1相除-1例5-3-1

：某工厂几年来产量不断增长。已知2008年比2007年增长20%，2009年比2007年增长50%，2010年比2009年增长25%。试据此编制各年的环比增长速度数列以及以2007年为基期的定基增长速度数列。2007200820092010环比增长速度（%）——20（1）25定基增长速度（%）2050（2）增长1%绝对值是绝对指标，反映1%的增长速度在绝对数上所包含的实际内容，即在报告期与基期的比较中，报告期比基期每增长1%所包含的绝对量是多少，其算式如下：增长1%绝对值==前一期水平/100=

三、增长1%绝对值（二）计算平均发展速度的两种方法：

四、平均发展速度和平均增长速度（一）概念：（1）平均发展速度反映现象在一定时期内逐期发展变化的一般程度。（2）平均增长速度反映现象在一定时期内逐期增长（降低）变化的一般程度。平均增长速度不能直接计算，只能通过与平均发展速度的数量关系来进行：

平均增长速度=平均发展速度－11、几何平均法（水平法）其中，、、…、表示各期的环比发展速度。三个公式的实质是一致的，应视不同条件灵活运用。其中n都是指环比发展速度的个数，也即时间数列项数减1。计算03—07年GDP的年平均发展速度例5-3-２：已知某地区钢产量2007～2011年各年的环比发展速度分别为107.82%、105.6%、103.63%、107.73%、107.01%。求钢产量平均每年的发展速度。若2006年的钢产量为5220吨，平均每年的发展速度为105%，则2011年的钢产量为多少？

解：①=106.35%②已知=5220

=1.05∵=∴==5220×=6662.19（吨）可以看出，用几何平均法计算平均发展速度的特点：着眼于期末水平，不论中间水平变化过程怎样，只要期末水平确定，对平均发展速度的计算结果没有影响，所以几何平均法也称为“水平法”。例5-3-３

1982年末我国人口是10.15亿人，人口净增长率14.49‰，如果按此速度增长，2000年末将有多少亿人？若2000年要将人口控制在12亿人以内，人口年均净增长率应控制在多少？例5-3-４某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过多少年能实现翻2番？经过多少年能达到1000亿元？例：某地区社会总产值1994-1997年每年平均发展速度为115%，1998-1999年每年平均发展速度为112%，2000-2003年每年平均发展速度为109%，则十年来社会总产值年平均发展速度为多少？2、方程式法（累计法）要求满足的条件是：从最初水平出发，每期都按平均发展速度发展,则各期计算水平的总和应等于各期实际水平的总和。实际上，各期实际水平的总和为：

用各期的环比发展速度和表示各期实际水平，则上式可表示为：

再用平均发展速度替换各期的环比发展速度，则有：

等式两边都除以后有：解此高次方程所得的正根，就是按方程式法所求得的平均发展速度。由于方程式法着眼于各期水平累计和，因此又常将此法称为“累计法”。3、水平法与累计法的侧重点不同：（2）累计法：侧重于考察现象整个发展过程：按平均发展速度计算的各期水平之和等于实际的各期发展水平之和。（1）水平法：侧重于考察现象最末一期水平：按平均发展速度计算的最末一期水平与实际的最末一期水平相等。常用的时间数列指标水平指标1·序时平均数（平均发展水平指标）计算公式适用于时期总量指标和按日连续登记的时点指标数列。说明适用于不连续登记、间隔相等的时点指标数列。适用于不连续登记间隔不相等的时点指标数列。分子和分母按各自数列的指标形式参照上述求序时平均数。常用的时间数列指标水平指标 2·增长量计算公式逐期增长量。说明水平法适用于多期增长量平稳变化的数列总和法适用于各期增长变化较大的数列。累计增长量3·平均增长量常用的时间数列指标速度指标1·发展速度计算公式环比发展速度。说明水平法－各环比发展速度的几何平均数。定基发展速度2·平均发展速度方程法可查《平均发展速度查对表》。3·（平均）增长速度＝（平均）发展速度－100％2006年2007年2008年2009年2010年2011年GDP（亿元）800逐期增减量——220150累计增减量——环比发展速度%___89.41定基增减速度%___

37.50

增长1%的绝对值___

13.001020220127.5027.508912-1081121410.21100188300120.619.121300200500118.1862.50111450650111.5481.25例5-3-５：已知某企业2005年—2010年生产总值资料如下：783201070320095482008519200744720063432005生产总值年份单位：万元要求：2、计算各年的环比发展速度和定基发展速度3、计算各年的环比增长速度和定基增长速度4、计算各年的增长百分之一的绝对值5、计算2005年—2010年生产总值的平均发展速度和平均增长速度。1、计算各年的逐期增长量和累计增长量解：列表计算如下：逐期增长量（万元）累计增长量（万元）环比发展速度%环比增长速度%定基发展速度%定基增长速度%增长百分之一的绝对值（万元）783201070320095482008519200744720063432005生产总值（万元）

年份——104722915580104176205360440100130116106128111301662811—100151130160205228—305160105128—3.434.475.195.487.03例5-3-６：某企业计划2005年产量要比2000年增长2倍，问平均每年增长百分之几才能完成预计任务？解：因为2005年产量比2000年增长2倍，即2005年产量为2000年的3倍所以，2000年至2005年产量总速度为300%则平均增长速度=即每年平均增长25%，才能完成预计任务。§4

现象变动的趋势分析一、影响时间数列变动的因素1、长期趋势（T）：指现象在一段相当长的时间内所表现的沿着某一方向的持续发展变化，可以是不断增长，也可以是不断下降。

造成长期趋势的是一些缓慢发生作用的因素，如人口的增长、资本的积累、技术的进步、消费习惯的改变等。

2、季节变动（S）：一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响，形成的以一定时期为周期的有规律的重复变动。

