第3章 图像变换

1《数字图像处理与图像通信》朱秀昌刘峰胡栋北京邮电大学出版社2第3章图像变换3.1离散傅立叶变换3.2离散余弦变换3.3数字图像信号的正交基表示3.4沃尔什和哈达玛变换3.5离散K-L变换3数字（图像）信号分析方法：空域（时域）分析法频率分析法图像变换：将图像信号从空间域变换到频率域（或相反），以便从另一个角度来观察、分析、处理图像的空间域或频率域信号。43.1离散傅立叶变换3.1.1一维离散傅立叶变换设离散序列：离散傅立叶正变换（DFT）：离散傅立叶反变换（IDFT）：51.δ函数及其性质

定义：

性质：

(1)筛选性质

(2)尺度变化性质6(3)乘积（采样）

(4)卷积性质

(5)其傅立叶变换为常数1

(6)δ函数序列的傅立叶变换也是一个δ函数序列72.频率域抽样定理（和时间域的抽样对称）如果函数h(t)的持续时间有限，即：

则其傅氏变换H(f)能由其等间隔频域样本唯一确定：83.一维DFT的推演（不做要求）图(c)为抽样的结果。然后，用(d)所示的矩形窗截断抽样后的函数。图(e)表示截断后的波形及其傅氏变换。由卷积定理可知，时域上的截断引起了频率域的“皱波”效应.最后对上式的傅氏变换进行抽样，它等效于截断后的抽样波形与图中(f)的时间函数作卷积。于是，图(g)中的周期为的周期函数可以写成：94.离散卷积和相关设x(n)、h(n)是周期为N的周期函数，其离散卷积y(n)是一个周期为N的函数：

离散卷积定理：两卷积信号的频谱等于这两个信号频谱的乘积。即离散相关：

离散相关定理：两相关信号的频谱等于一个信号的频谱和另一个信号频谱的共轭的乘积。103.1.2二维离散傅立叶变换1.二维DFT的定义：

{f(x,y)｜x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}

的DFT:|F(u,v)|幅度谱

φ(u,v)相位谱112.二维DFT的性质（特性）

(1)变换的可分离性

(2)旋转不变性123.二维DFT的实现

用两次一维DFT就可以实现二维变换（大幅降低计算复杂度）：

x，y分别与行、列坐标相对应：用同一个（一维）变换程序：133.2离散余弦变换3.2.1一维DCTDCT变换的基本思想：

将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数，

DCT变换本质上仍然是傅立叶变换，但只有实数计算，计算简单。一维DCT的定义：设信号序列为{f(x)|x=0,1,…,N-1}，其离散余弦的正变换：14

逆变换:

一维DCT的正反变换的变换核都是：矩阵形式：153.3.2二维DCT

二维图像信号序列{f(x,y)｜x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的二维DCT正变换：

二维DCT的逆变换：二维DCT的正反变换的变换核都相同，且是可分离的：16

二维DCT的矩阵形式：

可用两次一维DCT实现图像信号的二维DCT；

二维DCT的频谱分布特点：由于DCT相当于对带有中心偏移的偶函数进行二维DFT，因此，其谱域与DFT相差一倍，如图3.4所示。图3.4DCT与DFT频谱的区别173.3图像信号的正交基表示3.3.1变换核的一般表达式正反变换的通用形式：正变换核：g(x,y,u,v)

；反变换核：h(x,y,u,v)。

可分离变换有如下等式，如右边的FT变换：183.3.2变换的矩阵表达式可分离变换的矩阵形式：P、Q是对称阵酉矩阵对于二维正交变换，其逆变换总是存在的，且逆变换核等于正变换核的共轭转置。193.3.3基本图像和基本频谱二维正交变换矩阵的外积形式：矩阵f分解成为求和形式：向量外积形式：20外积:

一个N×1向量与另一个1×N向量的积，结果为一N×N阶矩阵。“基本图像”是固定的矩阵（只与该正交变换的阶数有关）；物理意义：以变换域系数作为加权，由外积的组合，或者说由“基本图像”的组合，可以得到原始图像f。“基本频谱”利用“基本图像”和“基本频谱”，分析频域的分量在空间域像素的贡献（影响），

空间域的像素值对频域中频谱分量的贡献（影响）。213.4沃尔什和哈达玛变换3.4.1离散沃尔什（Walsh）变换包括只有+1和-1两个数值；完备正交基，计便于计算机实时处理。1.一维离散沃尔什变换一维离散沃尔什变换核和正变换：

一维离散沃尔什反变换核和反变换：222.二维离散沃尔什变换二维沃尔什变换的变换核和正变换二维沃尔什正变换二维沃尔什变换的反变换核和反变换（略）23矩阵表达式【例2】求二维数字图像信号信号的二维沃尔什变换。图像是4×4矩阵，n=2、N=4

二维沃尔什变换为：243.5.2离散哈达玛(Hadamard)变换哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达玛变换核矩阵是一个方阵，只包括+1和-1两个矩阵元素，哈达玛变换核矩阵的各行或各列之间彼此是正交的，哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换不同之处仅仅是行的次序不同，最大优点：哈达玛变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用二个低阶矩阵求得。251.一维离散哈达玛变换一维哈达玛变换核为一维哈达玛变换式为例如：26

一维哈达玛反变换核一维哈达玛反变换列率：某一列符号改变的次数。通常称为这个列的列率，定序哈达玛变换：列率随u增加而增加的次序定序哈达玛变换核和反变换核272.二维离散哈达玛变换二维离散哈达玛变换对：二维哈达玛变换核是可分离和对称的，可分成二步一维变换来完成，哈达玛变换也存在快速算法FHT，其原理与FWT类似。283.5离散K-L变换*K-L变换(Karhunen-LoeveTransform)，从图像的统计性质出发的变换

离散的K-L变换:特征向量变换、主分量分析、霍特林(Hotelling)变换，……K-L变换式表示为：其中29K-L变换也有反变换，可以从Y