【读书分享会】把握“混而不错”厘清逻辑顺序

把握“混而不错”厘清逻辑顺序把握“混而不错”厘清逻辑顺序★是什么？01核心概念解析是什么？★错在哪？教材编排分析02★如何编？把准混而不错03★怎么教？一线实践回声04错在哪？如何编？怎么教？一、是什么——核心概念解析1.平行

《辞海》中的“平行”：（1）等级相同，没有隶属关系。如平行机关。（2）同时进行。如平行作业。2.平行线

百度百科：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。平行线的定义包括三个基本特征：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交。小学数学书：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说两条直线相互平行。《几何原本》：平行线是在同一个平面的直线，向两个方向无限延长，无论哪个方向它们都不相交。一、是什么——核心概念解析3.平行公理

（1）

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。a经过直线外一点，没有和已知直线平行的直线。经过直线外一点，至少有两条直线和已知直线平行。（2）

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。一、是什么——核心概念解析

4.混而不错

我国数学家苏步青教授首先提出，中小学数学教材编写要坚持“混而不错”的原则，从而保持一定的逻辑严谨性。

张奠宙先生在平行线的教学中提到：用“有限”冒充“无限”，乃是混而有错的做法，不足为训。”

我的解读：“混而不错”实际上是“淡化形式，注重实质”的意思。“混”，要混出境界、格调、水平、逻辑，无论是编写教材还是教学实践，就应该对某些教学难点问题采取“混而不错”——非形式化处理方法，注意原则性、逻辑性，重视与后续学习对接。要能自圆其说，而不是自相矛盾。二、错在哪——教材编排分析

1.北师大版中的“平行”

二下教材第六单元突然冒出“平行四边形”的图形和名称，对“平行”二字没有任何解读。二、错在哪——教材编排分析

1.北师大版中的“平行”

首先，门窗、国旗都是立体或平面的实体，抽象后仍是二维的平面，怎样和一维的“直线”联系起来呢？再如，国旗升起的画面中，平行线在哪？不加以明确指出，学生如何理解编写意图？

其次，一支铅笔明明是一条“线段”，怎能说是直线呢？两条线段怎么就变成两条直线啦？教材说“移动前后，铅笔之间的空格数是一样的”，这只能下这样的结论：“像这样的两条线段互相平行。”至于它们所在的直线也互相平行，这是那一种约定，在界定一个对象时要分清楚，不能混同起来。二、错在哪——教材编排分析

1.北师大版中的“平行”

第三，通过移动的门窗、上升的国旗，以及铅笔的水平、上下移动的观察，就说“像这样的两条直线互相平行”。显然，这是从“物体的平移”给“直线的平行”作定义式的陈述。

从学生的生活经验看，可能认识平移要先于认识平行，学生关于平移的经验要比平行的经验丰富。但是学生已经进入数学学习中了，不能仅凭经验，要更多考虑数学的逻辑结构。或者这样说，当生活经验和逻辑架构不能完全一致时，我们要首先考虑逻辑架构，或者说较多地考虑逻辑架构。总之，逻辑结构优先。用平移定义平行，究竟行不行二、错在哪——教材编排分析

2.人教版中的“平行”

二、错在哪——教材编排分析

2.人教版中的“平行”

二、错在哪——教材编排分析

2.人教版中的“平行”

相等二、错在哪——教材编排分析

2.人教版中的“平行”

①障碍一：从a上一点向b画垂线，这条垂线也和a垂直吗？即与两条平行线都互相垂直吗？②障碍二：对于“选几点”画垂线所得的几条线段，如果产生误差，其长度不相等，该怎么办？③障碍三：从a上“选几个点”就能断定从a上其他无限多个点向b画垂线所得线段的长度都彼此相等吗？无限多个点如何一一检验？做不到。④障碍四：即便通过操作得出“与平行线垂直的所有线段的长度都相等”这一结论，那么反过来——“两条直线之间的垂直线段相等，这两条直线平行”是否成立呢？

能以样本替代所有吗？有的老师说这是一种不完全归纳法，但就题论题，好像这个跨越有点大吧？这样的思维跨度让学生不假思索地跨越，是不是有点随意？这样得出的结论顶多算是一个猜想。虽然小学数学教学中不必严格证明，但也要符合逻辑。如果一味地将未经证明的“发现”不加怀疑地当作真理，久而久之，就会养成一种不加论证就断然肯定的思维习惯，必将对以后学习数学理性文明带来负面影响。三、怎么编——把准”混而不错“

1.平行线的主要内容

（1）平行线的概念；（2）平行线的判断法则；（3）利用判定法则画平行线，研究平行四边形。2.排除的判定法则

（1）概念定义。平行线的概念涉及无限延长，直接从概念出发来检验“无限”的过程是行不通的。

（2）反向结论。如果从“与平行线垂直的所有线段的长度都相等”的逆结论又不严密也不太符合逻辑。（3）平行公理。利用第三条直线，借助检验两个同位角是否相等的有限手段加以解决。然而，用同位角相等来判定，必须依赖平行公理。小学数学，当然不能超前用这个平行公理的知识来判断。

三、怎么编——把准”混而不错“

3.提出的改进途径

借助学生关于“方向”的生活经验和基础知识，正面提出一个基本事实为出发点：

两条方向相同的直线不会相交，因而是互相平行的。特别地，与同一条直线垂直的两条直线互相平行。这一判定法则建立在人们熟悉的“方向”概念上。“两人同方向走不会相交”与中学几何里“同位角相等，两直线平行”的判定法则相衔接。三、如何编——把准”混而不错“

4.教材编写的具体建议【教材设计】第一页图案：刘翔面对的跑道文字：田径场上，110米跨栏比赛的各条跑道线都和起跑线垂直。它们具有相同的方向，不管怎样无限延长，起跑线都不会相交。所以，它们是互相平行的。呈现事实与同一条直线垂直的两条直线互相平行三、如何编——把准”混而不错“

