流体力学6模板复习进程

流体力学6模板在重力场中处于平衡流体的自由面，在外界的扰动下(太阳和月亮的引力、风力、船舶的航行、地震波、其他海洋工程物的运动)，流体自由表面的各个水质点将离开其平衡位置，而各个水质点在重力和惯性力的作用下，有恢复到初始平衡位置的趋势，便形成了流体质点的振荡运动，并以波的形式沿整个表面传播，从而在流体的表面出现了波浪运动。

重力：使凸起的液面回到原来的平衡位置。

惯性力：惯性的作用驱动液面再次离开平衡位置。

2教训：海啸为人类的判断提供了一个有力的事实。它让人们以异常复杂的感情重新审视自然和世界，也让人们痛定思痛扪心自问：自然灾难的危机会如何猝不及防地逼近我们？科学家的描述让我们知道，排山倒海的海啸登陆本应遭遇三道自然屏障：珊瑚礁、红树林、海滩沙丘或礁石。这些沉默的海岸卫士能消耗掉一些海啸巨浪的能量，使海啸在登陆后破坏力大幅降低。但汹涌的海啸并没有遇到有效的抵抗。研究方法：理论分析、现场观察、实验。理论方法：决定波浪各要素间数学关系，并在物理学和力学的一般定律的基础上决定各质点运动规律的数学关系。3

水的粘性对波浪影响是相当小的，在讨论波浪运动时仅限于不可压缩理想流体且运动是有势的以及将波浪运动假设为满足线形的微幅波。

分三类：1、浅水中的长波（单波）：波长要比水深大得多，如潮汐波。2、表面水波（重力水波）：波长要比水深小得多，如江河、大海中的波浪。3、微水波（纤微水波）：也是表面波的一种，但波高和波长都较小。46.1二维波动的数学表达

6.1.1波动方程

将坐标原点取于静止水面上，沿波传播方向水平轴为轴，轴为铅垂向上，静水表面，在数学中，二维的波动方程一般形式是

若是一正弦曲线（或者余弦曲线），则称之为简谐前进波（简称谐波）

5或

式中，称为波幅，称为波速，称为初始相位。波浪运动的特征是：

(1)水波的自由表面呈周期性的起伏，它在自由表面处展开，再从表面传入流体内部。

(2)水质点作有规律的振荡运动

。(3)波形以一定的速度向前传播。

(4)波浪运动是非恒定运动。

66.1.2波浪要素(1)波高

H：波顶（波峰）与波底（波谷）垂直距离，它是振幅（波幅）的两倍，即；

7(2)波长：在波前进的方向上两个相邻的波顶或波底之间的水平距离；

(3)波陡：波高与波长之比，即；

(4)超高

：在波高的一半处，作一水平线称为波浪中线，它超出静水面的高度称为超高；对于谐波，一般超高为零。

(5)周期T：波形传播一个波长所需要的时间；

(6)频率：周期的倒数，，即单位时间内出现波的次数；

8(7)波数

k：长度内所包含波的个数，显然

(8)波速（相位速度)c：波面向右（或向左）推进的速度

(9)波倾角：波面的倾斜度

(10)圆频率：,它表示单位时间转动的角度。

9

6.2波浪运动的基本方程与边界条件

6.2.1基本方程

条件：在研究波浪运动时，流体是不可压缩理想流体，而且是无旋的，在流体域内必定存在速度势，质量力仅仅是重力。

基本方程如下:不可压缩流体连续方程为

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且

或

拉格朗日积分式为

流体是无旋的，存在着速度势

116.2.2边界条件(1)设水域底部的深度为d，则水域底部边界条件：(2)物面条件（如船体、水上建筑物等):

式中为物体运动速度在物面外法线方向的投影。

(3)在自由表面上，水波的高度（离静止水面）为，则自由表面的方程为（波面方程，或自由液面方程)。12边界面方程为

则利用水中运动物体表面不可穿透条件为

运动学条件为(利用水中运动物体表面不可穿透条件)：

当时，

自由表面动力学条件（设自由表面上的压强为，相对压强。

当时，

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6.2.3微幅进行波的基本方程和边界条件引进微幅波假定。所谓微幅波，是指波动的振幅相对于波长为小量，或，它使得自由表面上边界条件线性化，从而在求解上较为简单。

对于微幅波可作如下三个假设：

(1)质点运动速度很小，项可以略去；

(2)自由表面对水平面的偏离很小，可用水平面的物理量来代替自由面上的物理量；

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(3)自由面上的切平面和水平面相差无几，相当于假设也是小量。

