第4章 流体动力学

第四章流体动力学实质：质量守恒1.连续性方程的微分形式oyxzdmxdmx’dxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量流体运动的连续性方程同理：dt时间内，控制体总净流出质量：由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即——连续性方程的微分形式不可压缩流体即例：已知速度场此流动是否可能出现？解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。解：由得积分由z=0，uz=0得c=02.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则——连续性方程的积分形式不可压缩流体分流时合流时不可压缩平面流场满足连续性方程：即：由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充要条件函数ψ称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数ψ的全微分：得：流函数的主要性质：（1）流函数的等值线即是流线；证明：——流线方程（2）两条流线间通过的单宽流量等于两流函数之差；证明：例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy=－2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？解：（1）满足连续性方程（2）是无旋流流体的运动微分方程1.理想流体运动微分方程（1）平衡微分方程（2）运动微分方程欧拉运动微分方程分量式常与连续性微分方程联立（1）（2）（3）2.粘性流体运动微分方程（粘性作用→切应力）——纳维-斯托克斯方程（N-S方程）分量式元流的伯努利方程1.理想流体元流的伯努利方程（1）推导方法一只有重力不可压缩恒定流将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、dz，并相加积分（3）物理意义——单位重量流体的总势能（m）——单位重量流体的动能（m）——位置水头+压强水头——速度水头单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）2.粘性流体元流的伯努利方程——能量守恒3.方程适用范围恒定流、不可压缩、质量力是重力的元流4.应用：皮托管测流速h12c——毕托管修正系数（1~1.04）总流的伯努利方程1.总流的伯努利方程元流的伯努利方程推导：两边同乘以ρgdQ，积分（1）势能积分（2）动能积分——动能修正系数层流α=2紊流α=1.05~1.1≈1（3）水头损失积分——总流的伯努利方程总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别（1）z1、z2——总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程；（2）p1、p2——对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为相对压强）；（3）v1、v2——断面的平均流速2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程3.有分流（或汇流）的伯努利方程1122334.水头线总水头线测压管水头线水流轴线基准线例用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程作水头线H112200总水头线测压管水头线连续性方程能量方程（忽略损失）例文丘里流量计仪器常数Kμ——流量系数（0.96~0.98）动量方程解决流体与固体壁面的相互作用力1.动量方程控制体内流体经dt时间，由Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ’-Ⅱ’，元流经dt时间，由1-2运动到1’-2’元流动量方程：ⅡⅠⅠⅠ’Ⅰ’ⅡⅡ’Ⅱ’11’22’总流动量方程：——动量修正系数层流β=1.33，紊流β=1.05-1.02~1不可压缩流体：分量式：适用范围：恒定流、不可压缩流体2.例：一水平放置的弯管，管内流体密度ρ，流量Q，进出口管径为d1、d2，d1处压强为p1，弯管旋转角θ，不计流动损失，求弯管所受流体作用力解：a.取1-1、2-2以及管流与管壁接触的流面作为控制面b.画控制体的受力图：c.连续性方程：d.能量方程（z1=z2=0）：

p1A1、p2A2、F→Fx，Fyv1A1=v2A2v1v2θp1p21122αFxFyFf.解出Fx、Fyg.根据作用力与反作用力，弯管受力F’与F大小相等，方向相反e.动量方程v1v2θp1p21122αFxFyF注意：1.如考虑水头损失，只要在能量方程中考虑；2.动量方程是矢量式，分量式中要考虑符号的正负；3.牛顿第三定律例：水从喷嘴喷出流入大气，已知D、d、、v2，求螺栓组受力解：（a）取1-1、2-2断面及管面为控制面（b）受力图p1A1，F注意：（1）p2=0；（2）螺栓是作用在管壁上，不是作用在控制体内，千万不可画！dDv2v1p1F1122（d）能量方程（e）动量方程（f）解出F（g）由牛顿第三定律，螺栓组受力F’与F大小相等、方向相反（c）连续性方程dDv2v1p1F1122例：来自喷嘴的射流垂直射向挡板，射流速度v0，流量Q，密度ρ，求挡板受射流作用力解：a.控制体b.受力图：F注意：p1=p2=0c.动量方程（水平方向）：d.牛顿第三定律Q、v0F222211讨论：1.如果射流在斜置光滑挡板，求挡板受力和Q1、Q2a.F⊥挡板b.列挡板法线方向的动量方程：c.能量方程：Q、v0Q2、v2Q1、v1Fθ牛顿第三定律Q、v0d.连续性方程：e.列挡板方向的动量方程：由c、d和e解出Q1、Q2Q1+Q2=QQ2、v2Q1、v1Fθ2.如果射流在水平位置的小车，小车以速度v运动，求小