2023年高三诊断考试理科数学

本卷须知：1．本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。2．本试卷总分值150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．集合，，那么A．B．C．D．2．复数〔是虚数单位〕的虚部是A．B．C．D．3．设，，且，夹角，那么A．B．C．D．4．从数字、、、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，那么这个两位数大于40的概率为A．B．C．D．5．等差数列的前项和为，假设，那么A．B．C．D．6．某几何体的三视图如下列图，且该几何体的体积是3，那么正视图侧视图俯视图正视图中的的值是正视图侧视图俯视图A．2 B．C．D．3是否S=S*i输出是否S=S*i输出S结束开始i=i-1i=12,S=1A．B．C．D．8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，那么∥是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件9．不等式组所表示的平面区域为，假设直线与平面区域有公共点，那么的取值范围为是A． B．C． D．10．在直角坐标系中，设是曲线：上任意一点，是曲线在点处的切线，且交坐标轴于,两点，那么以下结论正确的是A．的面积为定值 B．的面积有最小值为C．的面积有最大值为 D．的面积的取值范围是11．抛物线：的焦点为，以为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，假设四边形是矩形，那么圆的标准方程为A．B．C．D．12．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，那么不等式的解集为A．B．C．D．第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。13．，，那么．14．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，假设椭圆的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，那么椭圆的标准方程为．15．函数有两个极值点，那么实数的取值范围是．16．数列的首项为，数列为等比数列且，假设，那么．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．〔本小题总分值12分〕在中，角、、所对的边分别为、、，．〔Ⅰ〕求的大小；〔Ⅱ〕假设，求的取值范围．18．〔本小题总分值12分〕ABCDA1B1C1D1如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，∥，,,顶点ABCDA1B1C1D1的射影恰为点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)假设直线与直线所成的角为,求平面与平面所成角〔锐角〕的余弦函数值．19．〔本小题总分值12分〕为迎接2023年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛〞，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的个小球，分别印有“兰州马拉松〞和“绿色金城行〞两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球〔登记后放回并摇匀〕，假设抽到的两个小球都印有“兰州马拉松〞即可中奖，并停止抽奖,否那么继续，但每位嘉宾最多抽取次．从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行〞标志的概率为．〔Ⅰ〕求盒中印有“兰州马拉松〞标志的小球个数；〔Ⅱ〕用表示某位嘉宾抽奖的次数，求的分布列和期望．20．〔本小题总分值12分〕双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．〔Ⅰ〕求双曲线的方程；〔Ⅱ〕斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，，假设，证明：过、、三点的圆与轴相切．21．〔本小题总分值12分〕设函数．〔Ⅰ〕假设函数是定义域上的单调函数,求实数的取值范围；〔Ⅱ〕假设,试比较当时，与的大小；〔Ⅲ〕证明：对任意的正整数，不等式成立．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。22．〔本小题总分值10分〕选修4—1：几何证明选讲如图,切⊙于点,割线交⊙于、两点,的平分线和、分别交于点、．求证:ABEPCDABEPCD•O〔Ⅱ〕．23．〔本小题总分值10分〕选修4－4：极坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，〔为参数〕，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值．一、选择题题号123456789101112答案DCDBDDBACAAB7.解析：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的假设干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意11.解析：依题意，抛物线：的焦点为,∴圆的圆心坐标为∵四边形是矩形，且为直径，为直径，为圆的圆心∴点为该矩形的两条对角线的交点，∴点到直线的距离与点到的距离相等，又点到直线的距离为∴直线的方程为：∴∴圆的半径∴圆的方程为：12.解析：∵为偶函数，∴的图象关于对称,∴的图象关于对称∴设〔〕,那么又∵，∴〔〕，∴函数在定义域上单调递减∵,而∴∴应选B．二、填空题13.14.15.16.15．解析：函数，那么，令得，因为函数有两个极值点，所以有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点〔0，－1〕作的切线，设切点为〔x0，y0〕，那么切线的斜率，切线方程为.切点在切线上，那么，又切点在曲线上，那么，即切点为〔1，0〕.切线方程为.再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是.三、解答题17.解：〔Ⅰ〕∵，∴∴∵∴…………6分〔Ⅱ〕由正弦定理得：，∴，∴∵∴即：…………12分18.解：(Ⅰ)证明:连接,那么平面,∴在等腰梯形中,连接∵,∥∴∴平面∴…………6分(Ⅱ)解法一:∵∥∴∵∴在底面中作,连接,那么,所以为平面与平面所成角的一个平面角在中,,∴∴即平面与平面所成角(锐角)的余弦函数值为…………12分解法二:由(Ⅰ)知、、两俩垂直，∵∥∴∴ABCDA1B1C1D1xyzABCDA1B1C1D1xyz所以，建立如图空间直角坐标系，那么，，设平面的一个法向量由得可得平面的一个法向量．又为平面的一个法向量．因此所以平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为.19.解〔Ⅰ〕设印有“绿色金城行〞的球有个,同时抽两球不都是“绿色金城行〞标志为事件,那么同时抽取两球都是“绿色金城行〞标志的概率是由对立事件的概率:=即，解得…………6分〔Ⅱ〕由，两种球各三个，可能取值分别为，，(或)那么的分布列为：所以．…………12分20.解：〔Ⅰ〕依题意有，∵∴∴，∴∴曲线的方程为……………6分〔Ⅱ〕设直线的方程为，那么，，的中点为由得∴，∵，即∴〔舍〕或∴，点的横坐标为∵∴∴过、、三点的圆以点为圆心，为直径∵点的横坐标为∴∵∴过、、三点的圆与轴相切……………12分21.解：〔Ⅰ〕∵又函数在定义域上是单调函数.∴或在上恒成立假设在上恒成立,即函数是定义域上的单调地增函数,那么在上恒成立,由此可得；假设在上恒成立,那么在上恒成立.即在上恒成立.∵在上没有最小值∴不存在实数使在上恒成立.综上所述,实数的取值范围是.……………4分〔Ⅱ〕当时，函数.令那么显然，当时，,所以函数在上单调递减又，所以，当时，恒有,即恒成立.故当时，有……………8分〔Ⅲ〕证法一:由〔Ⅱ〕可知()∴()∴()∴………12分证法二:设那么∵∴欲证只需证只需证由〔Ⅱ〕知即。所以原命题成立。方法三：数学归纳法证明：1、当时，左边=，右边=，原不等式成立。2、设当时，原不等式成立，即那么当时，左边=只需证明即证即证由〔Ⅱ〕知即令，即有。所以当时成立由1、2知，原不等式成立。22.证明:(Ⅰ)切⊙于点,∵平分,…………5分(Ⅱ)∽同理∽,…………10分23.解：(Ⅰ)由曲线：得即：曲线的普通方程为：由曲线：得：即：曲