弹性力学第十章空间问题的解答

第十章空间问题的解答目录§10.1基本方程的柱坐标和球坐标形式§10.2位移场的势函数分解§10.3

拉梅应变势§10.4

齐次拉梅方程的通解§10.5

无限体内一点受集中力作用§10.6半无限体表面受法向集中力作用

在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。

根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标表示。若取对称轴为z轴，则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是

和z的函数，而与坐标无关。§１０-1空间问题的基本方程轴对称问题

轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。ρ例如：受轴对称荷载的厚壁筒、回转圆盘、无限体或半无限体受集中力等柱坐标：描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标柱坐标系xyz0P与直角坐标的关系：zφρdρdφ用相距的两个圆柱面，互成的两个铅垂面及相距的两个水平面，从弹性体内取一个微小六面体沿ρ方向的正应力径向正应力,环向正应力,沿方向的正应力轴向正应力,沿z方向的正应力作用在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力作用在水平面上而沿ρ方向作用的剪应力

从轴对称物体中取出图示的单元体一、轴对称问题的应力分量与体力分量的表示由于对称性，φρdρdφ并且环向体力分量为零φdφρρφφρdρ应变分量：径向正应变环向正应变轴向正应变剪应变：位移分量：径向位移环向位移轴向位移基本未知量：共10个二、轴对称问题的平衡微分方程:取图示微元体。由于轴对称，在微元体的两个圆柱面上，只有正应力和轴向剪应力；在两个水平面上只有正应力和径向剪应力；在两个垂直面上只有环向正应力，如图示。根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。注意：此时环向正应力的增量为零。0yzx0xyzρφφdφρρφφρdρφdφρρφφρdρ根据ρ方向的平衡利用可得:经约简并略去高阶微量，得：根据z方向的平衡，可得:0yzx化简后得到:空间轴对称问题的平衡方程为:三、几何方程通过与平面问题及极坐标中同样的分析，由径向位移引起的形变分量为：由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为由轴向位移w产生的应变为迭加得到几何方程四物理方程由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程：应力分量用形变分量表示的物理方程：其中：

例题：设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。解:位移法求解空间问题的方程为：1、由于任意铅直平面都是对称面，假设zRzxyq2、

将(2)代入，可见中的前二式自然满足，而第三式成为化简后，积分以后得：上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。

即

3、将(5)代入弹性方程(6)得：在本问题的边界上:Rzxyq应力边界条件为:前二式自然满足，而第三式要求:

4、由应力边界条件确定A得:5、决定常数B，利用给定的位移条件:得铅直位移:Rzxyqh6、分析：1）本问题的工程背景是地面受大面积堆载作用下的应力和位移分析。由：可得侧压力系数：2）本题也可按轴对称问题计算：取求得：

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。

根据球对称的特点，应采用球坐标表示。若以弹性体的对称点为坐标原点，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标r的函数，而与其余两个坐标无关。

显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。球对称问题xzy一平衡微分方程

取微元体。用相距的两个圆球面和两两互成角的两对径向平面，从弹性体割取一个微小六面体。由于球对称，各面上只有正应力，其应力情况如图所示。

由于对称性，微元体只有径向体积力。由径向平衡，并考虑到，再略去高阶微量，即得球对称问题的平衡微分方程：二几何方程

由于对称，只可能发生径向位移；又由于对称，只可能发生径向正应变及切向正应变，不可能发生坐标方向的剪应变。球对称问题的几何方程为：三物理方程

球对称问题的物理方程可直接根据虎克定律得来：将应力用应变表示为：例：空心圆球受均布压力

设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。其解为得应力分量解：由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为xzy26将边界条件代入上式解得于是得问题的径向位移应力表达式§10.2

位移场的势函数分解式亥姆霍兹(Helmholtz)定理：一个任意的位移场U总可以分解为两部分，一部分代表没有转动的（即无旋的）位移场U1，另一部分代表没有体积变化的（即等容的）位移场U2。

(a)

由于U1为无旋的位移场，故其旋度为零。

那么存在一个标量势函数，它的梯度等于U1

对于U2，由于它表示等容变形，则体积应变为零，也表示其散度为零。

(b)不失一般性，可令(c)(c)式成立的条件是(d)(10-14)(b),(d)代入(a)得(10-15)式(10-15)称为位移场的势函数分解式，或称Stokes分解式。对式(10-15)作散度和旋度运算，可得(10-16)§10.3

拉梅应变势式(10-15)给出了位移场既非无旋也非等容的一般情况下的分解式，若位移场是无旋的，则式(10-15)可简化为(10-17)将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程(10-18)代入式（10-18）得

注意到：由此可得：(10-19)由于方程（10-19）的成立表示弹性体内各处的膨胀或收缩是均