2023年北京101高考压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A． B．1 C． D．22．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．113．已知的垂心为，且是的中点，则（）A．14 B．12 C．10 D．84．在平行四边形中，若则()A． B． C． D．5．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（）A． B． C． D．7．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（）A． B． C． D．8．函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．9．已知集合,，则A． B．C． D．10．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（）A．0 B．1 C．-1 D．11．函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（）A． B． C． D．12．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量满足，，则______________.14．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____15．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为______.16．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.18．（12分）已知函数，，且．（1）当时，求函数的减区间；（2）求证：方程有两个不相等的实数根；（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由．19．（12分）如图：在中，，，.（1）求角；（2）设为的中点，求中线的长.20．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求实数的取值范围.21．（12分）已知的面积为，且.（1）求角的大小及长的最小值；（2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长.22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）若点在直线上，求直线的极坐标方程；（2）已知，若点在直线上，点在曲线上，且的最小值为，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.2．B【解析】

根据题意计算，，，解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴.∴.∵，∴，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.3．A【解析】

由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.【详解】因为为的垂心，所以，所以，而，所以，因为是的中点，所以．故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4．C【解析】

由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,

平行四边形中,,

，，,

因为,

所以

,

，所以，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.5．D【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【详解】，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.6．B【解析】

先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.7．D【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有共37个，满足的整数点有7个，则所求概率为.故选：.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.8．D【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.9．D【解析】

因为,,所以,,故选D．10．C【解析】

由题意可知，代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数，.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.11．B【解析】函数（为辅助角）∴函数的最大值为，最小正周期为故选B12．D【解析】

构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.【详解】构造函数，，则，，所以，函数、在区间上均为减函数，当时，则，；当时，，.由得.①若，则，即，不合乎题意；②若，则，则，此时，，由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；③若，则，则，此时，由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以又所以所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.14．【解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.【详解】因为，所以，令得，因为函数有大于0的极值点，所以，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.15．【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示：过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.∵易证面,∴,而三角形为等边三角形,∴为的中点.设,.∴.故三棱锥的体积为当且仅当时,,即.∴三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,∴四边形为矩形.则,,,在中,,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：．【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.16．【解析】

先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.【详解】剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)函数，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数，根据点是函数图象的一个对称中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.【详解】(Ⅰ)的最大值为最小正周期为(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知，,故故的面积的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.18．（1）（2）详见解析（3）【解析】

试题分析：（1）当时，，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，所以试题解析：（1）当时，，由得减区间；（2）法1：，，，所以，方程有两个不相等的实数根；法2：，，是开口向上的二次函数，所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，又在和增，在减，所以．考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系19．（1）；（2）【解析】

（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.【详解】（1）∵，∴.由正弦定理，即.得，∵，∴为钝角，为锐角，故.（2）∵，∴.由正弦定理得，即得.在中由余弦定理得：，∴.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，，或，或，或所以不等式的解集为；（Ⅱ）因为，又（当时等号成立），依题意，，，有，则，解之得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.21．（1），；（2）.【解析】

（1）根据面积公式和数量积性质求角及最大边；（2）根据的长度求出，再根据面积比值求，从而求出．【详解】（1）在中，由，得，由，得，所以，所以，，因为在中，，所以，因为（当且仅当时取等），所以长的最小值为；（2）在三角形中，因为为中线，所以，，所以，因为，所以，所以，由（1）知，所以，或，，所以，因为为角平分线，，，或2，所以，或，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题．22．（1）（2）【解析】

（1）利用消参法以及点求解出的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线的极坐标方程；（2