初三数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题及详细答案

初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题及详细答案一、一元二次方程1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？⑵李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；（2）李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为（40-x）cm.就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40-m）cm.就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李试题解析：设其中一段的长度为■■■'cm，两个正方形面积之和为；试题解析：设其中一段的长度为■■■'cm，两个正方形面积之和为；cm2,则解这个方程，得:;二二，V二二，应将之剪成12cm和28cm25S=—-5jc+100,8的两段；（2）两正方形面积之和为48时，—，——一F二-二，工一--]工一-'■/=?，S•••--[「--I该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确.考点：1.一元二次方程的应用；2.几何图形问题解方程：（x+1）（x-3）=-1.【答案】X]=1+\；3，x2=1-、.：3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：X2-2x=2，配方得：X2-2x+1=3，即（x-1）2=3，解得：X]=1+\：'3，x2=1-耳3.已知关于x的一元二次方程x2—（2k-1）x+k2-3=0有两个实数根.（1）求k的取值范围；

x2，且满足x2+x2=23，求k的值.21213答案】⑴k<J；(2)k=-2-解析】【分析】（1）根据方程有实数根得出V=[-（2k-1力2-4xlxb-3）=—8k+5>0，解之可得.（2）利用根与系数的关系可用k表示出xi+x2和X]X2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.【详解】解：（1）Q关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-3=0有两个实数根,,\V>0，即[-（2k-1力2-4x1x（k2-3）=-4k+13>0，解得k<1|(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2k-1，x1x2=k2-3，/.x2+x2=(x+x)2—2xx=(2k-1)2—2Ck2—3)=2k2—4k+7121212Qx2+x2=23，122k2-4k+7=23解得k=4解得k=4，或k=-2，Qk<才,.k=4舍去.k=-2.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0,a，b，c为常数）根的判别式.当V>0，方程有两个不相等的实数根；当V=0，方程有两个相等的实数根；当V<0，方程没有实数根.以及根与系数的关系.4.解方程：（3x+1）2=9x+3.12【答案】X]=-3，x2=3.【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2-3（3x+1）=0,分解因式得：（3x+1）（3x+1-3）=0,可得3x+1=0或3x-2=0，12解得：乂产-3，x2=3.点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.解方程：(1一2x)2二X2—6x+94【答案】X二牙,X=—2132【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得(1—2x)2=(x—3)2开平方，得1—2x—x—3，或1—2x——(x—3)4解得x=二,x——2132由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】(1)5；(2)180【解析】【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可.【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+(x+1)x=36,解得：x=5或x=-7(舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；根据题意得：5x36=180(个)，答：第三轮将又有180人被传染.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.&已知关于x的一元二次方程x2—(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x】，x2求实数k的取值范围；是否存在实数k,使得x1^x2—x12—x22>0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．1【答案】(1)当k<4时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k,使得XfX2—X]2—x22>0成立【解析】试题分析：(1)根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；(2)本题利用韦达定理解决.试题解析：A=(2k+1)2—4(k2+2k)>0，解得k<4由xx一x2一x2>0得3xx—(x+x)2>0，12121212由根与系数的关系可得：x+x=2k+1,xx=k2+2k1212代入得：3k2+6k—4k2—4k—1>0，化简得：(k一1)2<0，得k=1.由于k的取值范围为k<4，故不存在k使xx—x2—x2>0．12129.关于X的一元二次方程x2+(2k一1)x+k2-0有两个不等实根xi，x2.求实数k的取值范围；若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2一1=0，求k的值.1【答案】⑴kV4；(2)k=0.【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式得出厶>0,求出不等式的解集即可；根据根与系数的关系得出X]+x2=-(2k-1)=1-2k，X]・x2=k2，代入xt+x2+xtx2-1=0，即可求出k值.【详解】解：(1)•••关于X的一元二次方程X2+(2k-1)x+k2=0有两个不等实根X],x2，△=(2k-1)2-4x1xk2=-4k+1>0，1解得：kV4，即实数k的取值范围是kV土；(2)由根与系数的关系得:X]+x2=-(2k-1)=1-2k,X]・x2=k2,TX1+X2+X1X2-1=0,1-2k+k2-i=o,二k2-2k=0.k=o或2,T由(1)知当k=2方程没有实数根，.k=2不合题意,舍去,.k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点,能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式,以防错解．10．阅读下面的例题,范例：解方程X2-|x|-2=0,解：(1)当x>0时，原方程化为X2-x-2=0,解得：x1=2,x2=-1(不合题意，舍去).(2)当xV0时，原方程化为X2+x-2=0,解得：x1=-2,x2=1(不合题意，舍去)..原方程的根是X=2,X=-212请参照例题解方程x2-|x-10|-10=0.【答案】X]=4,x2=-5.【解析】【分析】分为两种情况：当X>10时，原方程化为X2-x=0,当xV10时，原方程化为X2+X-20=0,分别求出方程的解即可.【详解】当x>10时，原方程化为X2-X+10-10=0，解得X1=0(不合题意，舍去)，X2=1(不合题意,舍去)；当xV10时，原方程化为X2+X-20=0，解得x3=4,x4=-5,故原方程的根是X1=4，X2=-5.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.11.已知X1、x2是关于x的方程x2-2(m+l)x+m2+5=0的两个不相等的实数根.(1)求实数m的取值范围；⑵已知等腰AABC的一边长为7,若xi、x2恰好是AABC另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】(1)m>2；(2)17【解析】试题分析：(1)由根的判别式即可得；(2)由题意得出方程的另一根为7,将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：(1)由题意得A=4(m+1)2-4(m2+5)=8m—16>0,解得：m>2；(2)由题意，TX]%时，二只能取x=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49-14(m+1)+m2+5=0，解得：m=4或m=10.当m=4时，方程的另一个根为3此时三角形三边分别为7、7、3周长为17；当m=10时，方程的另一个根为15,此时不能构成三角形；故三角形的周长为17.点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键.12.关于x的一元二次方程■■--■■'：i.求证：方程总有两个实数根；•若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)-1.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根⑵根据题意利用十字相乘法解方程，求得■■■!'■■，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定■“的取值范围，即求出吗■“的最小值.【详解】⑴证明：依题意，得；二;I心；:；il'-m2+6m+9-斗讯-8(m+I)2>00.•••方程总有两个实数根.'：：由■:.'；：-:::.-■■：：■-..门可化为：;得'I■?T方程的两个实数根都是正整数，【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.13．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】(1)每个月生产成本的下降率为5%；(2)预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】设每个月生产成本的下降率为X,根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本x(1-下降率)，即可得出结论．【详解】设每个月生产成本的下降率为x,根据题意得：400(1-x)2=361,解得：X]=0.05=5%,x2=1.95(不合题意，舍去).答：每个月生产成本的下降率为5%；361x(1-5%)=342.95(万元),答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是：(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程；(2)根据数量关系,列式计算.淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件.“双十一"购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为."双十一"活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品.在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%,再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一"购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%,“双十一"活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.【答案】(1)平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；(2)乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元.【解析】【分析】设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；根据总利润=每件的利润x销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80(1+a%)中即可求出结论.【详解】设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80(1-x)2=39.2,解得：X]=0.3=30%,x2=1.7(不合题意，舍去).答：平均每次降价率为30%,才能使这件A商品的售价为39.2元.根据题意得：[0.5x80(1+a%)-30]x1000(1+2a%)=30000,整理得：a2+75a-2500=0,解得：a1=25,a2=-100(不合题意,舍去),80(1+a%)=80x(1+25%)=100.答：乙网店在“双十一