2022-2023学年安徽省滁州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年安徽省滁州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.微分方程y'+y=0的通解为y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

3.A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件

4.

5.

6.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

7.设二元函数z=xy，则点P0(0，0)A.为z的驻点，但不为极值点B.为z的驻点，且为极大值点C.为z的驻点，且为极小值点D.不为z的驻点，也不为极值点

8.

9.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导，f'(x)>0,f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内零点的个数为

A.3B.2C.1D.0

10.A.3B.2C.1D.0

11.设y=x＋sinx，则y=（）A.A.sinx

B.x

C.x＋cosx

D.1＋cosx

12.设函数y＝f(x)的导函数，满足f(－1)＝0，当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0．则下列结论肯定正确的是（）．

A.x＝－1是驻点，但不是极值点B.x＝－1不是驻点C.x＝－1为极小值点D.x＝－1为极大值点

13.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在

14.

15.

16.设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)（）。

A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值

17.=（）。A.

B.

C.

D.

18.幂级数的收敛半径为()A.1B.2C.3D.4

19.微分方程y''-2y'=x的特解应设为A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+C

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.设x2为f（x)的一个原函数，则f（x)=_____

25.

26.

27.微分方程y=x的通解为________。

28.______。

29.

30.

31.设f(x)=sinx/2，则f'(0)=_________。

32.

33.

34.设y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________。

35.

36.

37.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=______．

38.

39.幂级数的收敛半径为______．

40.

三、计算题(20题)41.

42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

43.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

44.

45.证明：

46.

47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

49.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

50.

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

53.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

54.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

55.

56.

57.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

58.求微分方程的通解．

59.

60.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.求微分方程y"-3y'+2y=0的通解。

66.

67.

68.求直线y=2x+1与直线x=0，x=1和y=0所围平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

69.

70.

五、高等数学(0题)71.若函数f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数是__________。

六、解答题(0题)72.设平面薄片的方程可以表示为x2+y2≤R2，x≥0，薄片上点(x，y)处的密度，求该薄片的质量M．

参考答案

1.C

2.C

3.B

4.A

5.A解析：

6.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

7.A

8.D解析：

9.C本题考查了零点存在定理的知识点。由零点存在定理可知,f(x)在(a,b)上必有零点，且函数是单调函数，故其在(a,b)上只有一个零点。

10.A

11.D

12.C本题考查的知识点为极值的第－充分条件．

由f(－1)＝0，可知x＝－1为f(x)的驻点，当x<－1时f(x)<0；当x>－1时，

f(x)>1，由极值的第－充分条件可知x＝－1为f(x)的极小值点，故应选C．

13.C被积函数sin5x为奇函数，积分区间[-1，1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。

14.C

15.D

16.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导，于是，f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex，令f'(x)=0得驻点x=-2；又x＜-2时，f'(x)＜0；x＞-2时，f'(x)＞0；从而f(x)在i=-2处取得极小值，且f(x)只有一个极值.

17.D

18.A由于可知收敛半径R==1．故选A。

19.C因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0，r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

20.A

21.

22.6．

本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

23.

24.由原函数的概念可知

25.(2x-y)dx+(2y-x)dy(2x-y)dx+(2y-x)dy解析：

26.x=-2x=-2解析：

27.本题考查可分离变量的微分方程．分离变量得dy=xdx，两端分别积分，∫dy=∫xdx，

28.本题考查的知识点为极限运算。

所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零。

因此

29.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析：

30.00解析：

31.1/2

32.

解析：

33.1

34.y=f(x0)y=f(x)在点x0处可导，且y=f(x)有极小值f(x0)，这意味着x0为f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有f"(x0)=0，因此曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)为所求切线方程。

35.1本题考查了一阶导数的知识点。

36.

37.cosxcosx解析：本题考查的知识点为原函数的概念．

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)'=cosx．

38.7

39.

解析：本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

40.1/6

41.

42.

43.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

44.由一阶线性微分方程通解公式有

45.

46.

47.

列表：

说明

48.由二重积分物理意义知

49.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

50.

51.

52.由等价无穷小量的定义可知

53.

54.

55.

56.

则

57.函数的定义域为

注意

58.

59.

60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

61.

62.

63.

64.由于

65.y"-3y'+2y=0特征方程为r2-3r+2=0(r-1)(r-2)=0。特征根为r1=1r2=2。方程的通解为y=C1ex+C2e2x。y"-3y'+2y=0，特征方程为r2-3r+2=0，(r-1)(r-2)=0。特征根为r1=1，r2=2。方程的通解