3、循环变动（C）：循环变动指以若干年为一定周期的有一定规律性的周期波动。循环变动与长期趋势不同，它不是单一方向的持续变动，而是有涨有落的交替波动。循环变动与季节变动也不同，循环变动的周期长短很不一致，不象季节变动那样有明显的按月或按季的固定周期规律，通常较难识别。4、不规则变动（I）：它指现象受众多偶然因素影响，而呈现的无规则的变动。（2）乘法模型：假定4种变动因素之间存在着交互关系，时间序列各期发展水平是各个构成因素的乘积。

Y=T×S×C×I时间序列分析模型：（1）加法模型：假定4种变动因素相互独立，时间序列各期发展水平是各个构成因素的总和。

Y=T+S+C+I时间序列分解分析的作用：分析和测定有关构成因素的数量表现，可以更好地认识和掌握现象变化发展的规律性；将所测定出的某一构成因素数值从时间序列中分离出去，便于分析序列中其他因素的变动规律；为时间序列的预测奠定基础。二、长期趋势的测定与预测的意义常用的方法有时距扩大法、移动平均法和数学模型法。(一)时距扩大法1、这是测定长期趋势最原始、最简便的方法；2、其作用是消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势。年份199519961997199819992000松脂产量（吨）343947416827522917461370486837435244年份200120022003200420052006松脂产量（吨）440431469331580780569270548133580819松脂产量变动趋势1995-1997年1998-2000年2001-2003年2004-2006年12836911383451149054216982223、扩大后的时距要一致，保持其可比性。时距扩大法，运用时应注意：1、只适用于时期数列；2、扩大的时距应与社会经济现象本身的变化周期一致；（二）移动平均法

它是按一定项数（N）求序时平均数，逐项移动，边移边求平均数。这些序时平均数形成的新数列消除或削弱了原数列中的由于短期偶然因素引起的不规则变动和其他成分，对原数列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象在较长时期的发展趋势。

例：下表为某客运站旅客运输量及移动平均的计算结果：年份季度客运量三项移动平均逐期增长2006年一100————二9597.7——三98100.03.0四107105.05.02007年一110107.32.3二105107.30.0三107109.01.7四115115.08.02008年一123117.72.7二115119.31.6三120120.00.7四125————年份季度客运量（万人公里）2006一100二95三98四1072007一110二105三107四1152008一123二115三120四125四项移动平均值100102.5105107.3109.3112.5115118.3120.8移正平均——101.3103.8106.2108.3110.9113.8116.7119.6——逐期增长2.52.42.12.62.92.9移动平均法的特点：1、移动平均对原有数列具有修匀作用，平均的时距项数越大，对数列的修匀作用越强；5、移动平均法可用于分析时间序列的长期趋势，但不适合对现象未来的发展趋势进行预测。4、移动平均后，其数列的项数较原数列减少，当项数为奇数时，首尾各减少（N－1）/2项；当项数为偶数时，首尾各减少N/2项。3、移动平均时距项数应与现象变动的周期一致，这样才能较好地消除周期波动。2、移动平均时距项数为奇数时，只需移动一次；为偶数时，需移动两次；股票日K线：601318股票周K线：601318（三）最小平方法用一定的数学模型,对原有的动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。通过趋势线来描述动态数列的趋势变化，并进行预测。常用最小平方法。如果现象的发展，其逐期增长量大致相等，可配合直线趋势方程。直线趋势方程为：方程中：yc因变量，代表所研究现象的预测值t自变量，代表时间的序号a、b为方程参数２、最小二乘法的中心思想：最理想的趋势线是最接近所有各散点的趋势线，即满足下列两点要求：（1）原数列与趋势线的离差平方和为最小；（2）原数列与趋势线的离差总和为零。１、建立趋势方程的主要步骤：（1）选取合适的模型：（2）利用最小二乘法估计模型的待定参数；（3）计算趋势变动测定值。用最小平方法求解直线趋势方程参数a、b：年份t销售额（万元）ytyYc(万元）20001182.01182.0181.520012192.04384.0191.920023202.09606.6202.320034212.416849.6212.720045223.0251117.0223.120056233.4361400.0233.5合计211245.0914539.61245.0现以某商店几年来销售额资料为例，介绍最小平方法的应用Yc=171.07+10.41t=10.41

=171.07用最小平方法求解方程参数a、b的简化公式如果让时间序号的合计数等于零，即∑t=0则求解a、b的公式可以简化为：令∑t=0的方法为：当动态数列为奇数项时，可令数列的中间一项为原点，数列的前半部分序号从中间开始取负的1、2、3、…；数列的后半部分序号从中间开始取正的1、2、3、…。例如教材当动态数列为偶数项时，可令数列的中间两项的中点为原点，数列的前半部分序号从中间开始取负的1、3、5、7、…；数列的后半部分序号从中间开始取正的1、3、5、7、…。例如教材例题：某商业企业历年销售额资料如下：单位：万元592010562009532008552007532006532005502004482003销售额年份要求：根据资料配合销售额的直线趋势方程，并预测2011年的销售额。

592010562009532008552007532006532005502004482003销售额年份解题过程如下：t-1-3-5-71357t2492591192549ty-336-250-159-5355159280413y预测2011年的销售额，t=9则预测值为：非线性趋势（二次曲线方程）：如果每期的二级增长量基本相等，就可采用二次曲线方程。二次曲线方程的一般形式为：

长期趋势方程的拟合，需要现象发展的基本规律和态势，要求选择最适合的函数形式。