一起甲胺磷农药中毒案例交流备课讲稿

一起甲胺磷农药中毒案例交流二年级科学各种各样的天气教案二年级科学各种各样的天气教案

/二年级科学各种各样的天气教案《各种各样的天气》教学设计【教学目标】科学概念目标:知道并会区分阴晴雨雪风等天气现象。会用语言描述天气变化对动植物和人类生活的影响。科学探究目标：能根据图片所表现出的天气特征正确地判断天气。能运用恰当词语描述天气特征。科学态度目标：能对各种天气现象产生探究兴趣。愿意倾听他人的看法，乐于表达自己的观点，乐于同学间的合作学习。科学、技术、社会与环境目标：能根据天气情况，合理安排学习和生活。有保护动植物，热爱自然的意识。【教学重难点】教学重点：知道并会区分阴晴雨雪风等天气现象。教学难点：能结合自身经历，用自己的话描述天气变化对动植物和人类生活的影响。【教学准备】教师准备：各种天气卡片5套、课件（图片和视频）学生准备：科学活动手册【教学过程】激趣导入师：秋天的雨，带给大地的是一曲丰收的歌，带给小朋友的是一首欢乐的歌。一场秋雨一场寒，这两天同学们要多穿点衣服。我们可以通过什么途径知道其他地区的天气？师：我们可以通过观看天气预报来了解全国各地的天气，（播放天气预报视频）请同学注意观看有哪些天气情况。师：我们有时会看见太阳高高地挂在天空、有时也会看到下雨或下雪的现象，它们都代表不同的天气情况，那么天气有哪些变化呢？这节课我们就来学习《各种各样的天气》（板书课题）学习新知1、说说我们知道的天气师：同学们都知道有哪些天气呢？先同学间互相交流再指名回答（教师板书）2、区分不同的天气师：不同的天气表现出的现象是不同的，图片展示不同天气，分别介绍晴天，雨天，雷电，沙尘暴，下雪，台风这些基本天气。师：同学们能根据各种现象来判断不同的天气吗？下面我们就来试试吧！（给各组分发天气卡片）A、学生分组活动：根据卡片判断天气，并把天气名称写在卡片的反面。B、全班交流：分别指名选择卡片来说说是什么天气，并说明理由。（学生回答的同时教师把图片贴在板书相应位置）C、共同交流质疑，补充板书：对于同学们有质疑的图片教师要引导学生仔细观察比较，并加以明确和补充天气名称。D、拓展练习：完成活动手册第五课“拓展活动”学生独立完成后再共同订正。天气对我们的影响师：天气总是在不断的变化，也时刻影响着我们的生活，下面我们就来了解一下不同的天气给我们的生活都带来了哪些影响。让学生结合自身的生活经历说说天气给我们带来的影响。出示幻灯片（干死的秧苗、拔出地面的树根、太阳能集热板和风车）分别指名说说图片中表现的是什么事物，是什么原因造成，它们反映出了不同天气给动植物和我们人类带来的哪些不利和有利影响？教师小结：适宜的天气会有助于动植物的生长和生存，有利于我们人类的生产和生活。但是，如果某一种天气持续时间过长或强度过大，就会给动植物和人类带来不利的影响。所以，我们也要根据天气情况合理安排自己的生活。（板书：天气影响动植物和人类）让学生举例说说自己是怎样根据天气情况来安排学习和生活的。研讨师：风、晴、雨、雪、风对动植物和人类有哪些影响？学生活动：四个学生一个小组进行研讨，小组选代表说说研讨结果天气在线活动：模拟天气预报播报小活动知识拓展师：同学们知道什么是极端天气吗？它们的产生又会有什么后果呢？下面我们就来了解一下。向学生介绍什么是极端天气。（出示投影：什么是极端天气和相关天气图片）极端天气通俗的说就是指在一定地区，一定时间内出现的很少见的天气现象，它发生的概率很小，但造成的影响很大。比如：狂风、暴雨、暴雪、龙卷风、台风、冰雹、强寒潮、高温、长期干旱等都属于极端天气。Ｂ、说说你知道的极端天气造成严重后果的事件。C、小结：极端天气具有很强的破坏性，会严重影响我们的生活，甚至造成生命和财产损失。梳理总结学生畅谈收获布置作业师：既然极端天气具有很强的破坏性，所以我们是不是希望这样的天气情况出现的越少越好呢？课下请同学们查阅资料了解地球上的极端天气和它们产生的后果。板书设计各种各样的天气晴图片 阴图片天气影响动植物和人类雨图片天气雪图片风图片雾图片．．．

