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文档简介
第三章中值定理以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分学理论。与导数应用中国药科大学数学教研室杨访第一节中值定理本节概要微分学理论的核心由几个中值定理构成，它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起着重要的作用。函数最值讨论是微积分创立前期的重要工作之一。最值定理虽然指出了闭区间上连续函数最值的存在性，却没有指出最值点的位置，也没有给出求最值的方法。此外，其它区间形式上的最值存在性及计算问题也还没有讨论。因此还必须对最值问题作进一步的研究。一.罗尔定理1.函数最值研究与费马定理(1)
费马定理及其几何意义若函数
y
=f(
x
)在点
x
=
的某个邻域
U(
,)内有定义，f(
)为
f(
x
)在该邻域内的最大值或最小值，且函数
y=f(
x
)在点
x
=
处可导，则有
f(
)=0.费马定理费马定理的几何意义费马定理的分析意义
从几何上看，费马定理指出了曲线在最值点处一定有水平的切线。这一认识虽然是来源直观的，并且只是函数在一点取得最值的必要条件，但由于在最值点处有
f(
)=0，故求最值点问题可归结为解方程
f(
x
)=0.因此，费马定理实际给出了求最值的方法。(2)
对费马定理的认识
然而，并非任意曲线弧段都有水平切线，且方程
f(
x
)=0并非总是有解的。因此，为求最值还需进一步考察，曲线弧段在什么情况下一定有水平切线，即考察函数
y=f(
x
)，x
[
a
,b]满足什么条件，可使方程
f(
x
)=
0总有解。对费马定理的追问
曲线弧有水平切线的条件曲线弧有水平切线的条件:几何特征:函数在区间上非单调。代数条件:函数在区间上有等值点。这样的曲线弧没有水平切线(1)
罗尔定理及其几何意义若函数f(
x
)在闭区间[
a
,b
]上连续，在开区间(
a
,b)内可导，且在区间的端点处的函数值相等，即
f(
a
)=
f(
b
)，则在(
a
,b)内至少存在一点
(
a
<
<
b
)，使得
f(
)=0.罗尔定理2.罗尔定理及其应用罗尔定理的几何意义最简单的情形；较一般的情形。证分两种情形进行证明
f(
x
)C
若
f(
x
)C，此时函数
y=f(
x
)的图形本身就是一条水平直线，即
M
=
m，故恒有
f(
x
)0
，即对
(
a
,b
)，总有
f(
)0.若
f(
x
)C，则
M
=
m，此时
M
和
m
中至少有一个不等于
f(
a
)和
f(
b
).
不妨设
mf(
a
)，由最值定理，存在
(
a
,b
)，使得f(
)m
，下证f(
)0.
f(
x
)C
由条件故f-(
)、f+(
)分别存在，且有
f-(
)=f+(
)．由单侧导数定义
由于
f(
)为最小值，故对一切
h，总有
f(
+
h
)-
f(
)0
.
