《命题及其关系》试卷（） 省赛一等奖

《命题及其关系》试卷一、选择题1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析由(2x－1)x＝0⇒x＝0或x＝eq\f(1,2)，所以应选B.答案B2．命题“若a>b，则a3>b3”A．若a≥b，则a3≥b3 B．若a>b，则a3≤b3C．若a≤b，则a3≤b3 D．若a3≤b3，则a≤b解析由逆否命题的含义知，D正确．答案D3．命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．2C．4 D．不确定解析当a<0时，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a<0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤eq\f(1,4)，显然a<0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．答案B4．已知a，b，c是实数，则b2≠ac是a，b，c不成等比数列的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析因为命题“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”的逆否命题为“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题，所以b2≠ac是a，b，c不成等比数列的充分条件；因为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，所以“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”是假命题，即b2≠ac不是a，b，c不成等比数列的必要条件．故选A.答案A5．(2022·东北三省二模)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要条件，那么k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析q：eq\f(3,x＋1)<1⇒eq\f(3,x＋1)－1<0⇒eq\f(2－x,x＋1)<0⇒(x－2)·(x＋1)>0⇒x<－1或x>2.因为p是q的充分不必要条件，所以k>2，故选B.答案B6．(2022·济宁模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析函数f(x)＝x2－2ax＋b，所以f(1)＝1－2a＋b，f(3)＝9－6a＋b,1<a<2，所以1－2a<9－6a，即f(1)<f(3)；反过来，f(1)<f(3)时，得1－2a＋b<9－6a＋b得a<2，不能得到1<a<2，所以“1<a<答案A二、填空题7．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”解析其中原命题和逆否命题为假命题，逆命题和否命题为真命题．答案28．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案－19．下面有四个关于充要条件的命题：①若x∈A，则x∈B是A⊆B的充要条件；②函数y＝x2＋bx＋c为偶函数的充要条件是b＝0；③x＝1是x2－2x＋1＝0的充要条件；④若a∈R，则a>1是eq\f(1,a)<1的充要条件；其中真命题的序号是________．解析由子集的定义知，命题①为真．当b＝0时，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c显然为偶函数，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函数，则(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．当x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，反之，当x2－2x＋1＝0时，x＝1，所以③为真．对于④，由于eq\f(1,a)<1⇔eq\f(a－1,a)>0，即a>1或a<0，故a>1是eq\f(1,a)<1的充分不必要条件，所以④为假．答案①②③三、解答题10．π是圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出命题p的否定并判断真假；(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．解(1)原命题p的否定是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题．(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”，真命题．否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”，真命题．逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”，真命题．(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．证明如下：充分性：若a＝c，则aπ＝cπ，∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b，即(a－c)π＝d－b.∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0，即a＝c，b＝d.∴“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．11．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．解化简集合A，由y＝x2－eq\f(3,2)x＋1，得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴ymin＝eq\f(7,16)，ymax＝2.∴y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，2))，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4).∴实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B.答案B2．(2022·天津卷)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．答案C3．(2022·福建卷)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析当k＝1时，l：y＝x＋1，由题意不妨令A(－1,0)，B(0,1)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以充分性成立；当k＝－1时，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝eq\f(1,2)，所以必要性不成立．答案A4．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m解因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2则U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≤－1或m≥\f(3,2))).假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，