第十章非正弦周期电路稳态分析

第十章非正弦周期电路稳态分析本章介绍非正弦周期波形的傅里叶三角级数展开、有效值、平均值，讨论应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电源激励下电路的稳态响应，电路的功率以及谐振等。最后介绍对称三相电路的高次谐波。10.1非正弦周期波形的傅里叶级数展开10.1.1非正弦周期波形分解为傅里叶级数在工程数学中已经知道，任一周期为T的周期函数f(t)只要满足狄里赫利条件（即在每个周期上f(t)满足：连续或者具有有限个第一类间断点；具有有限个最大值和最小值；函数绝对可积），便可展开成三角级数(trigonometricseries)第十章非正弦周期电路稳态分析级数中诸项的系数称为傅里叶系数，利用三角函数的正交性(orthogonality)可以导出有关这些系数的公式为其中，T为f(t)的周期；=2/T为f(t)的(角)频率。第十章非正弦周期电路稳态分析在电路理论中，习惯于把级数中的常数项称为直流分量(dccomponent)（或恒定分量），把其余正弦项和余弦项称为谐波分量(harmoniccomponent)。其中，频率等同于原波形频率的谐波分量称为基波分量，或基波，频率为基波频率整数倍的谐波分量一概称为高次谐波(higherharmonic)。在高次谐波中，又按其对基波频率之倍数分为二次谐波、三次谐波等等。在工程中所用到的非正弦周期量，一般都满足狄里赫利条件，因此可以按上述计算公式，把它们展开成完全确定的傅里叶级数。第十章非正弦周期电路稳态分析10.1.2波形的对称性与傅里叶级数的关系则f(t)为偶函数(evenfunction)一、偶函数如果函数f(t)的波形对于纵轴是对称的，即满足其傅里叶系数：在偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只有直流项和余弦项。第十章非正弦周期电路稳态分析二、奇函数如果函数f(t)的波形是对于纵轴是反对称的，即满足则f(t)为奇函数(oddfunction)其傅里叶级数的系数在奇函数的傅里叶级数中不含余弦项，亦不含直流量，只有正弦项。第十章非正弦周期电路稳态分析例如图所示的周期三角波形是偶函数，它的傅里叶级数为偶函数

奇函数

例如图所示的周期锯齿波形是奇函数，它的傅里叶级数为第十章非正弦周期电路稳态分析三、半波对称函数如果函数f(t)的波形沿横轴平移半个周期并相对于横轴上下翻转后，波形不发生变化，即满足则此函数f(t)称为半波对称(half-wavesymmtry)函数或奇谐函数，如图所示。图中虚线部分是后半周期对横轴的镜像。横轴对称的波形第十章非正弦周期电路稳态分析具有半波横轴对称的非正弦周期波形，其傅里叶级数中的系数分别为：可见，在半波对称周期函数的傅里叶级数中，只含有基波和奇次谐波的正弦和余弦项，而不含偶次谐波项第十章非正弦周期电路稳态分析例10.1.1试将图(a)和(b)中所示的两种方波分解成傅里叶级数。解对于图(a)所示的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。其傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，计算Akm为(a)(b)第十章非正弦周期电路稳态分析对图(a)所示波形可以写出

代入Akm，便得第十章非正弦周期电路稳态分析

于是，图(a)所示波形的傅里叶级数为第十章非正弦周期电路稳态分析图(b)所示方波对原点对称，是奇函数，且又是半波横轴对称，所以其傅里叶级数仅是正弦奇次谐波分量组成。由于因此所求级数为：第十章非正弦周期电路稳态分析例10.1.2试求图(a)所示半波整流周期波形的傅里叶级数。(a)

解:图(a)所示半波整流周期波形，既非奇函数，又非偶函数，求其傅里叶级数就要分别计算A0，Akm和Bkm。(b)

若将其坐标原点右移T/4，半波整流周期波形就可用偶函数表示，新坐标系如图(b)所示，有第十章非正弦周期电路稳态分析有其中第十章非正弦周期电路稳态分析因此，傅里叶级数为第十章非正弦周期电路稳态分析再回到图(a)所示原坐标系，有t=τT/4，或t=τT/4，则所求傅里叶级数为对于例10.1.1中两个完全相同的非正弦周期波形，在选择不同的坐标后，其傅里叶级数的表达式完全不同。但如果也采用平移坐标原点的方法，即平移T/4，那么，它们的傅里叶级数表达式完全相同。第十章非正弦周期电路稳态分析例10.1.3试求图(a)所示锯齿波形的傅里叶级数。(a)

