第4章 第5讲 万有引力定律 天体运动

第5讲万有引力定律天体运动一、开普勒定律

1．第一定律(轨道定律)：所有行星围绕太阳运转的轨道都是

椭圆

，太阳处在所有椭圆的一个

焦点

上．

2．第二定律(面积定律)：任意一个行星在绕太阳运动时，行星与太阳的连线在相同时间里扫过的面积是

相等

的．二、万有引力定律

1．万有引力定律的内容和公式

内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的．两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积

成正比，跟它们的

距离的平方

成反比．

2．适用条件：公式适用于

质点间

的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体也可以视为质点，r是两球心间的距离．

4．天体的运动

(1)运动模型：天体运动可看成是

匀速圆周运动

——其引力全部提供

向心力

.

(2)人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：

三、三种宇宙速度四、地球同步卫星(通信卫星)

所谓地球同步卫星，是相对于地面静止

的，和地球自转具有相同周期的卫星，T＝24h.同步卫星必须位于赤道

正上方

，距地面高度h≈3.6×104km，线速度约为3.08km/s，向心加速度约为0.23m/s2.五、卫星的超重和失重

1．卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体

超重.

2．卫星进入轨道后正常运转时，系统具有向下的加速度且等于轨道处的重力加速度g轨，卫星上物体

完全失重

.一、开普勒第三定律的理解和运用

问题：在要求不高的近似计算中，开普勒第三定律认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动的近似计算中有怎样特殊的处理？

例1：飞船沿半径为r的圆周轨道绕地球运行，其周期为T0，如图4－5－1所示．如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点P处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船从P飞到B所需的时间(设地球半径R0已知)．

点评：(1)本题中飞船先在圆轨道上运行，后来在椭圆轨道上运行，所以R表示椭圆的半长轴，r表示圆半径．(2)开普勒第三定律不仅适用于飞船，也适用于行星和其他天体．警示：比例系数k是一个与中心天体有关，与行星无关的常量，在太阳系中，k是一个常量，在不同的星系中，k值不同．二、万有引力和重力

问题：万有引力和重力有什么联系与区别？

解答：重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图4－5－2所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．

例2:某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，某星球的平均密度是多少(已知万有引力常量为G)?

点评：(1)在赤道上时，重力等于万有引力减去向心力，即F引＝G＋F向；

(2)在两极时重力等于物体受到的万有引力，其他位置时，重力不等于万有引力．

警示：在一般情况我们忽略重力和万有引力的差别，但涉及专门讨论重力和万有引力的问题除外，譬如问题2.三、中心天体质量、密度的估算

问题：如何利用万有引力定律进行天体质量和密度的计算？

点评：(1)在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解，这是应用万有引力定律解题惯用的一种方法．(2)在本类问题中，牢记基本思路，一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．

警示：本方法利用的是卫星运动的有关参量(如r、T)，求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身质量m，同学们应切记这一点．四、天体运动相关参量的综合分析

应用万有引力解题的两条基本思路是什么？答案：BD

点评：在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换GM＝gR2(又称“黄金代换”)，使计算变得简单．

警示：(1)卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关．

(2)对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度ω、向心加速度a增大．五、随星球自转物体和环绕星球表面的运动物体的区别

问题：如何区别随星球自转物体和环绕星球表面的运动物体？

解答：(1)向心力的来源不同置于星球表面的物体随星球自转所需的向心力由星球对物体的引力和星球表面支持力的合力提供．环绕星球表面运动的卫星所需的向心力完全由星球的引力提供．

例5：根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物(和天体连在一起的物体)还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系．下列判断正确的是(

)A．若v与R成正比，则环为连续物B．若v2与R成正比，则环为小卫星群C．若v与R成反比，则环为连续物D．若v2与R成反比，则环为小卫星群

答案：AD

点评：放在星球表面上的物体向心力与绕星球表面做圆周运动的向心力相差是很大的．例如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034N，环绕地球表面运行的向心力约为9.8N.

警示：我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量．但研究天体运动时，应注意不能认为是常量，随高度变化，g值是改变的．六、同步卫星问题

问题：地球同步卫星有哪些特点？

解答：(1)地球同步卫星只能在赤道上空；

(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期；

(3)地球同步卫星相对地面静止；

(4)地球同步卫星的高度是一定的．

例6：据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是(

)A．运行速度大于7.9km/sB．离地面高度一定，相对地面静止C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等BC七、卫星变轨的动态分析

问题：卫星是如何实现变轨的？

解答：卫星绕地球稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力．当卫星由于某种原因速度突然改变时，受到的万有引力和所需的向心力不再相等，卫星将偏离原轨道．当万有引力大于向心力时，卫星做近心运动，其轨道半径变小，万有引力做正功，速度越来越大；当万有引力小于向心力时，卫星做离心运动，其轨道半径变大，万有引力做负功，速度越来越小．

例7：如图4－5－3所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：(

)A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．a、b的向心加速度大小相等，且大于c的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大答案：D八、天体的宇宙速度

问题：什么是环绕速度？什么是发射速度？

例8：如图4－5－4是地球三个宇宙速度示意图，当卫星绕地球沿椭圆轨道运动到达远地点时，到地心距离为r，速度为v，加速度为a，设地球质量为M，万有引力恒量为G，则下列说法正确的是(

)

AD

点评：第一宇宙速度是卫星环绕地球运行的最大速度，是发射地球卫星的最小速度．

警示：三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度．九、“双星”问题

问题：解决双星问题的关键是什么？

解答：(1)双星之间的万有引力是一对相互作用力，分别提供各自做匀速圆周运动的向心力，且角速度相同；

(2)两颗星之间的距离与星球做匀速圆周运动的轨道半径不等．

例9：在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星．它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为M1和M2，相距L，求它们的角速度．

点评：M1OM2始终在一直线上，M1和M2的角速度相等，其间的引力充当向心力．正是绕着两物体连线上某点做匀速圆周运动，才使双星能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变．

1.(单选)(2010·南通一模)一星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比()A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍

B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的2倍

C．星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