立体几何中球的内切和外接问题完美版

关于立体几何中球的内切和外接问题完美版第一页，共四十六页，2022年，8月28日二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，

则称这个多面体是这个球的内接多面体，

这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，

这个球是这个。一、球体的体积与表面积①②多面体的外接球多面体的内切球第二页，共四十六页，2022年，8月28日剖析定义1一、由球心的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。第三页，共四十六页，2022年，8月28日一、定义法针对讲解1第四页，共四十六页，2022年，8月28日

求正方体、长方体的外接球的有关问题2第五页，共四十六页，2022年，8月28日2②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。求正方体、长方体的外接球的有关问题例2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.B.C.D.第六页，共四十六页，2022年，8月28日破译规律-特别提醒2第七页，共四十六页，2022年，8月28日球与正四面体内切接问题3【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积．第八页，共四十六页，2022年，8月28日球与正四面体内切接问题3第九页，共四十六页，2022年，8月28日正四面体内切、外接结论3

球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1.外接球半径：

内切球半径：结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。第十页，共四十六页，2022年，8月28日1例4、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。过侧棱AB与球心O作截面(如图)在正三棱锥中，BE是正△BCD的高，O1

是正△BCD的中心，且AE为斜高解法1：O1ABEOCD作OF⊥AE于FF设内切球半径为r，则OA=1－r∵Rt△AFO∽Rt△AO1E

第十一页，共四十六页，2022年，8月28日例4、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。

解法2：设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD注意：①割补法，②O1ABEOCD第十二页，共四十六页，2022年，8月28日变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A

．①②Ｂ．②④Ｃ．①②③Ｄ．②③④①②③④第十三页，共四十六页，2022年，8月28日ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。第十四页，共四十六页，2022年，8月28日变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，

则（）

A．以下四个图形都是正确的B．只有②④是正确的C．只有④是正确的D．只有①②是正确的①

②③④

D第十五页，共四十六页，2022年，8月28日ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径解法2：第十六页，共四十六页，2022年，8月28日直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。4解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。第十七页，共四十六页，2022年，8月28日正棱锥的外接球的球心是在其高上5第十八页，共四十六页，2022年，8月28日正棱锥的外接球的球心是在其高上5第十九页，共四十六页，2022年，8月28日测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心6第二十页，共四十六页，2022年，8月28日若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。7第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日破译规律-特别提醒03第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日例题剖析-针对讲解2第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升04第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升41、（2015海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升42、（2015郑州三模）正三角形ABC的边长为

，将它沿高AD翻折，使点B

与点C间的距离为

，此时四面体ABCD的外接球的体积为

。

等边三角形第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升43.(2015南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）C第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升44.（2015石家庄一模）三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,Q为底面内一点，若Q到三个侧面的距离分别为3,4,5,则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为

第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日-29-考点一考点二考点三举一反三-突破提升4第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日-30-考点一考点二考点三举一反三-突破提升4第三十页，共四十六页，2022年，8月28日-31-举一反三-突破提升4第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日-32-举一反三-突破提升4第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日.四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥的各个面相切，则此四棱锥的体积为（）

A．15B．24C．27D．30举一反三-突破提升4第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升4第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升4第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升4第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升4第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日举一反三-突破提升4第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日正视图侧视图俯视图第三十九页，