4.教材编写的具体建议【教材设计】第二页图案：枕木与铁轨文字：向东的两条铁轨都和南北方向的直线垂直，延伸的方向相同，所以它们的无限延长也不会相交。呈现事实与同一条直线垂直的两条直线互相平行。三、如何编——把准”混而不错“

4.教材编写的具体建议【教材设计】第三页图案：拖拉机的车轮印文字：1.拖拉机的两条车轮都和范本方向的直线形成东偏北30度的夹角。2.想象拖拉机无限地笔直前进和倒退，形成两条直线。3.因为它们具有同一方向，所以平行，即便无限延长也不相交。

拖拉机的车轮印不再是水平或竖直方向。30°30°三、如何编——把准”混而不错“

4.教材编写的具体建议【教材设计】第四页

依据这两个准则，可以用三角板画出平行线。结论：与同一方向直线形成相同夹角（垂直）的两条直线互相平行。用“推、画”法作平行线“方向相同”直觉画法三、如何编——把准”混而不错“

5.教材编写的具体建议【教材设计】第四页

依据这两个准则，可以用三角板画出长方形和正方形，并能标注它们的边长和角度。这是小学数学中平行概念的教学目标。结论：与同一方向直线形成相同夹角（垂直）的两条直线互相平行。“距离相同”直觉画法三、如何编——把准”混而不错“

6.结论

★一个理论：平行线的原始定义不能作为两条直线是否平行的判定准则。

★两个直觉：方向直觉与距离直觉。

★从知识层面上，“方向相同”的直觉，与中学的“同位角相等”的概念衔接比较顺畅；使用“距离相等”直觉，画平行线比较方便。

四、怎么教——一线实践回声

有而无痕联而不乱——关于“平行与垂直”的教学思考章晔婷浙江省杭州市学军小学

（一）有限的认识，让“超经验”转化为“接地气”

【思考】两条直线各种情况呈现避免了张教授提出的“两直线平行是常态，相交反而难懂的概念”这样有违常识的认知。四、怎么教——一线实践回声

（二）有限的经验，无限的联系——让“抽象化”转化为“直接式”

1.由表及里，联结“平行”与“垂直”关系

【思考】经历通过“有限”的运动，两条直线位置关系可以发生变动，“平行”与“垂直”既相互独立，又相互联系。尤其是“两条直线重合后通过平移又出现了什么现象”引发思考，明晰平行的特征，联结“平行”与“垂直”关系。四、怎么教——一线实践回声

（二）有限的经验，无限的联系——让“抽象化”转化为“直接式”

2.回归生活，寻找“实际生活”与“数学概念”的联系

【思考】张教授提到：用“有限”冒充“无限”乃是混而有错的做法，不足为训。所以我们要摒弃从现实物体中抽象出平行线的概念。但是，我们可以从无限的角度出发，用数学的眼光去观察生活中的“有限”现象，将视野从课堂拓展到生活的空间，引导学生发现象生活中随处有垂直与平行的现象，体验数学与生活的联系，感受数学的应用价值。四、怎么教——一线实践回声

“平移和平行”教学思考——孔万华浙江省杭州市袁浦小学

（一）关注定义平行的方向迁移

学生拿出准备的纸，先画一条直线，想一想，再画一条直线可以怎样画？再让学生进行分类，引导学生发现、相交和垂直都是以前学过的知识，而两条直线不相交是以前不曾学过的，从而导出课题——平行线的认识。

【思考】适度改编教材的引入方式，从直线和平行线的共性（都可以向两端无限延长）着手。这里还是用”平面上不相交的两条直线互相平行“来理解平行线的概念。【教学片断1】四、怎么教——一线实践回声

（二）反思直线互相平行的判定

【教学片断2】

师：上两图是不是平行线呢？请你想办法验证一下，看看谁的方法好。生1：我们小组验证的是左图，用的是延长的方法，把这两条直线一直延长，不会相交，所以是平行线。（反思：

【思考】一直延长是无限过程，无没穷尽。没完没了地延长，得不到最后结果。也就是说，平行线的定义无法用来检验两条直线是否平行。生1的回答在事实上是无法完成的）四、怎么教——一线实践回声

（二）反思直线互相平行的判定

【教学片断2】

生2：我们小组验证的也是左图，用的是平移的方法，把左面的直线往右平移就会和右面的直线重合在一起，就可以知道它们是平行关系。（学生用铅笔代替直线演示）（反思：

【思考】平移要沿着某一方向移动，哪个方向呢？移动了后重合，为什么就肯定平行？所谓把一条直线沿某个方向平移，就是铅笔上每一点移动前后的两点连续要和该方向平行。事实上，先有平行，再有平移，而不是相反。四、怎么教——一线实践回声

（二）反思直线互相平行的判定

【教学片断2】

生3：我们小组研究的是左图，用的是点子图的方法。两条平行线之间的格子都是2格，所以它们一定是平行线。（反思：

【思考】一直保持两格，直观地看，两条直线之间的距离不是越来越小，也不是越来越大，因而可以保证平行。这是一种直观的判断。四、怎么教——一线实践回声

（二）反思直线互相平行的判定

【教学片断2】

生4：我们验证的是右图。如果画出来的垂直线段都是3厘米，它们的距离都是一样的，那么它们就是平行的关系。（反思：

【思考】什么是两条线段的垂直线段？应该只能看出来是一条直线上的垂直线段吧？四、怎么教——一线实践回声

（三）关注空间平行的认知突破

【教学片断3】考察课桌上各线段的位置关系（反思：

【思考】我们在研究相交、平行时，所研究的直线必须在同