由极限的保号性知：
当
h<0
时，当
h>0
时，由于f-(
)=f+(
)=
f(
)，故有f(
)=0.(2)
罗尔定理的分析意义为求解最值问题提供了方法
费马定理指出了函数取得最值的必要条件，即对于给定的函数
y=f(
x
)，求函数最值可归结为求解形如f(
x
)=0方程。罗尔定理则进一步指出，为确定方程
f(
x
)=0的根的范围，可设法寻求函数
y=f(
x
)的两个等值点
f(
a
)=f(
b
)，对应于函数的两个等值点，在区间[
a
,b
]内必有方程
f(
x
)=0的一个根。
判别方程的根，特别是实根的存在性通常是一件困难的工作，罗尔定理给出了一种判别形如
f(
x
)=0
的方程的根存在性的方法，即设法寻求函数
y=f(
x
)的两个等值点
f(
a
)=f(
b
).需注意的是，应用罗尔定理判别方程的实根的存在性与零点定理判别方程实根的方程形式及条件的不同。应用零点定理讨论的是形如
f(
x
)=0的方程，其实根存在的条件是函数
y=f(
x
)有两个异号点
f(
a
)、f(
b
).给出了判别方程实根存在的一种条件
罗尔定理最重要的理论价值在于建立了一种研究函数性质的方法，即将函数在某区间上的性质转化为函数在区间内某点的导数进行讨论，因而提供了一种以函数中值来研究函数性质的途径和方法。该方法是研究函数性质的一种重要方法，微积分理论的一个特点就是含有诸多中值公式，这些中值公式多是由罗尔定理导出的。提出了一种以函数中值研究其性质的方法(3)
罗尔定理的应用
方程的根的存在性问题是实际计算和工程应用最常见的问题。代数学的讨论通常较适合于解决多项方程的问题，而对于一般超越方程，代数学能提供的方法却很有限。实际应用中较多地采用微积分的方法，即通过零点定理和罗尔定理对考察方程实根进行考察。判别方程实根的存在性
例：已知函数
f(
x
)在[
0
,1
]上连续，在(
0
,1
)内可导,且f(
0
)=1，f(
1
)=0，求证：存在(
0
,1
)，使得
这是个讨论方程实根存在性的问题，容易想到应用零点定理或罗尔定理进行考察。对本例方程而言，由于故若根据零点定理进行考察，需验证形如
F(
x
)=x
f(
x
)+
f(
x
)的函数在区间(
0
,1
)的端点处异号，即有
F(
0
)
F(
1
)<0
，但本例条件却不能导出这一结果。因而考虑利用罗尔定理进行考察。分析用罗尔定理考察本例方程的实根就是要设法找出一个可导函数
(
x
)，使其在区间(
0
,1
)的端点处满足
(
0
)=
(
1
)，而当
x
(
0
,1
)时有
(
x
)=x
f(
x
)+f(
x
).
由乘积的导数运算想到可取
(
x
)=x
f(
x
)，x
[
0
,1
].作辅助函数
(
x
)=x
f(
x
)，x
[
0
,1
].易看出
(
x
)在[
0
,1
]上连续，在(
0
,1
)内可导，由于
f(
0
)=1，f(
1
)=0
，故(
x
)满足
(
0
)=
0
f(
0
)=0=1
f(
1
)=(
1
).于是由罗尔定理可知，存在
(
0
,1
)，使得
[(
x
)]x
=
=[
x
f(
x
)+f(
x
)]x
=
=
f(
)+f(
)=0
，由于>0，故有利用罗尔定理证明证二.拉格朗日中值定理
罗尔中值定理的几何意义可理解为：定义在区间[
a
,b
]上的端点纵坐标相等的连续光滑曲线弧必有水平切线。若将这一性质理解为函数在区间[
a
,b
]上的一般性质，则条件f(
a
)=f(
b
)显得特殊，一般函数所对应的曲线弧未必满足这一条件。由直观易见，若将罗尔定理理解为曲线弧的弦与切线的关系，则去除此条件，上述曲线的几何特征依然成立，即连续光滑的曲线弧必有平行于弦的切线。1.罗尔定理意义的进一步分析连续光滑的曲线弧有平行于弦的切线罗尔定理几何意义的再认识连续光滑的曲线弧有平行于弦的切线一般光滑曲线弧的几何特征若函数
f(
x
)在闭区间[
a
,b
]上连续，在开区间(
a
,b
)内可导，则在开区间(
a
,b
)内至少存在一点
(
a
<
<
b
)，使得f(
b
)-
f(
a
)=f(
)(
b-
a
).拉格郎日中值定理实际是一种导数中值关系式,结合其几何意义，可考虑利用罗尔定理证明。为利用罗尔定理进行证明，考虑构造适当的辅助函数
(
x
)，使其满足罗尔定理的条件，同时相应的导数关系和拉格朗日中值定理相等价。(1)
拉格朗日中值定理及其意义拉格朗日中值定理分析2.拉格朗日中值定理及其应用构造拉格朗日辅助函数构造辅助函数证明证作辅助函数
(
x
)=
f(
x
)-
L(
x
)，x
[
a
,b
].即显然
(
x
)在[
a
,b
]上连续，在(
a
,b
)内可导，且满足(
a
)=0
，(
b
)=0
，因此(
x
)在[
a
,b
]上满足罗尔定理条件，于是由罗尔定理可知，存在
(
a
,b
)，使得即有f(
b
)-
f(
a
)=f(
)(
b-
a
).从几何上看，拉格朗日中值定理指出了连续光滑的曲线弧y
=
f(
x
)，x(
a
,b
)，必有平行于弦的切线，即存在一点
(
a
,b
)，使得曲线在该点处的斜率和弦AB的斜率相等，即拉格朗日中值定理的几何意义
(2)
拉格朗日中值定理的推论若函数
f(
x
)在闭区间
I上的导数恒为零，则
f(
x
)在
I上必为常数。
f(
x
)常数对
x
1,x
2
I有f(
x
2
)-
f(
x
1
)0.所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题，而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值定理进行讨论。定理拉格朗日中值定理推论分析用拉格郎日中值定理证明证任取
x
1
,x
2
I
，且x
1
<x
2
，考虑是否有
f=f(
x
2
)-
f(
x
1
)0.