高等代数北大版教案-第6章线性空间高等代数北大版教案-第6章线性空间

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高等代数北大版教案-第6章线性空间第六章线性空间§1集合映射一授课内容:§1集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义.四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程:1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差)设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集,记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做.定义:(集合的映射)设、为集合.如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射,记为如果,则称为在下的像,称为在下的原像.的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像,记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得,则称为满射.如果既是单射又是满射,则称为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:,.当然也可以写成,.(2)求和号的性质容易证明,,,.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:分别先按行和列求和,再求总和即可.§2线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2线性空间的定义与简单性质二教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质.四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程：1.线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间)设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”,又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质:加法交换律,有；加法结合律,有；存在“零元”,即存在,使得；存在负元,即,存在,使得；“1律”；数乘结合律,都有；分配律,都有；分配律,都有,则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设与均是零元素,则由零元素的性质,有；,设都是的负向量,则,于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.定义4.2(减法)我们定义二元运算减法“-”如下:定义为.命题4.2线性空间中的加法和数乘满足如下性质:加法满足消去律；可移项；可以消因子且,则；.(3)线性空间的例子例4.1令V表示在上可微的函数所构成的集合,令,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.定义4.3(线性组合)给定V内一个向量组,又给定数域K内s个数,称为向量组的一个线性组合.定义4.4(线性表出)给定V内一个向量组,设是V内的一个向量,如果存在K内s个数,使得,则称向量可以被向量组线性表出.定义4.5(向量组的线性相关与线性无关)给定V内一个向量组,如果对V内某一个向量,存在数域K内不全为零的数,使得,则称向量组线性相关；若由方程必定推出,则称向量组线性无关.命题4.3设,则下述两条等价:1)线性相关；2)某个可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义4.6(线性等价)给定V内两个向量组(Ⅰ),(Ⅱ),如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组)给定V内一个向量组,如果它有一个部分组满足如下条件:(i)、线性无关；(ii)、原向量组中任一向量都能被线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义4.8(向量组的秩)一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2求证:向量组的秩等于2(其中).证明:方法一:设∈R,满足,则,假若不全为零,不妨设,则有,而由于,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是.所以线性无关,向量组的秩等于2.证毕.方法二:若在上,两端求导数,得,以代入,有而,于是.证毕.§3维数、基与坐标一授课内容:§3维数、基与坐标二教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.四教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五教学过程:1.线性空间的基与维数,向量的坐标设V是数域K上的线性空间,则有:定义4.9(基和维数)如果在V中存在n个向量,满足:1)线性无关；2)V中任一向量在K上可表成的线性组合,则称为V的一组基.基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4设V是数域K上的n维线性空间,而.若V中任一向量皆可被线性表出,则是V的一组基.证明:由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5设V为K上的n维线性空间,,则下述两条等价:1)线性无关；2)V中任一向量可被线性表出.定义4.10(向量的坐标)设V为K上的n维线性空间,是它的一组基.任给,由命题4.4,可唯一表示为的线性组合,即,使得,于是我们称为在基下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.§4基变换与坐标变换一授课内容:§4基变换与坐标变换二教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式.三教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式.四教学难点:坐标变换公式的应用.五教学过程:1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间,设和是两组基,且将其写成矩阵形式.定义4.11我们称矩阵为从到的过渡矩阵.命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基.T是K上一个n阶方阵.命则有是V/K的一组基,当且仅当T可逆.证明:若是线性空间V/K的一组基,则线性无关.考察同构映射,构造方程,其中,,线性无关.构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程,其中,两边用作用,得到,.证毕.2.向量的坐标变换公式；中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式设V/K有两组基为和,又设在下的坐标为,即,在下的坐标为,即.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即记,,于是.于是,由坐标的唯一性,可以知道,这就是坐标变换公式.(2)中两组基的过渡矩阵的求法我们设中两组基分别为和而按定义,T的第i个列向量分别是在基下的坐标.将和看作列向量分别排成矩阵；,则有,将A和B拼成分块矩阵,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:.§5线性子空间一授课内容:§5线性子空间二教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理.三教学重点:线性子空间的定义、判别定理.四教学难点:线性子空间的判别定理.五教学过程:1.线性空间的子空间的定义定义4.12(子空间)设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.命题4.7设V是K上的线性空间,又设一个非空集合,则是子空间当且仅当下述两条成立:i)对减法封闭；ii)对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出；充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.只需要证明且对于任意,,且对加法封闭即可.事实上,由于关于数乘封闭,则；,于是对于,,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间.证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.证明:设,,,若,则命题为真；若,对作归纳:设为W的一组基,取,则线性无关.于是令,易见,W’是V的一个子空间,且,此时,对其用归纳假设即可.§6子空间的交与和一授课内容:§6子空间的交与和二教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式.四教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式..五教学过程:1.子空间的交与和,生成元集定义4.13设,则是V的一个子空间,称为由生成的子空间,记为.易见,生成的子空间的维数等于的秩.定义4.14(子空间的交与和)设为线性空间V/K的子空间,定义,称为子空间的交；,称为子空间的和.命题4.9和都是V的子空间.证明:由命题4.7,只需要证明和关于加法与数乘封闭即可.事实上,,则,.由于均是V的子空间,则,于是,关于加法封闭；,,,于是,关于数乘封闭.,则由的定义,,使得,而,则,关于加法封闭；,,使得,由于,则,关于数乘封闭.证毕.命题4.10设是V的子空间,则和均为V的子空间.2.维数公式.定理4.1设V为有限维线性空间,为子空间,则.这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设,,,,取的一组基(若=0,则,基为空集),将此基分别扩充为的基,,只需要证明是的一组基即可.首先,易见中的任一向量都可以被线性表出.事实上,,则,其中,而

