塑性加工力学-第10章-上限法

概述

虚功原理与基本能量方程

最大散逸功原理

上、下限定理

上限法的解题步骤和应用实例第10章上限法10.1概述基于虚功原理和变分原理的极限分析法或界限法：下限法和上限法用下限法计算极限载荷时，只假设塑性变形区内的应力状态为静可容应力场1）、满足平衡微分方程2）、满足力边界条件3）、不违背屈服准则依据此应力场所求得的极限载荷总是小于真实载荷，故称为下限法证明对屈雷斯加，Mises，∵∴∵∴……(1)……(2)……(3)∵……(4)……(5)∵∴根据Mises屈服准则∴……(6)……(7)上限法

假设塑性变形区的位移状态为动可容速度场1）、满足速度（位移）边界条件2）、变形体内保持连续性，不发生重叠和开裂3）、满足体积不变条件由于所设的速度场只要求满足动可容条件，而不考虑应力方面的条件，因此，该速度场不一定是真实速度场。所求得的载荷总是大于真实载荷，故称为上限法1、由于上限法所求得的载荷总是大于真实载荷，因此对设备和模具比较安全2、上限法是利用能量平衡原理，不必解复杂的偏微分方程10.2虚功原理与基本能量方程界限法的力学基础是虚功原理如对载荷作用下处于平衡状态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位移时，则外力在虚位移上所作的虚功，必等于变形体内应力在虚应变上所作的虚功（虚应变能）

虚功方程或基本能量方程……(1)虚功方程的证明已知力边界条件为…(1-1)利用曲面积分与体积积分的关系∵虚功原理得证∵∴利用求和约定证明∵∴应力球张量不做功…(2)…(3)速度间断（5）为存在速度间断的虚功方程。由于速度间断面实质上是最大切应力平面，故…(4)…(5)10.3最大散逸功原理

对刚塑性体一定的应变增量场而言，在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大符合应力应变关系的应力偏量和应变增量满足同一屈服准则的任意应力偏量场…(6)最大散逸功原理的证明OQ一定在π

平面上…(7)…(8)32OQ主轴空间内的应力、应变矢量Π平面上的偏应力矢量和应变矢量M231Qθ由于屈服轨迹是外凸的曲线对上式进行整体积分得同样对于虚拟应变增量场…(9)M231Qθ物体在塑性变形时，总是要导致最大的能量散逸对于一定的应变增量场，在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场长符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大。…(10)除以dtM231Qθ10.4上、下限定理

下限定理刚塑性体，应力球张量不做功…(11)虚功原理设有一应力场，满足静可容条件与虚拟应力场相对应的表面力…(12)(11)减(12)得…(13)在力面上由最大逸散功原理∴∴在位移面上，由任一静可容应力场引起的表面力所做的功增量总是小于真实表面力所做的功增量可得到真实载荷的下限解…(14)满足力平衡上限法从动可容位移增量（速度）场，并不要求相应的应力场满足静可容条件现设有一动可容位移场速度间断面位移增量间断值…(15)参照虚功方程（5）得在最大逸散功原理得按屈服准则面上得剪切功虚位移功真实力虚功真实力功…(17)为上限定理的数学表达式，在位移面上，与任一动可容位移增量场对应的表面力所做的功增量，总是大于或等于真实表面力在真实位移增量场上所做的功增量。若用分别代替和，则式（16）中的各项变为相应的功率，因而得…(18)由上所确定的载荷，总是大于或大于或等于真实表面力所确定的载荷P存在外摩擦时要计入摩擦功为自由表面时对于真实应变场来说，真实应力场与虚拟应力场相比，真实应力场所消耗的功（或功率）最大。但是，真实应力场总是力图引起最小的变形。因此，对真实应力场来说，真实应力场与虚拟应变场相比，真实应变场消耗的功最小。真实应力状态具有最大的性质，而真实应变状态具有最小的性质，这就是刚塑性体的极值原理。10.5上限法的解题步骤和应用实例一、解题步骤根据金属流动模式（变形规律）和解题要求（如缺陷分析），设计动可容速度场；利用塑性理论中的几何方程，由该速度场确定应变速率场和等效应变速度场；计算各项上限功率利用最优化原理确定使总功率消耗为最小的准独立变量。求解上限载荷，并进行各变量间相互关系的分析，从中得出用以指导工艺变形的参数的结论。选择合量的流动模式和设计尽可能接近实际情况的动可容速度场，是关键。上限法中的动可容速度场主要有三种模式平面应变问题，参照相关的滑移线场，把变形体简化成速度间断面分隔的若干三角形刚性块。含有连续速度场的上限流动模式，即把塑变区设计为连续速度场，如平行速度场、各种形式的向心速度场等，只在刚-塑性边界产生速度间断。此外，还有用流函数求得的连续速度场。可用于平面应变问题，也可用于轴对称变形问题。上限单元技术。将变形体的单元划分和速度场的确定规范化，进而计算各单元内部的功率消耗、各单元之间的剪