由已知
f(
x
)在区间[
x
1
,x
2
]上满足拉格郎日中值定理条件，故存在
(
x
1
,x
2
)，使得
f=f(
x
2
)-
f(
x
1
)=f(
)(
x
2
-
x
1
)0
，因为当
x
I时，f(
)0
，故有f(
x
2
)-
f(
x
1
)=f(
)(
x
2
-
x
1
)0
，由x
1
,x
2
的任意性知，f(
x
)在
I
上恒为常数。由导数计算知，常数导数必为零。此拉格朗日中值定理推论可看作该结果的逆命题，证明抽象函数为常数时常利用这结果。此外它在积分学的讨论中也有重要应用。
结果说明
拉格郎日中值定理作为微分学基本公式在微积分中有着广泛的应用，此处仅讨论两类最基本的应用问题。不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性，每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式的不等式，它们可归结为如下形式：
K1(
b
-
a
)f(
b
)-
f(
a
)K2(
b
-
a
).(3)
拉格朗日中值定理的应用证明不等式及恒等式
利用拉格朗日中值定理证明形如K1(
b
-
a
)f(
b
)-
f(
a
)K2(
b
-
a
).的不等式的基本原理是：将具有函数增量形式的不等式中项转化为导数形式，并利用导数的有界性求得结果。其一般步骤是：①
根据所证不等式形式构造辅助函数
y=f(
x
)，x[a
,b]，
使得所证不等式中间项对应于
f(
x
)在区间[a
,b]上的增量
f
=
f(
b
)-
f(
a
).②
利用拉格朗日中值定理将函数增量转化为导数形式f(
b
)-
f(
a
)=
f(
)(
b
-
a
).从而将函数增量的讨论转化为对其导数
f(
x
)的讨论。③
验证导数的有界性，即K1f(
x
)K2，并由此导出不等式K1(
b
-
a
)f(
b
)-
f(
a
)K2(
b
-
a
).利用拉格朗日中值定理也可用于证明某些恒等式。具体讲，就是将所证恒等式看成形如f(
x
)
C的函数关系式，并设法证明有f(
x
)
0
，
于是根据拉格朗日中值定理推论有f(
x
)
常数。再选取适当的
x
0并求得
f(
x
0
)
C
，由此便证得
f(
x
)=
f(
x
0
)
C.
C.P.U.Math.Dept.·杨访例：设b>
a
>e，证明不等式a
b>b
a
.