于是可被线性表出.只要再证明向量组线性无关即可.设,其中.则(*)于是,,于是,记为.则可被线性表示,设,代入(*),有,由于是的一组基,所以线性无关,则,代回(*),又有,于是向量组线性无关.证毕.推论2.1设都是有限为线性空间V的子空间,则:.证明:对t作归纳.§7子空间的直和一授课内容:§7子空间的直和二教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三教学重点:子空间的直和的四个等价定义.四教学难点:子空间的直和的四个等价定义.五教学过程:1.子空间的直和与直和的四个等价定义定义设V是数域K上的线性空间,是V的有限为子空间.若对于中任一向量,表达式.是唯一的,则称为直和,记为或.定理设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价:1)是直和；2)零向量表示法唯一；3)；4).证明:显然.设则.由2)知,零向量的表示法唯一,于是,即的表示法唯一.由直和的定义可知,是直和.假若存在某个,使得,则存在向量且,于是存在,使得.由线性空间的定义,,则,与零向量的表示法唯一矛盾,于是.若2)不真,则有,其中且.于是,与3)矛盾,于是2)成立.对m作归纳.①=2时,由维数公式得到.②设已证,则对于,而,都有；由归纳假设,可以得到.,都有,于是.证毕.推论设为V的有限维子空间,则下述四条等价:i)是直和；ii)零向量的表示法唯一；iii)；iv).2.直和因子的基与直和的基命题设,则的基的并集为V的一组基.证明:设是的一组基,则V中任一向量可被线性表出.又,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V的一组基.证毕.3.补空间的定义及存在性定义设为V的子空间,若子空间满足,则称为的补空间.命题有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明:设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取的一组基,将其扩为V的一组基取,则有,且,于是,即是的补空间.证毕.§8线性空间的同构一授课内容:§1线性空间的同构二教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三教学重点:线性空间同构的判定.四教学难点:线性空间同构的判定.五教学过程:1.线性映射的定义定义设为数域上的线性空间,为映射,且满足以下两个条件:i)；ii),则称为(由到的)线性映射.由数域上的线性空间到的线性映射的全体记为Hom,或简记为Hom.定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替:.例是上的线性空间,也是上线性空间,取定一个上的矩阵,定义映射则是由到的线性映射.例考虑区间上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令再令则是由到的一个线性映射.定义设是线性映射i)如果是单射,则称是单线性映射(monomorphism)；ii)如果是满射,则称是满线性映射(endmorphism)；iii)如果既单且满,则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说与是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；iv)的核(kernel)定义为；v)的像(image)定义为,也记为；命题和是的子空间.证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭.vi)的余核定义为.命题线性映射是单的当且仅当ker,是满的当且仅当coker.定理(同态基本定理)设是数域上的线性空间的满线性映射,则映射是同构映射.证明:首先证明是映射,即若,则.由于,存在,使得.于是,即.再证明是线性映射.,,有.易见是满射,且有.只要再证明是单射即可,即证明.设,则,于是,即有.证毕.命题设是线性映射,,则下述三条等价:i)单；ii)将中任意线性无关组映为中的线性无关组；iii).证明:i)ii)若线性无关,则令,由线性映射的定义,.单,于是,则,ii)成立；ii)iii)若取的一组基,则由已知,线性无关,而中任意向量可以被线性表出,于是构成的一组基,iii)成立；iii)i)由同态基本定理知,于是,即有.证毕.

