第3章-轴向拉压变形课件

单辉祖-材料力学教程1第3章

轴向拉压变形

本章主要研究：

轴向拉压变形分析

节点位移分析

简单拉压静不定问题分析单辉祖-材料力学教程2§1

引言§2

拉压杆的变形与叠加原理§3

桁架节点位移分析与小变形概念§4

拉压与剪切应变能§5简单拉压静不定问题§6热应力与初应力§7

拉压杆弹塑性分析§8结构优化设计概念简介单辉祖-材料力学教程3§1

引言杆件的轴向拉压变形问题，可以分为静定问题和静不定问题。分析轴向拉压变形的基础是胡克定律，在此基础上建立了几何法、叠加法和能量法。§2

拉压杆的变形与叠加原理

拉压杆的轴向变形与胡克定律拉压杆的横向变形与泊松比

叠加原理

例题拉压杆的轴向变形与胡克定律实验表明：当s

sp

时，引入比例常数E胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa轴向变形基本公式EA－杆截面的

拉压刚度

Dl－伸长为正，缩短为负在比例极限内，拉压杆的轴向变形Dl，与轴力FN及杆长l成正比，与乘积EA成反比－胡克定律轴向变形一般公式

n－杆段总数FNi－杆段i的轴力变截面变轴力杆阶梯形杆拉压杆的横向变形与泊松比拉压杆的横向变形泊松比试验表明：在比例极限内，e’

e，并异号m－泊松比

叠加原理算例1.分段解法试分析杆

AC的轴向变形

Dl2.分解载荷法3.比较叠加原理当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理

原理应用例题

用叠加法分析内力几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和

例题例

3-1

已知

l=600mm,d

=100mm,E＝200GPa,m=0.3,拧紧后,AB

段的轴向变形为Dl

＝0.30mm。试求螺栓横截面上的正应力

s,与螺栓的横向变形Dd

解：1.

螺栓横截面正应力2.螺栓横向变形

螺栓直径缩小0.015mm例

3-2圆截面杆，已知F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形[Δl]=0.10mm。试确定杆径d。解：1.变形分析杆AC的总伸长：杆段AB与BC的轴力分别为：2.杆径设计2FFFl2l1d取9.0mm单辉祖-材料力学教程14例

3-3空心圆截面杆，内、外径分别为d与D，横截面上的正应力为σ，材料的弹性模量与泊松比分别为E与μ。试计算横截面内周边的长度与内径的改变量。解：1.内周边长改变量内周边长改变量：内周切向正应变为：2.内径改变量σσDd单辉祖-材料力学教程15例

3-4第二章例2-1a所示螺纹杆AB，其计算简图如图所示，图中，q=F/a。设横截面的平均面积为A，弹性模量为E，试计算螺纹杆AB的轴向变形。解：将螺纹杆分为两段对应微段的轴向变形:AD段，横截面x处的轴力：AD的轴向变形:DB的轴向变形:AB的轴向变形:ABDF21qx12abdxqFN1FN1+dFN1单辉祖-材料力学教程16§3桁架节点位移分析与小变形概念节点位移分析小变形概念

例题解：1.轴力与变形分析

图示桁架，杆1与2分别用钢与硬铝制成。F

=

10

kN；E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

70

GPa,A2

=

250

mm2，l2=707mm

。试求节点

A的水平与铅垂位移2.作图法确定节点新位置3.节点位移计算用切线或垂线代替圆弧作图4.讨论－小变形概念与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形在小变形条件下，通常即可：按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力

采用切线代圆弧的方法确定节点位移例

3-5

托架由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受铅垂载荷F1与F2作用。已知：F1=5kN，F2=10kN，l=1m；斜撑杆CD为铝管，弹性模量E=70GPa，横截面面积A=440mm2。设横梁AB很刚硬，变形很小，可视为刚体。试求梁端A点的铅垂位移ΔA解：1.计算FN刚体EA2.计算Dl4.位移计算3.画变形图刚体EA单辉祖-材料力学教程21§4

拉压与剪切应变能

应变能概念

外力功与应变能计算拉压与剪切应变能密度例题单辉祖-材料力学教程22应变能概念在外力作用下，弹性体发生形变，载荷在相应位移上作功。弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。应变能弹性体功能原理

功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能等的变化，均可忽略不计。

根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能，数值上等于外力所作的功单辉祖-材料力学教程23外力功与应变能计算

线性弹性体一般弹性体相应位移

d:0D广义载荷

f:0F

k

:线弹性体在载荷作用点、沿载荷作用方向产生单位位移所需之力－刚度系数单辉祖-材料力学教程24解：1.