所证不等式具有对称形式，考虑用拉格朗日中值定理进行证明。为利用拉氏中值定理证明，需构造适当辅助函数，并将所证不等式变形为该函数增量的形式。由对数函数的单调性，在所证不等式两边取对数有a
b>b
a
由此可见，所证不等式与函数
f(
x
)=
ln
x/x
在区间[
a
,b
]上的增量有关。分析
作辅助函数：由显然
f(
x
)在区间[
a
,b
]上满足拉格朗日中值定理条件，从而存在
(
a
,b
)，使得
由于
b>a>e
，所以
1
-
ln
<1，即有逆推而上便得所证不等式。用拉格郎日中值定理证明证三.柯西中值定理(1)
相对变化率与绝对变化率拉格朗日中值定理指出的函数增量与自变量增量间的关系
y
/x
=f(
)，实际是以自变量增量
x
为“标准”去度量函数增量
y，
y
/x可看成是函数y=f(
x
)的一种“绝对平均变化率”。实际问题有时却需要讨论所谓“相对平均变化率
y
/v”，即同时用另一个相关变量
v=g(
x
)的增量
v去度量函数增量
y
.相对平均变化率
y
/v是函数
y=f(
x
)对于另一函数变化的剧烈程度的度量。1.对拉格朗日中值定理的再认识例如，在交流电的研究中，常考虑交流电回路中交流电流
I
=
I(
t
)随时间的平均变化率
I/
t，同时也需要考虑电流与另一相关变量交流电压
V=V(
t
)的关系,平均变化率
I/
V反映的是交流电流随交流电压变化的剧烈程度，这就是所谓的交流阻抗。如果
I/
V不易求得，而
I
(
t
),V(
t
)易于求得，如何确定
I/
V？由于在实际问题中，一个变化过程常常含有多个变量，这类问题显然具有普遍意义。(2)
相对变化率的一般数学形式将上述问题归结为一般数学形式就是：
设有相关变量
X=F(
x
),Y=f(
x
)，考虑用变量X=F(
x
)的增量
F去度量另一个相关变量
Y=f(
x
)的增量
f，即考虑比值：
由拉格郎日中值定理，这一比值可表为但实际问题中这一比值可能难以求得。由于此时函数关系
Y=Y(
X
)可看成是由参数方程
X=F(
x
),Y=f(
x
)给出的，由参数方程的导数计算有
设函数
X
=
F(
x
)当
X
=
时对应
x
=
，则结果可表为于是得到相关变化率的一种中值关系式。由于相关变化率具有一般意义，此中值关系式就显得重要了。如果函数
f(
x
),F(
x
)在闭区间[
a
,b
]上连续，在开区间(
a
,b
)内可导，且
F(
x
)在(
a
,b
)内每一点处均不为零，则在(
a
,b
)内至少存在一点
(
a<
<b
)，使得以下等式成立(1)
柯西中值定理及其意义柯西中值定理2.柯西中值定理及其应用柯西中值定理建立了相对变化率与绝对变化率间的的联系。通过这种关系可将各种相对平均变化率的讨论转化为考察绝对变化率(导数之比)。这使得函数对自变量的导数具有更广泛的应用意义。柯西中值定理的几何意义与拉格郎日中值定理是类似的，即连续光滑的曲线弧必有平行于弦的切线，所不同的只是柯西中值定理是曲线由参数式表示的情形。柯西中值定理的分析意义
柯西中值定理的几何意义
柯西中值定理的几何意义
由柯西中值定理件，
f(
x
),F(
x
)在闭区间[
a
,b
]上连续，在开区间(
a
,b
)内可导，且
F(
x
)在(
a
,b
)内每一点均不为零，故函数
f(
x
),F(
x
)在(
a
,b
)上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点
(
a<
<b
),使得
f(
b
)-
f(
a
)=
f(
)(
b-
a
),
F(
b
)-
F(
a
)=
F(
)(
b-
a
),于是有柯西中值定理的一种错误证法
错误分析：
在上述推导中，对不同的函数
f(
x
),F(
x
)在闭区间[
a
,b
]上分别应用了拉格朗日中值定理，但对不同的函数而言，它们所对应的
值一般是不同的，由此所导出的结果应是：
f(
b
)-
f(
a
)=
f(
1
)(
b-
a
)，
1
(
a
,b
)；F(
b
)-
F(
a
)=
F(
2
)(
b-
a
),
2
(
a
,b
).于是有
这一结果和柯西中值定理并不相同！
柯西中值定理和拉格郎日中值定理有着类似的几何意义，因此它和拉格郎日中值定理有类似的应用形式。所不同的是，柯西中值定理常涉及考虑两函数增量间的关系问题，即若所论问题可归结为两函数增量间的关系形式，则可考虑利用柯西中值定理进行讨论。(2)
柯西中值定理的应用例：设
f(
x
),
g(
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