经典奥数时钟问题经典奥数时钟问题

/经典奥数时钟问题四、时钟问题解法与算法公式解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。解：（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）答：2点10分时，两针重合。2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。解：（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。解：（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12点32分。第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即1点38分。第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）即2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝。2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷。解：5×（17－12）＝27（分）27÷＝30（分）答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。【针对性练习】1.十点与11点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？()A.10时21分B.10时22分C.10时21D.10时21分2现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？【参考答案详解】1.答案A满足.分针：6度/分时针0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，则如图有60-0.5x=180-6x，x=分，即10时分两针成直线。答案A满足。2.现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：6度/分时针0.5度/分3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即90度，用追及问题的处理方法解：90/(6-0.5)度/分=16分钟，所以下午3点16分钟，时针和分针第一次重合。3.分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6度/分时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24×60=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次4.钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6度/分时针0.5度/分5点零8分，时针成角：5×30+8×0.5=154度，分针成角：8×6=48度，所以夹角是154-48=106度。5在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比时针多走(20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5分，(20+15)/(1-1/12)=38分，即4点38分。6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？解析：设经过X分，0.5×X=270-6×X,解得X=540/13分，所以答案是9点过41分。行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网时间:2010-01-08|公务员考试论坛|来源:中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A.30度B.60度C.90度D.150度［答案］D［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A.10B.11C.12D.13［答案］B［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。因此，时针与分针重合了11次。选择B。［解二］根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（）#中国公务员考试信息网A.51B.47C.45D.43［答案］A［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小时，约合1小时51分。【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A.10点15分B.10点19分C.10点20分D.10点25分［答案］A［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。例5从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。A.43分钟B.45分钟C.49分钟D.61分钟［答案］C［解析］从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），根据公式，其间隔时间T＝T0+T0/11≈49（分钟）。【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?（）A.1次B.2次C.3次D.4次［答案］B［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分针旋转了360°。分针与时针所成的角度从0°变化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的机会。选择B。［解二］根据公式：从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？（）A.5点10分B.5点101011分C.5点11分D.5点12分［答案］B［解析］根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。强华公务员【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A.32B.32811分C.33分D.34分［答案］B［解一］根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追及时间为30+3011=32811分钟，所以选择B。［解二］根据基本知识点：时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：24×6044=32811分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准比”，按比例计算。【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?（）A.11点整B.11点5分C.11点10分D.11点15分［答案］C［解析］标准比：标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。此时，慢钟从4点30分走到10点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x∶380=60∶57，可得：x＝400（分钟）。说明标准时间比慢钟快400-380＝20分钟，慢钟走到了10点50分，实际上应该是11点10分了。【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是多少？（）A.9点15分B.9点30分C.9点35分D.9点45分［答案］D［解析］快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3。假设现在是9点x分（快钟显示10点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：x＝45。所以标准时间是9点45分。时钟问题的关键点：时针每小时走30度分针每分钟走6度分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。请看例题：【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A．1次B．2次C．3次D．4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为A．10点15分B．10点19分C．10点20分D．10点25分【解法1】时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。【解法2】常规方法设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。著名数学难题：时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。例1在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12x－x=60m，其中m=1，2，…．