对于微幅波，在自由表面上边界条件可简化如下：

运动学条件

动力学条件

用速度势表示的自由表面上边界条件，即

求解压强场的拉格朗日积分式

15

6.2.4初始条件波浪运动的速度势，还必须满足运动的初始条件，归结为以下三种情况：

(1)已知初始时刻自由液面的扰动为

(2)波浪运动完全是由于原来处于静止的自由液面受到已知的压力冲量所引起的，那么

16

当

时

(3)当上述两种初始扰动都存在时，初始条件如下：

当

时

在水波理论利用了微幅波理论假定后，它还要寻求满足下列方程和边界、初始条件的速度势。

基本方程

边界条件：水底条件

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物面条件（在物面上）

自由表面条件

初始条件：

自由表面条件

当求得波动的速度势后，自由表面形状为

压强分布根据线性化后的拉格朗日积分式

（p为相对压强）

18

6.3深水微幅简谐波6.3.1深水微幅进行波速度势的形式：1.自由面形状2.主要参数之间的关系（1）波长

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（2）周期

（3）圆频率

（4）波速c

波速与波长的关系如图6.3所示。

20

3.质点运动速度质点速度大小为

4.质点的轨迹在波浪运动中，质点的轨迹是一个圆，它是以平衡位置为圆心，为半径的圆，在自由表面上这个半径就是振幅；运动半径随质点的深度增加而减小，而且衰减得很快。

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图6.4表示质点轨迹和波形。

5.压强分布质点在波动时，质点的压强等于原来静止时处它受到的静压强。

【例6.1】某深水微幅波波高，波长，试求：（1）波面方程；（2）波面倾角变化规律。22

【解】该微幅波振幅波数为波速为（1）波面方程为

（2）波面倾角为

23

【例6.2】在某深海海面上观察到浮标在1分钟内升降20次，试求海浪的波动周期，波长及传播速度。【解】波动周期由及故波速波长6.3.2驻波驻波就是两个进行波叠加而成的，一个是右行波，另一个是左行波，它们的振幅、波长和频率都是相同的。

下面来对此驻波进行详细分析。

24

1.自由面形状表明：

（1）在某一固定时刻，自由面为一正弦曲线。

（2）波面与x轴交点为，交点的位置不随时间变化，这些点称为节点。

（3）相邻两节点之间离平衡位置最远的点为波峰和波谷统称为波腹。

（4）两相邻节点之间交替出现波峰和波谷，波面的波幅为，振幅则为。

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驻波的波面仅作上下振动，不同于进行波，它不向左右传播，驻波的名称也由此而来。如图6.5所示。

驻波的波长、波数k和圆频率与进行波有相同的关系

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2.质点速度质点速度公式如下：在节点处，，，质点仅作水平运动；在波峰或波谷处，，，质点仅作上下垂直运动；而其他点则同时有水平及垂直方向的运动。

3.质点轨迹（1）质点的迹线是一条直线，直线与轴的倾角是。

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（3）在波峰或波谷，，即质点作上下垂直运动，与速度分析一致。

（4）质点的振幅也随深度增加而减小，如图6.6所示。4.压强这个结论与进行波是一致的。

（2）在节点处，，迹线则为水平线，与速度分析一致。

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6.4有限深度微幅波动6.4.1有限深度的微幅进行波这里的边界条件与无限深不同之处在于底部的边界条件，其他完全相同。当水深d=有限常数值时，流场速度势

此公式表明，当水深

给定时，不同波长的水波将以不同的速度传播，这个关系式在水波理论中称为色散关系。

29其中，，表明自由面形状及有关特征与无限深度进行波完全一致。

当时，，；当很小时，即浅水波，，此时波速。其他情况

仍都成立。

速度势对x，z求偏导数，并用关系式代入，得质点速度

30将质点速度代入迹线微分方程并积分，得轨迹方程显然这是一个椭圆方程，说明在波浪运动中，水质点的运动轨迹是以平衡位置为中心，以为长半轴，为短半轴的椭圆。对于无限水深波，由于，则长、短半轴均趋向于，所以水质点的运动轨迹是以为半径的圆。对于浅水波，由于水深很小，因而椭圆的长半轴为，短半轴为，即水质点轨迹的水平宽度与z无关，是个常量。垂向高度呈线性减小，至水底时减小为零，即退化成一条直线。不同深度水域质点的轨迹如图6.7所示。