图(a)所示锯齿波形并不具备前述任何一种对称性波形的特点。(b)

但如果将锯齿波形分解为两个波形的叠加，即f(t)=f1(t)+f2(t)，如图(b)所示。其中f1(t)=A/2，f2(t)若以图中虚线为横坐标，则为奇函数，就有第十章非正弦周期电路稳态分析有第十章非正弦周期电路稳态分析图(a)所示锯齿波形的傅里叶级数图(a)第十章非正弦周期电路稳态分析10.2非正弦周期波形的频谱将一个非正弦周期波形展开成傅里叶级数的一般形式若将其中的同频正弦项和余弦项合并可得出另一种表达式其中(10.2.2)(10.2.1)(10.2.3)第十章非正弦周期电路稳态分析1.振幅频谱(amplitudespectrum)2.相位频谱(phasespectrum)表征非正弦周期波形的各次谐波的相位与频率关系。表征非正弦周期波形的各次谐波的振幅与频率关系。例10.2.1试作出如图10.2.1所示三角波和方波的振幅频谱和相位频谱。第十章非正弦周期电路稳态分析解：根据前面已得到的结果，图(a)的三角波的傅里叶级数的系数为其傅里叶级数为傅里叶级数为图(b)方波的傅里叶级数的系数为第十章非正弦周期电路稳态分析将三角波和方波的傅里叶级数的系数分别代入式上式中，便可得出相应的频谱，如图所示振幅频谱和相位频谱第十章非正弦周期电路稳态分析10.3非正弦周期波形的有效值、平均值1.非正弦周期量的有效值：与正弦量的有效值的定义相同，即将代入上式根据正弦函数的正交性有第十章非正弦周期电路稳态分析根据正弦函数的正交性有第十章非正弦周期电路稳态分析得式中A1=Am1/,A2=Am2/,…

分别为基波，二次谐波，…的有效值。当f(t)为电流或电压的非正弦周期量时，有第十章非正弦周期电路稳态分析2.非正弦周期量的平均值例10.3.1试求图(a)矩形波和图(b)半波整流周期波形的有效值和平均值。(a)偶函数(b)奇函数第十章非正弦周期电路稳态分析解图(a)所示矩形波是偶函数，有效值为平均值为对图(b)所示半波整流周期波形，其有效值为平均值为第十章非正弦周期电路稳态分析10.4非正弦周期电源激励下电路的稳态响应非正弦周期波形可分解成各谐波分量（包括直流分量）之和，因此非正弦周期电源激励下线性非时变电路的响应等于非正弦周期电源各谐波分量单独作用时电路响应之代数和。例在如图(a)所示电路中，已知uS=(2+2cost+3sin2t)V，求稳态电压u。(a)s域模型如图(b)所示(b)第十章非正弦周期电路稳态分析可得转移电压比函数为j替代s，可得正弦稳态下的转移电压比函数为3.应用叠加定理，分别求出每个激励分量作用时的响应第十章非正弦周期电路稳态分析(1)当直流电压uS=2V单独作用时，电感等效为短路，电容等效为开路，可求得对应电压为(2)当电源2cost单独作用时，激励频率=1，激励相量为20V，响应电压相量为对应电压为第十章非正弦周期电路稳态分析因此，将上述分量叠加就得到电路响应稳态电压为(3)当电源3sin2t单独作用时，激励频率=2，激励相量为390，响应电压相量为对应电压为注意:(1)感抗XL=kL和容抗XC=1/(kC)与频率有关。（2）若用相量法求得一系列稳态响应相量，由于其对应的频率各不相同，不能直接相加，而必须反变换为相应的时域响应后再进行叠加第十章非正弦周期电路稳态分析10.5非正弦周期电路的功率一个一端口电路，如果端口电压u和端口电流i取一致参考方向，且均为非正弦周期量，即N+-ui第十章非正弦周期电路稳态分析第十章非正弦周期电路稳态分析根据三角函数的正交性上式第三项、第四项、第五项积分为零。平均功率为：非正弦周期电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分量分别产生的平均功率之和，而非相同频率的电压谐波和电流谐波只形成瞬时功率，并不产生平均功率。第十章非正弦周期电路稳态分析3.表观功率(视在功率）