度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第

出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。例2已知：挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每小时快2分钟，闹钟比台钟每小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟。试问：手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？解：(1)标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分。(2)因为台钟比挂钟每小时快2分钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟。设当标准时间走60分时，即挂钟走58分，台钟走x1分钟，则

(3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟。设当标准时间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，则

(4)因为手表比闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟。设当标准时间走60分时，闹钟走x2分，手表走x3分，则

答：手表走时不准，走慢了，每小时慢0.133分，即大约慢8秒。例3一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？解：设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45＋x)分，由于分针转动的速度是时针的12倍，所以有方程

例4时钟的分针和时针在24小时中，形成过多少次直角？解：因为时针1小时转动30°，所以1分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°．设x分钟后，时针与分针成直角，则有方程x(6°－0.5°)=90°．

针24小时会有多少次差90°的倍数呢？设有n次，则

由此解得n=88．在这88次中，时针与分针所成角度分别为90°，180°，270°，360°，其中180°，360°不合要求，因此总共有44次直角。(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例5时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？直线上。也可这样解：设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时

例6在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设此时是5时x分，在手表面上，因为分针1分钟转动6°，时针1小时转动30°，则1分钟转动0.5°，时针从0点到5点x分转动了(150＋0.5x)度，分针从0分到x分转动了6x度。因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差3×6°=18°，所以有方程150＋0.5x－6x=18．解之，得x=24．所以，此时为5时24分。下面是关于时钟的一个更精彩的算题。我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考。设想钟表的位置在12点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在6点整时，如果把长短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，这种情况不可能发生。那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间？爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间。说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短。问题是怎样解决的呢？第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例1中已经解决，总共在钟面上有11个位置。除此以外还有没有其他可能呢？设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程

