《概率论与数理统计》习题三答案

《概率论与数理统计》习题及答案习题三将一硬币扔掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：X0123Y100300盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：X0123Y000102P黑,2红,20(0白)=设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为ππF（x，y）=sinxsiny,0x2,0y20,其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域0xπ,πyπ内的概率.463πππ【解】如图P{0X,Y}公式(3.2)463题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。设随机变量（X，Y）的分布密度(3x4y)f（x，y）=Ae,x0,y0,0,其他.求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由f(x,y)dxdyAe-(3x4y)dxdyA10012得A=12（2）由定义，有(3)P{0X1,0Y2}设随机变量（X，Y）的概率密度为k(6xy),0x2,2y4,f（x，y）=其他.0,（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有故1R8（2）P{X131,Y3}f(x,y)dydx(3)P{X1.5}f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdyx1.5D1(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdyXY4D2题5图设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上遵从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=

5e5y,y0,0,其他.求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上遵从均匀分布，所以X的密度函数为而所以(2)P(YX)如图25e5ydxdyf(x,y)dxdyyxD设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=(1e4x)(1e2y),x0,y0,0,其他.求（X，Y）的联合分布密度.2F(x,y)8e(4x2y),x0,y0,【解】f(x,y)0,其他.xy设二维随机变量（X，Y）的概率密度为4.8y(2x),0x1,0yx,f（x，y）=其他.0,求边缘概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dy题8图题9图设二维随机变量（X，Y）的概率密度为ey,0xy,f（x，y）=其他.0,求边缘概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dy题10图设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=cx2y,x2y1,0,其他.（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD得c21.4(2)fX(x)f(x,y)dy设随机变量（X，Y）的概率密度为1,yx,0x1,f（x，y）=其他.0,求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.题11图【解】fX(x)f(x,y)dy所以袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y可否相互独立？【解】（1）X与Y的联合分布律以下表Y345X1203006161(2)因P{X1}gP{Y3}10100P{X1,Y3},1010故X与Y不独立设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为X258Y0.40.150.300.350.80.050.120.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y可否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布以下表YX258i}P{Y=y0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因P{X2}gP{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),故X与Y不独立.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上遵从均匀分布，Y的概率密度为1ey/2,y0,fY（y）=2其他.0,（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.y1,0x1,1e2,y1,【解】（1）因fX(x)fY(y)20,其他;0,其他.1ey/20x1,y0,故f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)20,其他.题14图方程a22XaY0有实根的条件是故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：设X和Y分别表示两个不同样电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且遵从同一分布，其概率密度为1000f（x）=x2,x1000,0,其他.求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z(){}{X}PZzPzY当z≤0时，FZ(z)0（2）当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=1000）(如图a)z题15图(3)当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）11,z1,2z即fZ(z)z,0z1,20,其他.12,z1,2z故fZ(z)1,0z1,20,其他.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地遵从N（160，202）分布.随机地采用4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），从而设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X=k}=p（k），k=0，1，2，，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，.证明随机变量Z=X+Y的分布律为iPZi，，，，.p(k)q(ik)i=012k0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以于是18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都遵从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y遵从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，，2n.方法二：设μ1,μ2,,μn;μ1′,μ2′,，μn′均遵从两点分布（参数为p），则X=μ1+μ2++μn，Y=μ1′+μ2′++μn′,X+Y=μ1+μ2++μn+μ1′+μ2′++μn′,所以，X+Y遵从参数为（2n,p)的二项分布.设随机变量（X，Y）的分布律为X01234Y5000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.0620.0830.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.P{X2,Y2}【解】（1）P{X2|Y2}P{Y2}（2）P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}所以V的分布律为VX12345=max(,0Y)P00.040.160.280.240.28(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}于是UXY0123=min(,)P0.280.300.250.17近似上述过程，有WXY12345678=+0P00.020.060.130.190.240.190.120.05雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上遵从均匀分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为P{Y0,YX}（1）P{Y0|YX}P{YX}(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}设平面地域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在地域D上遵从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【解】地域D的面积为S0e21e2XY）的联合密度函数为dx11x（X，Y）关于X的边缘密度函数为所以fX(2)1.422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其他数值填入表中的空白处.Yy1y2PXxi}=piX{=y3x11/8x21/8PYyj}=pj1/61{=2P{Xxi,Yyj},【解】因P{Yyj}Pji1故P{Yy1}P{Xx1,Yy1}P{Xx2,Yy1},从而P{Xx1,Yy1}111.6824而X与Y独立，故P{Xxi}gP{Yyj}P{Xxi,Yyi},从而P{Xx1}1P{Xx1,Yy1}16.24即：P{Xx1}1/11.2464又P{Xx1}P{Xx1,Yy1}P{Xx1,Yy2}P{Xx1,Yy3},即111P{Xx1,Yy3},4248从而P{Xx1,Yy3}1.12同理P{Yy}1,P{Xx,Yy}3222283P{Yyj}1,故P{Yy3}1111.又j1623同理P{Xx23}.4从而故YX1设某班车起点站上客人数X遵从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1)PYm|Xnnpm(1p)nm,0mnn0,1,2,L.{}Cm,(2)P{Xn,Ym}P{Xn}gP{Ym|Xn}24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X12，而Y的概率密度为fy，~0.30.7( )求随机变量UXY的概率密度gu=+( ).【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立，可见由此，得U的概率密度为25.设随机变量X与Y相互独立，且均遵从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}1}.解：由于随即变量遵从[0，3]上的均匀分布，于是有由于X，Y相互独立，所以推得P{max{X,Y}1}1.9设二维随机变量（X，Y）的概率分布为X??101Y??1a00.200.1b0.2100.1c其中a,b,c为常数，且X的数学希望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：1）a,b,c的值；2）Z的概率分布；3）P{X=Z}.解(1)由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由E(X)0.2，可得ac0.1.再由P{X0,Y0}ab0.1,P{Y0X0}ab0.5P{X0}0.5得ab0.3.解以上关于a