计量经济学-第四章-非线性模型教学内容

计量经济学-第四章--非线性模型4.1直接代换法适用范围：被解释变量和解释变量非线性，被解释变量与参数线性的非线性模型。下面介绍在研究现实经济问题中常见的这类非线性模型：多项式模型、双曲线模型和对数模型。计量经济学24.1.1多项式模型多项式模型的一般形式：转换过程：则原多项式模型转换为我们就可以用多元线性回归的方法来分析转换后的线性模型。计量经济学3例4.1产品总成本模型已知某行业中10家企业的总产量X和总成本的有关资料：总成本Y

(万元)总产量X

(万吨)19.31022.620243024.44025.750266027.47029.780359042100绘制总成本和总产量的散点图，可以看出它们呈现曲线变化趋势计量经济学4根据经济学中的边际成本的U曲线理论，用产量X的三次多项式来近似表示总成本函数则原模型转换为利用已知的数据，对上面的三元线性回归模型进行估计，可得到下面的结果计量经济学5或(13.2837)(-13.1501)(15.8968)计量经济学64.1.2双曲线模型一般形式：转换：则模型转换为一元线性回归模型计量经济学7双曲线模型的特点：随着自变量增大，因变量逐渐接近其渐近线即计量经济学8因变量逐渐减小，向下接近其渐近线XY计量经济学9例4.2销售额与流通费用率的关系已知某地区百货公司销售额X与流通费用率Y之间的数据销售额X

(万元)流通费用率Y

(%)1.574.54.87.53.610.23.115.52.716.52.519.52.422.52.325.52.2计量经济学10观察商品流通费用率和销售额的散点图，明显发现它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表中数据进行回归，有下面结果：(10.1313)计量经济学11因变量逐渐增大，向上接近其渐近线XY计量经济学12已知某病毒感染率和时间变化相关的数据如下ty10.1220.0730.1640.1150.2160.2170.2580.390.39100.33110.3120.34130.49140.35150.56160.62170.54180.58190.57计量经济学13观察病毒感染率和时间变化的散点图，明显发现它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表中数据进行回归，有下面结果：(-3.475)计量经济学14因变量逐渐减小，向下接近其渐近线XY曲线与横坐标有交点交点左侧曲线斜率系数大于交点右侧曲线的斜率系数计量经济学15年份通货膨胀率Y(%)失业率X(%)19860.62.819870.12.819880.72.519892.32.319903.12.119913.32.119921.62.219931.32.519940.72.91995-0.13.2例4.4菲利普斯曲线已知某地区通货膨胀率和失业率的数据计量经济学16使用双曲线函数，利用已知数据进行回归，有下面结果(6.8799)计量经济学174.1.3对数模型1.线性对数模型转换：则注意斜率系数斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的绝对变化计量经济学18在研究宏观经济问题时，经济学家对货币供给与国民生产总值的关系非常感兴趣，他们经常使用线性对数模型来研究货币供给和国民生产总值的关系年份国民生产总值Y货币供给X19881359.386119891472.8908.519901598.41023.219911782.81163.719921990.51286.719932249.7138919942508.21500.2199527231633.119963052.61795.519973166195419983405.72185.219993772.22363.620004014.92562.620014240.32807.720024526.72901计量经济学19利用表中数据，使用线性对数模型，得到下面回归结果(27.4856)表明货币供给增加一个百分点，国民生产总值平均增加2584.785亿元计量经济学202.对数线性模型转换：则斜率系数此时斜率系数表明了自变量X的绝对变化引起因变量的相对变化计量经济学21在宏观经济问题中，经济学家也经常关注国民生产总值诸如此类的经济变量随时间变化增长的问题，他们经常使用对数线性模型年份国民生产总值Y19881359.319891472.819901598.419911782.819921990.519932249.719942508.21995272319963052.61997316619983405.719993772.220004014.920014240.320024526.7计量经济学22利用表中数据，使用对数线性模型，得到下面回归结果（35.6223）表明时间每增加一年，国民生产总值平均增加0.0888个百分点，也就是说国民生产总值的年平均增长率为0.0888%计量经济学233.双对数模型转换此时斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的相对变化计量经济学24在研究产品的价格弹性和需求弹性时经常使用双对数模型咖啡消费量Y

(每日每人杯数)咖啡价格X

(每磅美元)2.570.772.50.742.350.722.30.732.250.762.20.752.111.081.941.811.971.392.061.22.021.17计量经济学25利用表中数据，使用双对数线性模型，得到下面回归结果(-5.1251)表明自变量即咖啡价格增加1%,因变量咖啡需求量平均减少约－0.25％，也即咖啡的价格弹性为－0.25%计量经济学264.2间接代换法以柯布－道格拉斯生产函数为例函数两端取对数，有则转换为二元线性方程计量经济学27ykllnylnklnl3289.18002225.70003139.00008.09847.70788.05173581.26002376.34003208.00008.18357.77338.07343782.17002522.81003334.00008.23817.83318.11193877.86002700.90003488.00008.26307.90138.15714151.25002902.19003582.00008.33127.97328.18374541.05003141.76003632.00008.42098.05258.19754946.11003350.95003669.00008.50648.11708.20775586.14003835.79003815.00008.62808.25218.24675931.36004302.25003955.00008.68808.36698.28276601.60004786.05004086.00008.79518.47358.31537434.06005251.90004229.00008.91388.56638.34977721.01005808.71004273.00008.95178.66718.36017949.55006365.79004364.00008.98098.75878.38118634.80007071.35004472.00009.06368.86388.40569705.52007757.25004521.00009.18058.95648.416510261.65008628.77004498.00009.23629.06298.411410928.66009374.34004545.00009.29919.14578.4218计量经济学28利用课本P37页数据，采用柯布－道格拉斯生产函数，得到下面回归结果(2.2166)(9.3101)计量经济学29迭代法进行非线性模型估计有些非线性模型没有办法通过直接变换或者间接转换法转化为线性模型，此时可以采用高斯－牛顿迭代法来进行参数估计。（1）计量经济学30在一般情况下，NLS估计量是一致的，并渐近服从正态分布，但是一般不能从上面的公式中显性求出参数估计值，只能从参数的某一初始值开始，经过反复迭代，得到一个估计序列，此序列讲收敛与NLS估计量。高斯－牛顿迭代公式为：（2）计量经济学31（3）

如果初始估计值是一致的，进一步的迭代不会提高其渐近有效性，但在有限样本情况下，将反复迭代直到其收敛为止。计量经济学32销售额与广告收入的模型已知某公司销售额和广告投入之间的数据，绘制它们的散点图，可以发现它们之间呈现非线性变化趋势。假设它们之间的函数可以用下式表达计量经济学33xy4.6912.236.4111.845.4712.253.4311.14.3910.972.158.751.547.752.6710.51.246.711.777.64.4612.461.838.475.1512.275.2512.571.728.873.0411.154.9211.864.8511.073.1310.382.298.714.912.075.7512.743.619.824.6211.51计量经济学34设定待估参数的初始值在Eviews命令输入区域依次输入：Genrc(1)=13Genrc(2)=-6Genrc(3)=-1.33在EquationEstimation对话框中的Specification文本框中键入：y=c(1)+c(2)*exp(c(3)*x)，点击确定按钮，输出迭代法估计的非线性模型结果：计量经济学