当两针对调后，就变成时针走了y个刻度，分针走了x个刻度。如果设分针已在此之前走了n圈，又可得方程

把m，n看成已知数解这个方程组，得

由0≤x，y≤60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解。其中当m=0，n=0与m=11，n=11时，两针都是在12这个位置,当m=n时，就是第一类情况中的11个重合的位置。当m≠n时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求时间差：例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？A.8小时B.8小时30分C.9小时30分D.9小时50分解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30C求慢（快）表在几小时后显示什么时间？例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是()。A．11点整B．11点5分c．1l点1O分D．11点15分解析：慢表显示经过的时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：380÷[（60-3）/60]=400分钟=6小时40分钟，答案为C：4：30+6：40=11：10。例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是()。A．9点15分B9点30分c．9点35分D9点45分解析：这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走造成的，3分钟时慢走造成的。所以当它们（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，1/4的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间（45分钟）时慢走造成的。所以标准时间为9点45分，答案为D。戴晓东总结：其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢（快）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。延伸：通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？万学金路戴晓东强调要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1小时时间，分针走60个小格，时针只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格。解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：时针:v1=5格/小时分针：v2=60格/小时n*60=（v2-v1）*12即：重合一次，多走60个格，假设重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小时多走（60-5）个格，总共走了12小时，所以多走了（60-5）*12个格。解出：n=11例：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？解析：6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/55=6/11小时=360/11分钟。例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？解析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/55小时=540/11分钟。总结：这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度差。而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小时差55格（前面已经分析过）。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟?解析：正常的钟每隔(12/11)小时=(720/11)分钟重合一次，爷爷家的老式钟是726/11分钟重合一次，慢了6/11分钟。每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分钟。一昼夜共慢了1/2*24=12分钟。时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。例：1个小时内分针和秒针共重叠（）次。A.60B.59C.61D.55这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下：首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻分针和秒针都是在12上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。。。。。。。58，59，60我们来仔细分析当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。但是在0～1之间却是没有重合的，因为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。从1～2分钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了59～60分钟之间，最后是分针和秒针同时到达12上，形成了最后一次重复。在59～60间隙里面也是没有重合的。这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60之间的重合，整个过程就发现就是60次。其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了2个结果。就是看间隔。59个间隔至少有59次相遇。第一次的间隔没有。这里有一个问题，很多人认为当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情况来做。时钟问题经典例题详解例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？析：2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10/11/12分钟的时间。例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60/11/12＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/720/11分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。2.分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/59/60格/秒=3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒/3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。3.时针与秒针秒针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次?析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60/719/720=43200/719秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*3600/43200/719＝710次。此时重合在12点位置上，即重合了719次。4.成角度问题例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。5.相遇问题例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15/1+1/12=180/13分。例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？析：只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/(1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。钟表上的追及问题新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一.格数法钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程，解得。所以3点16分时，时针与分针重合。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成平角。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成直角。二.度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程，解得。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程，解得。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了，于是得方程，解得。练一练1.钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？2.钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？3.钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？4.钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？