轴力分析例

3-6用能量法计算DBy2.应变能计算3.位移计算单辉祖-材料力学教程25拉压与剪切应变能密度单位体积内的应变能，称为应变能密度。应变能密度拉伸应变能密度：剪切应变能密度：§5

简单拉压静不定问题

静不定问题与静不定度

静不定问题分析

例题

静不定问题与静不定度静不定问题仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题(staticallyindeterminateproblem)静不定度未知力数与有效平衡方程数之差静定问题仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反力与内力）的问题（staticallydeterminateproblem）一度静不定静定问题

静不定问题分析分析方法求解思路建立平衡方程

建立补充方程各杆的变形间满足一定关系补充方程变形协调方程

联立求解利用变形协调方程与物理方程，建立补充方程平衡方程变形几何关系胡克定律补充方程－变形协调方程E1A1=E2A2求解算例

联立求解平衡与补充方程综合考虑三方面外力与

FNi

满足静力平衡方程各Dli

之间满足变形协调方程Dli

与FNi

间满足给定物理关系（例如胡克定律）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点内力分配与杆件刚度有关一般讲，EiAi

，FNi内力特点：

例题例

3-8求两端固定杆的支反力解：2.几何方面4.建立补充方程5.支反力计算联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)3.物理方面一度静不定1.静力学方面解：1.

画变形与受力图注意受力图与变形图协调：

伸长～拉力；缩短～压力例

3-9已知：F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

Mpa，A1=A2。试问：A1=?A2=?2.建立平衡方程3.建立补充方程5.截面设计4.内力计算联立求解平衡方程与补充方程例

3-10图中所示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆横截面的拉压刚度均为EA，杆1与杆2的长度均为l，试求各杆的轴力。解：1.画变形图，建立变形协调方程设节点C位移至，过点向三杆作垂线。2.根据变形图画受力图3、列平衡方程4、利用胡克定律，得补充方程5、联立求解平衡方程和补充方程单辉祖-材料力学教程36§6

热应力与初应力

热应力概念

初应力概念

例题解：图示两端固定杆，试分析当温度升高

DT时，横截面上的应力sT。已知材料的线膨胀系数为al。在静不定杆系结构中,各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件,温度变化一般将引起应力,称为热应力变形协调条件温度变形热应力概念单辉祖-材料力学教程38初应力概念在加工制造杆件时，由于长度误差不会引起静定杆或杆系中存在应力。在静不定杆或杆系中，由于长度存在误差，会使杆内在未承载时已存在应力。由于实际杆长与设计尺寸不同，结构未承载时，即已存在的应力，称为初应力或预应力。在工程上，常利用初应力进行某些构件的装配，或提高某些构件的承载能力。单辉祖-材料力学教程39例

3-11图中所示结构，由杆1、杆2与刚性梁AB组成。已知各杆各截面的拉压刚度均为EA，材料的线膨胀系数为l。试分析当杆1的温度升高ΔT时，各杆的轴力与支座C的约束力。解：1.变形与受力分析：

例题Δl2l12BB’Δl1δTAA’A”a/43a/4CACBFN1FRFN2单辉祖-材料力学教程402.建立补充方程3.轴力与支反力计算联立求解平衡方程(a)、(b)与补充方程(d)例

3-12

图示桁架,杆3的实际长度比设计长度l稍短，误差为d,试分析装配后各杆的轴力。已知杆1与杆2各截面的拉压刚度均为E1A1，杆3各截面的拉压刚度均为E3A3

。解：1、建立平衡方程2、建立补充方程协调变形方程利用胡克定律，得补充方程3、轴力计算单辉祖-材料力学教程43§7

拉压杆弹塑性分析简介

塑性极限状态与极限载荷

拉压静不定问题弹塑性分析

例题塑性极限状态与极限载荷对于静定拉压杆或杆系，应力达到材料屈服应力即失效；对于静不定拉压杆或杆系，某杆出现塑性变形时，整个杆或杆系未必失效。理想弹性假设当正应力小于屈服应力时，材料服从胡克定律；屈服后，正应力保持不变并等于屈服应力，材料则可任意变形。O132F132F132Fu