华科线性代数课件第四章

求解线性方程组的问题被认为是数学中最重要的问题之一，统计表明，在科学及其工程应用中，有超过75%的问题会涉及线性方程组。

第四章线性方程组线性方程组主要研究以下三个问题3.如果线性方程组有多个解，如何将其解用通解表示出来？1.线性方程组有解的充分必要条件是什么？

2.如果线性方程组有解，到底有多少解？如何求得其解？§4.1线性方程组的基本概念4.1.1线性方程组的一般形式1.含m个方程，n个未知数的线性方程组的一般形式为：其中为未知量，和为常数。称为型线性方程组。令则线性方程组可简记为2.非齐次线性方程组若线性方程组中右边的系数不全为零，即存在，称为非齐次线性方程组3.齐次线性方程组若线性方程组中右边的系数全为零，即称为齐次线性方程组.4.线性方程组的解线性方程组（4.1）的解是由n元向量构成，它满足线性方程组（4.1）中的每个方程。例1

下列方程组都是线性方程组。

（1）

（2）

（3）

其中，（1）和（3）是非齐次线性方程组，（2）是3×3型的齐次线性方程组。

5.等价方程组若方程组Ax=a的解为方程组Bx=b的解，而方程组Bx=b的解也为方程组Ax=a的解，则称Ax=a与Bx=b为等价方程组.4.1.2矩阵的初等变换对线性方程组的影响3.增广矩阵1.线性方程2.系数矩阵4.增广矩阵的行初等变换不改变方程组的解定理4.1

证

设向量X是方程组AX=b的任何一个解，有。两边左乘矩阵P，则有即X也是的一个解。反之，任取的一个解，两边左乘，则有，即，所以X是的一

个解。因此，和同解，故为等价的线性方程组。□4.1.3线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示（4.3）揭示线性方程组（4.1）的解是组合系数。方程组有解则等价于b是A的列向量的线性组合，即向量组和向量组等价。更重要的，它在理论上可以得到如下结果：定理4.2设型线性方程组为AX=b,则有：（1）AX=b有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，即有r(A)=r（[A|b]）(2)AX=b有惟一解充要条件是r(A)=r([A|b])=n证

（1）必要性：已知有解，则由（4.3）式，

b是A的列向量的线性组合，

从而A的列向量组

等价于向量组

故二者秩相等，即充分性：已知即又

所以的极大线性无关组是

的极大线性无关组。故b是

的线性组合，即有解。（2）必要性：已知有惟一解，则由（1），

且有惟一解向量，使则反设，则向量组线性相关，

存在不全为0的数，使从而

故向量

也是的解，

与的解惟一矛盾。故充分性：方程组有解，故时，线性相关，而线性无关，由定理3.2，b可由惟一地线性表示，从而有惟一解。□定义4.2对线性方程组施行下列三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零数乘某个方程；（3）把某个方程的若干倍加到另一个方程，称为线性方程组的初等变换1.线性方程组的初等变换2.Gauss消元法用上面三种初等变换把一个线性方程组化成增广矩阵为阶梯形的线性方程组的过程叫Gauss消元法.§4.2Gauss消元法用矩阵表示Gauss消元法，则为：对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换化为行阶梯形或行标准形，即（行阶梯形或行标准形），则由定理4.1，方程组等价于方程组，而作为增广矩阵的行阶梯形，特别是行标准形，它对应的线性方程组是很容易求解的。

例题4用Gauss消元法求解下列非齐次线性方程组故方程组无解。故方程组有解。行标准形对应的方程组（与原方程组等价）为：故方程组有解。行标准形对应的方程组（与原方程组等价）为：从例4中，可注意到如下几点：（1）如果增广矩阵的行标准形矩阵中含有如下行：

（2）当时，

则线性方程组无解。

因为任何实数都不能满足该行给出的方程线性方程组的解不惟一，而且有无穷多个解。

这时方程组的解中有个自由未知量.（3）从方程组解的向量表示中，可以看到，非齐次线性方程组的一般解（通解）是个确定的常向量的线性组合，再加上一个常向量解。§4.3齐次线性方程组的解的结构2.型齐次线性方程组的矩阵形式和向量形式分别为：1.讨论下面型齐次线性方程组的解例题5求解齐次线性方程组解对方程组系数矩阵A作行初等变换，将A化为行标准形

从A的行标准形，取作为自由变元，对应解为即为任意常数。

这就是方程组的通解，通解为下列线性无关向量组（基础解系）的线性组合（解的结构）：3.齐次线性方程组总是有解的，就是它的一个解。4.设表示齐次线性方程组所有解组成的集合，即（4.3）5.解的结构讨论解与解之间的关系及通解的构造。齐次线性方程组的解与解之间的关系有下面结果。定理4.3设是齐次线性方程组的两个解，则的线性组合也是的解。证

已知对的任意线性组合

有

定理4.3说明：任取，则，从而齐次方程组的解集合是一个向量空间，称为的解空间。这使得我们可用空间的结构来研究的解集合的结构。6.基础解系

：齐次线性方程组的解空间的基，称为该方程组的基础解系，

故若为的基础解系，则有：（1），即是的解；（2）线性无关；（3）方程组的任何一个解X，都可表示为的线性组合即（4.4）称（4.4）为方程组的通解公式。7.下面我们确定解空间的维数。

定理4.4设型齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则的解空间的维数：推论1型齐次线性方程组的任意个线性无关的解都是的基础解系。当时，，即，这时齐次线性方程组的惟一解为，即零解，等价地，我们有：推论2型齐次线性方程组有非零解的充要条件是.即B的列向量

因此AB=0当且仅当

证

设矩阵B的k个列向量为，则由矩阵乘法：

所以

是齐次方程组

即

的解向量。从而

解

的列向量是上面齐次方程组的解，意味着该齐次方程组有非零解，由定理4.4的推论2，得该齐次方程组的系数矩阵A的秩，故

又当时，故方程组的基础解系只有一个解向量，从而B的三个列线性相关，得证

A为矩阵，则为n阶矩阵，

取齐次线性方程组：型：

先证和为等价的线性方程组。

任取即，则有，

两边左乘，得即又取即

即内积，

从而m维向量AX为零向量，即

综上所述，二者的解空间相等，即由定理4.4，

从而

从而有这就证得了，

读者可类似地证明：

§4.4非齐次线性方程组解的结构1.非齐次线性方程组3.非齐次线性方程组解的性质定理4.5非齐次线性方程组的任意两个解的差是它的导出方程组的解。2.导出方程组证由题意，，故从而是导出组的解。□值得指出的是:非齐次线性方程组的两个解之和，由于从而不再是方程组的解，即非齐次线性方程组的解集合已不再是向量空间，这里我们将利用其导出方程组解的结构给出非齐次线性方程组解的结构。4.非齐次线性方程组的通解证得到是的通解，从而有

定理4.6非齐次线性方程组的通解为：非齐次线性方程组的特解+导出方程组的通解,即由X的任意性，当X取遍的一切解时，

若设的一个解为为导出方程组的基础解系，则非齐次线性方程组的解为即的通解为：例题10

求下列线性方程组的通解和导出方程组的的基础

解系。解

（1）对增广矩阵做行初等变换：

，方程组有解；又，

解惟一。的行标准形给出惟一解：

这题的导出方程组只有零解没有基础解系。（2）对增广矩阵做行初等变换：

即通解为

，取作为自由未知量

为任意常数，导出组的基础解系为

例题11解由题意，已知型的线性方程组，导出组的基础解系含个线性无关的解.由解的结构，的通解X为从而得到导出组的基础解系可以取为等价于

又从得

所以