（参考答案：1.9点49分； 2.5点43或5点10分；3.3点9分或3点23分； 4.2点43分。）1、钟表指针重叠问题时钟问题详细讲解我只是在论坛看到相关内容，并加以整理：一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？（2006国家考题）A、10B、11C、12D、13答案B2、中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？A、60B、59C、61D、62答案B讲讲第2题，如果第2题弄懂了第1题也就懂了！给大家介绍我认为网友比较经典的解法：考友1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分针速度的60倍，秒针和分针一起从12点的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1格/秒，那么秒针的速度就是60格/秒，设追上的时候路程是S，时间是t，方程为(1+60)t＝S即61t＝S，中午12点到下午1点，秒针一共走了3600格，即S的范围是0<S<3600，那么t的范围就是0<t<3600/61,即0<t<59.02，因为t只能取整数，所以t为1～59，也就是他们相遇59次。第1题跟这个思路是一样的，大家可以算算！给大家一个公式吧61T＝S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了）如第1题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为12小时，也就是说分针走了720格T(max)=720/61.8，取整数就是11。1、钟表指针重叠问题中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？A、10B、11C、12D、13考友2.这道题我是这么解,大家比较一下:解:可以看做追及问题,时针的速度是:1/12格/分分针的速度是:1格/分.追上一次的时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分从12点到12点的总时间是720分钟,所以重合次数n=总时间/追上一次的时间=720/720/11次二、关于成角度的问题，我推荐个公式及变式给你：设X时时，夹角为30X，Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.（请大家掌握）钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义（求角度公式）变式与应用2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A（已知角度或时针或分针求其中一个的公式。30×〔(X-Y/5)＋Y/60]=A或30×｛〔（X+12)-Y/5]＋Y/60}=A说明变式3.实质上完全等同变式2.例题3〔2000年国家考题〕某时刻钟表时间在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时刻正好方向相反且在一条直线上，则从时刻为（）A.10点15分B.10点19分C.10点20分D.10点25分思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为Y,用变式2解出30×10－5.5Y=180解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,本题最接近A.(说明此国考题不够严谨！）思路2.根据钟表的特点：首先看时针在10点到11点之间，那么根据“正好方向相反且在一条直线上”分针必在4点到5点之间（相对时针而言），那么在6分钟以前分针必在3点附近（相对时针而言），运用排除法选A(说明到这里基本规律已完毕，在考题中已经可以应付了，后面的讲解作为大家了解，我也是从网络搜索的，只是前面知识的运用而已！)知识网络时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。时钟盘面被等分为12个大格，那么每个大格之间的夹角为360°÷12=30°。每个大格又被分成5个小格，每个小格之间的夹角为30°÷5=6°。在钟表上时针与分针是同时运动的，它们的关系是：时针走1小时转过30°，分针转过360°，恰为一个圆周。重点?难点在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问题的扩展和延伸。因此只要能够透彻地分析、解答了两针夹角问题，其他问题则有章可循。学法指导解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综合在一起，然后求解，另外，还需要注意全面考虑多种可能的情况。经典例题例1如图1，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？思路剖析将时钟盘面分成12个分格，那么在1点45分，分针必落在9这个位置上，而时钟针不在1这个位置上，而是在1和2之间的某个位置上，也就是要求出从1点到1点45分，45分钟的时间时钟转过的角度。时针走60分钟转过360°÷12=30°，那么走45分钟，转过。而且从1点45分时时钟盘面上时针、分针的位置易知，从9点整到13点整之间包含有4个大格。那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的和。解答点津或用变式2.360-（30×1－5.5×45）＝142.5°（思考为什么用360来减，当然在考题中选择题答案是唯一的好办！）对于求两针夹角的问题，我们都可以按照例1的思路求解。从此题的求解中，可以总结出如下的规律性结论：在1点45分时，两针夹角：，那么在a点b分时，两针夹角：，为了避免a<b÷5的情况（分针在时针前），通常a采用24时计时法；若a>b÷5（分针在时针后），则a采用12时计时法。如果所求的角度是大于180°的，那么需与360°求差后求出的值为最后结果。例2从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？思路剖析时针与分针直线也就是说两针的夹角为180°。从5时整开始时，时针在一个小时之内从5运转到6，分针从12开始在一个小时之内会旋转360°，必然在此期间有一个时刻时针与分针成了直线，从图2中易知此时刻必然落在11与12之间。此题是已知两针夹角求时间的问题，与例1正好是个相反的过程。我们仍可按照例1得出的规律求解。当两针成直线时，时间为5点几分，那么a=5，由于分针位置在11至12之间，则b>55，那么b÷5>11，a<b÷5，应采用24小时计时法。只须解一个方程，便可求解此题。解答时针与分针第一次成直线，它们的夹角为180°，设从5时整开始，经过b分后，时针与分针第一次成直线，这时分针落在11与12之间，即b÷5>11，而a=5<b÷5，则采用24时计时法，可得方程：那么可知在5时60分时，即6时整，两针成直线。或者360－〔30×5－5.5×y〕＝180解出y＝60（变式1.好理解些）以下类似略了答：从5时整开始，经过60分钟后，时针与分针第一次成直线。例3从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？思路剖析时针与分针的重合，在第一次它们的夹角为360°，那么解决两针重合问题的方法与求解两针成直线问题的方法类似。从6点整开始，一个小时之内，时针从6转到7；分针从12开始转过360°，在此期间必有一时刻两针重合。解答重合时两针都落在6与7之间，因此b÷5>6，而a=6<b÷5，则采用24时计时法，经过b分钟后两针重合，得方程：例4在8时多少分，时针与分针垂直？思路剖析在8时多少分时，两针垂直应有两种情况。如图3和图4所示。图3是分针在时针后，此时的垂直夹角是90°。图4是分针在时针前，此时的垂直夹角是270°。确定了夹角之后，可根据例1得出的规律进行运算。解答分为两种情况：（1）分针在时针后，a=8,a>b÷5，可采用12时计时法，设从8时整开始，经过b1分后，时针与分针第一次垂直，夹角为90°。得方程：（2）时针在分针后，a=8，a<b÷5，可采用24时计时法，设从8时整开始，经过b2分后，时针与分针第二次垂直，夹角为2700。得方程：由于求得b2=60分，那么经过60分钟，即在9点钟时，两针第二次垂直。但题意要求是在8点几分时垂直，所以此种情况可舍。答：在8小时点分时，时针与分针垂直。例5如图5所示的时间是8点20分差一些。如果时针和分针同6的距离正好相等，试问是几点几分？思路剖析由于时针和分针同6的距离正好相等，从图中可知，时针和分针与6的距离都是两个大格再加上部分大格。注意到时针多走的部分大格是时针与8的距离，即在几分钟内时针走的格数，而分针多出的部分大格是分歧针与4的距离，即40个大格减去分针几分钟内走的格数。而这两部分是相等的。由于分针走5分钟走1个大格，那么1分钟就走个大格，而时针60分钟走1个大格，那么1分钟走个大格。由此可以将经过几分钟后时针与8的距离和分针与4的距离表示出来，得到方程，进而求出结果。解答发散思维训练1.求下面各种盘面上的时针与分针之间的夹角。（1）3时25分；（2）8时40分；（3）9时12分2.从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？3.小明同时开动两个钟后发现，其中的一个钟每小时慢3分钟，而另一个钟每小时快2分钟。过了一段时间他再去看这两个钟，发现那个快的钟正好比慢的钟快1小时，问小明过了多长时间去看的钟？4.时针现在表示的时间是15时整，那么分针旋转2002周后，时针表示的时间是几时？5.钟面上的时针和分针同时旋转，在相同的时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的多少倍？6.一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？7.时钟的分针和时针在24小时中，形成过几次直角？8.时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？9.在一天的第六个小时，小月看了一下表，分针正接近时针，还差3分的距离就重合。求现在是几点钟？请同学们做完练习后再看答案！