5.功率因数由上述关系可知：

定义畸变功率(distortionpower)第十章非正弦周期电路稳态分析例10.5.1已知一端口电路的电压和电流分别为试求其平均功率、无功功率、表观功率和畸变功率。解：一端口电路吸收的平均功率为第十章非正弦周期电路稳态分析无功功率为表观功率为畸变功率为第十章非正弦周期电路稳态分析例10.5.2如图所示电路，已知L=10，R=20，所加电压u=(60+120cost+80cos3t)V，试求所接各表的读数。在基波分量u1=120cost单独作用下

解直流电流分量为第十章非正弦周期电路稳态分析在三次谐波分量u3=80cos3t单独作用下电压表读数为功率表读数为第十章非正弦周期电路稳态分析10.6非正弦周期电源作用下电路的谐振RLC串联电路中谐振的角频率为图RLC串联电路即对第k次（k=1，2，…）谐波分量引起的第k次电压谐振的角频率有别于其他分量的谐振角频率。因此，非正弦周期电源作用下电路的谐振应当对各次谐波分别求解。第十章非正弦周期电路稳态分析已知LaCa串联支路和LbCb并联支路均调谐到角频率为2时谐振，即2La=1/2Ca和1/2Lb=2Cb以及La=Lb=10，Uim=100V，试求电压uo。例10.6.1二端口电路如图所示。该电路的端口1-1’接有正弦波经全波整流后的电压为解:将Uim=100V代入ui第十章非正弦周期电路稳态分析对应于ui谐波分量的uo的各谐波分量相量第十章非正弦周期电路稳态分析（1）当k=0时Uo0

=0（2）当k=2时，Za=j0和Zb=j∞已知：所以(3)当k=4时第十章非正弦周期电路稳态分析所以(4)当k=6时第十章非正弦周期电路稳态分析所以(5)当k=8时所以第十章非正弦周期电路稳态分析由此可见，该电路有选频作用，能让角频率为2的谐波顺利地通过。然而，如果要使uo中只含有二次谐波，或者说使uo成为一个角频率为2的正弦量，显然用这个电路是实现不了的，因为这个电路还不能滤除四次、六次、…

谐波，特别是四次谐波在uo中还占有一定比重，其振幅与二次谐波振幅之比高达16%。高于八次的谐波其有效值则更小，所以略去有：第十章非正弦周期电路稳态分析若要将四次谐波滤除，可在阻抗Za（即CaLa串联支路）上再并联上一个电容器Cd

，并选取Cd的值使在k=4时根据对四次谐波，由电容Cd和CaLa串联支路组成的复合支路发生了并联谐振。第十章非正弦周期电路稳态分析加上电容Cd并不影响Uo2的数值因为在k=2时，Za=j0对六次谐波，可得六次谐波稍有增加，但增加不多。因此波形中已主要为二次谐波。第十章非正弦周期电路稳态分析10.7对称三相电路的高次谐波谐波会在三相电路中造成波形畸变、功率因数降低、电能损耗增加等电力系统污染，严重影响电力系统的高效运行。例如：三相对称电源，当电源包含高次谐波时，三个电源电压在波形上相同，在时间上相差1/3个周期，可以表示为一、三相电源的表示第十章非正弦周期电路稳态分析通常电源电压波形是上、下半波镜像对称的即U(t)=U(tT/2)

展开的级数形式为：（1）式中的各次谐波都是奇次项的。可看出：（2）7、13、19次等谐波与基波相位完全相同，组成正序三相电压组第十章非正弦周期电路稳态分析（3）5、11、17次等谐波与基波相序相反，组成为ACB负序三相电压组（4）3、9、15次等谐波，uA、uB、uC的相位相差360，称为零序(zerosequence)，因此3、9、15次等谐波组成零序三相电压组。相电压的有效值为线电压的有效值为注意：线电压中不含零序分量。第十章非正弦周期电路稳态分析（2