31

将代入压强公式，得

式中压强分布可以分为两部分，第一项称为静水压强，第二项是由于水波而产生的动压强，它是由以下两个原因造成的：一是由于波动使水面发生变化，从而改变了压强分布，二是由于在波动中产生铅垂方向的加速度，而加速度的方向与水面波位相位相差。

32

图6.8表示自由表面波下方的压强分布图。

336.4.2有限深度的驻波将两个在等深度液体中反向传播的进行波叠加，可得驻波。

速度势为

自由面形状为

34

质点速度

质点轨迹

压强分布

35

6.4.3浅水波自由表面形状

质点速度

当，这时发生的波称为浅水波（或称为长波），浅水波的速度势为

36

质点轨迹

浅水波的波速

浅水波（也称长波）的传播速度与波长无关，其不再是种色散波。其他公式，，，均成立。

在实用上这三种深度的界限划分如下：深水区域

或；中等深水区域

或；37浅水区域

或不同波长时波速随水深的变化如图6.9所示。

图6.9不同波长时波速随水深的变化

38【例6.3】某湖泊水深，波长为80m，试用微幅波理论求波速和波动周期。【解】由于，因此属浅水波。【例6.4】已知某海域水深，波长，波高，求2m水深处的波高。【解】由于，故属深水进行波。水质点圆半径为在自由液面上波高，故。39

当时，即在2m水深处【例6-5】某有限深度微幅波，已知周期为10s，波振幅为0.25m，水深，求深度为10m处水质点的速度的最大分量。【解】首先求得故即40

从而解得由式最大速度分量为所以41

6.5界面波在重力作用下，发生于两种密度不同的液体分界面上的平面进行波。当流体处于平衡状态时，它们的分界面是水平面，如图6.10。当受到某一扰动后，将发生重力波，此波称为界面波（内波）。

设上、下两层流体分别以和作均流，密度各为和，深度各为及。此界面波的传播速度为

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上式要有意义必须满足下面两个条件：

（1），即下层流体的密度必须大于上层流体的密度。

(2)对于一定的和（),只有在或者的情况，运动才能保持稳定。

436.6波群和波群速

有两个以上波长不同的波所组成的波动称作波群。这些波叠加之后的总体现象。叠加之后波的总轮廓线的移动速度，即波群的前进速度称为波群速。由于波群速与水波能量传播的速度相同，因此它是波动的一个重要动力学特性。

下面以波群中最简单的一种形式加以讨论。44

设两列波具有相同的振幅、而波长相差不多,同时在液体中以同一方向进行传播,它们的波面方程分别为:将他们叠加后,波群的波面

45

则波面的图案如图6.11所示。合成波的波面其波长为

周期为

波速为

合成波的波面与原来单个波的波长、周期、波速相同传播，但振幅却不相等，随时间t和空间x缓慢地变化，而它形成的周期性的群落（称包络），其长度为46

称此包络波为波群，波群的速度为

即波群以的速度传播，称为波群速。波浪能量传播的速度将等于波群速，在波浪理论中这是波群速重要的原因。

对于简谐的前进波，，则

47

对于无限水深波，，则

对于有限深度的进行波，，则

对于浅水波，，则

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6.7波浪的能量和波阻

重力波的能量包括液体的动能和势能两部分。势能是由于液体的重心在波动时上下起伏引起的，由于波形的周期性，因此只要在一个波长的区域内讨论波的能量。

6.7.1波浪能量的计算

1.波浪动能的计算现来计算宽度为一个单位、波长为、深度为d范围内的波浪动能。建立坐标如图6.12所示。

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有下式:对进行波

对驻波

502.波浪势能的计算

设液体无波动时静止水面的势能取为零，产生波动以后，波动的势能变化,可以认为波谷部分提高到波峰部分，所增加的势能为

对进行波

对驻波

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3.几点结论

（1）波浪的动能和势能均与水域的深度无关；

（2）对进行波来讲，动能与势能大小相等，且与时间无关，它们之和的总能量为（3）对驻波来讲，动能与势能随时间而变化，但它们之和不随时间而变化，大小为。

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【例6.6】海中某深水微幅进行波，其速度势为，其中，水深，波高，波数。求:（1）波长、波速c、周期T；（2）波面方程；（3），处水质点轨迹方程；（4）以上水质点在时的速度，该时水质点在波峰还是波谷、或者非峰非谷；（5）上述水质点在该时的压强；（6）该进行波的能量。53

【解】由于故该波属于有限深水区域；其中,振幅。（1）波长波速周期（2）由波面方程54

（3）水质点的轨迹其中即轨迹方程为55