参考答案1.解：2.解：时针与分针第一次成直线，即它们的夹角为180。设从9点整开始，经过b分后，时针与分针第一次成直线，这时针针必落在3与4之间，即b÷5<4，而a=9>b÷5，可采用12时计时法，得到方程：3.解：快的钟比慢的钟每小时快3+2=5（分钟），1小时=60分钟，快出60分钟则需经过60÷5=12（小时）答：小明过了12小时去看的钟。4.解：分针旋转1周经过的时间是1小时，那么2002周后经过的是2002个小时，一天有24小时，2002÷24=83……10，即旋转2002周之后经过了83天，还多10个小时，而现在的时间是15时，15+10=25，25-24=1（小时）。答：当分针旋转2002周之后，时针表示的时间是1时。5.解：由于在相同的时间内分针旋转的度数是时针旋转度数的多少倍是一个固定的值，那么不妨看经过1个小时，两针各旋转多少度。1小时，时针旋转整个表盘的，而分针旋转一周。因此有：1÷=12（倍）。答：相同时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的12倍。6.解：分针追上时针即两针重合，设在9点b分时两针重合，夹角为360°，采用24时计时法。7.解：因为时针在1小时内转动30°÷60=0.5°，分针1分钟转动360°÷6=6°，设：经过x分后，时针与分针成为直角，那么有方程x×（6°-0.5°）=90°，故x=16。即：一天的开始时，两针都指12，两针在16分钟以后，第一次形成直角。所以，下式成立：16×n=60×24，故n=88。但是，两针到下次重合前，形成的角依次是90°、180°、270°、360°（相当于0°），其中，符合题意的只有90°和270°二个。因此，24小时内，时针和分针可以形成44次直角。8.解：设时针和分针成一条直线，所需时间为x分钟，这样，分针在表盘上转动6x°，因为分针1分钟转6°，时针1分钟转0.5°，时针则转了0.5x°，那么两针之差相差180°。6x°-0.5x°=