椭圆基本知识

要点梳理1.椭圆的定义（1）第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫

.这两定点叫做椭圆的

，两焦点间的距离叫做

.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中

a＞0,c＞0，且a，c为常数：（1）若

，则集合P为椭圆；§8.1椭圆基础知识自主学习椭圆焦点焦距a＞c第八章圆锥曲线精选课件（2）若

，则集合P为线段；（3）若

，则集合P为空集.a=ca＜c精选课件3.椭圆的几何性质精选课件精选课件精选课件基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ()A.B.C.D.

解析设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b,D精选课件2.设P是椭圆上的点.若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A.4B.5C.8D.10

解析由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.D精选课件C精选课件4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆

C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（）A.9 B.1C.1或9 D.以上都不对

解析由题意得∴a=5，c=4.∴a+c=9，a-c=1.C精选课件5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为

.

解析由已知得∠AF1F2=30°，故cos30°=，从而e=.精选课件题型一椭圆的定义【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.

两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.思维启迪题型分类深度剖析精选课件解两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1；O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5，c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为精选课件探究提高

平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，当2a>|F1F2|时,动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.

已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线知能迁移1精选课件解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.答案

B精选课件题型二椭圆的标准方程【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且

P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.思维启迪.精选课件解方法一设所求的椭圆方程为由已知条件得解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程为精选课件方法二设所求椭圆方程为两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.在方程 中，令x=±c得|y|=,在方程中，令y=±c得|x|=,依题意有=3，∴b2=12.∴椭圆的方程为精选课件探究提高

运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0,m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可.精选课件知能迁移2（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(-，-)，求椭圆的方程.

解（1）若焦点在x轴上，设方程为(a＞b＞0).∵椭圆过P（3，0），∴又2a=3×2b,∴b=1,方程为

精选课件若焦点在y轴上，设方程为∵椭圆过点P（3，0），∴ =1,又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为∴所求椭圆的方程为b=3.精选课件（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n).∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则 ①、②两式联立，解得∴所求椭圆方程为①②精选课件题型三椭圆的几何性质【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. （1）在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|·|PF2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；（2）利用 |PF1|·|PF2|sin60°可证.思维启迪精选课件（1）解设椭圆方程为|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.又mn≤（当且仅当m=n时取等号）,∴4a2-4c2≤3a2，∴≥，即e≥.又0＜e＜1,∴e的取值范围是精选课件（2）证明由（1）知mn=∴mnsin60°=即△PF1F2的面积只与短轴长有关.精选课件探究提高（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的关系.（2）对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式精选课件知能迁移3已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，∥.（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围.

解（1）∵F1（-c，0），则xM=-c，yM=，∴kOM=-.∵kAB=-，∥，∴-=-，∴b=c，故e=精选课件（2）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=，∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c，cos=当且仅当r1=r2时，cos=0,∴精选课件题型四直线与椭圆的位置关系【例4】（12分）椭圆C：的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆

C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.精选课件

（1）可根据椭圆定义来求椭圆方程；（2）方法一：设斜率为k，表示出直线方程,然后与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求解；方法二：设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差法）.思维启迪精选课件解（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. [2分]在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=， [4分]从而b2=a2-c2=4，所以椭圆C的方程为 [6分]解题示范精选课件（2）方法一设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1），从而可设直线l的方程为：y=k(x+2)+1, [8分]代入椭圆C的方程得：(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A，B关于点M对称，所以 [10分]所以直线l的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）[12分]精选课件方法二已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）， [8分]设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1≠x2, ① ②由①-②得： ③因为A，B关于点M对称，所以x1+x2=-4,y1+y2=2,精选课件代入③得即直线l的斜率为， [10分]所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）.[12分]精选课件探究提高（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离.

（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.（3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦的端点坐标,代入方程，用点差法求弦的斜率.注意求出方程后，通常要检验.精选课件知能迁移4若F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2.（1）求出这个椭圆的方程；（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使

⊥

（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由.精选课件解（1）依题意，得2a=4，2c=2,所以a=2,c=,∴b=∴椭圆的方程为（2）显然当直线的斜率不存在，即x=0时，不满足条件.设l的方程为y=kx+2,由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），由 消去y并整理，得精选课件（1+4k2）x2+16kx+12=0.∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)＞0,解得k2＞. ①x1+x2=-,x1x2=∵⊥,∴·=0，∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4精选课件∴k2=4.②由①②可知k=±2,所以，存在斜率k=±2的直线l符合题意.精选课件方法与技巧1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c,最小距离为a-c.2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通径.3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0＜e＜1).思想方法感悟提高精选课件4.从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点.5.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式Δ=0求斜率，也可设切点后求导数（斜率）.6.求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：（1）中心是否在原点，（2）对称轴是否为坐标轴.精选课件失误与防范1.求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简方程——椭圆的标准方程.2.求两曲线的交点坐标，只要把两曲线的方程联立求方程组的解,根据解可以判断位置关系，若方程组有解可求出交点坐标.3.注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单调区间、最值时有重要意义.4.判断椭圆标准方程的原则为：长轴、短轴所在直线为坐标轴，中心为坐标原点.精选课件5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与

y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，则焦点在x轴上，若x2的分母比y2的分母小，则焦点在y

轴上.6.注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.精选课件一、选择题1.（2008·上海春招，14）已知椭圆=1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A.4B.5C.7D.8解析椭圆焦点在y轴上，∴a2=m-2，b2=10-m.又c=2，∴m-2-（10-m）=22=4.∴m=8.定时检测D精选课件2.已知点M（，0）,椭圆=1与直线

y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为（）A.4B.8C.12D.16解析直线y=k(x+)过定点N(-,0),而M、N

恰为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8.B精选课件3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为（）A.1 B. C.2 D.2

解析设椭圆 ，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S=×2c×b=bc=1≤∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2，故选D.D精选课件4.（2009·浙江文，6）已知椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若

=2

，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.精选课件解析如图，由于BF⊥x轴，故xB=-c,yB=,设P（0,t）,∵=2，∴（-a,t）=2∴a=2c,∴e=答案

D精选课件5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A. B. C. D.

解析∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AF1|=|F1F2|，将x=-c代入椭圆方程从而即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1±,由e∈(0,1),得e=-1.C精选课件6.(2009·江西理,6)过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.解析由题意知点P的坐标为∵∠F1PF2=60°,∴即2ac=b2=(a2-c2).∴e2+2e-=0,∴e=或e=-(舍去).B精选课件二、填空题7.（2009·广东理，11）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为

.

解析设椭圆的长半轴为a，由2a=12知a=6,又e==,故c=3，∴b2=a2-c2=36-27=9.∴椭圆标准方程为精选课件8.设椭圆（m＞0,n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为

.解析抛物线y2=8x的焦点是（2,0）,∴椭圆

的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e=∴m=4,n2=12.从而椭圆的方程为精选课件9.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是

.解析由已知2bc=a2=b2+c2,∴b=c=设P（x0，y0），则x0=-c，|y0|=|PF1|.

精选课件三、解答题10.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点

P到两焦点的距离分别为，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B解（1）设椭圆的标准方程是或精选课件则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=.在方程中令x=±c得|y|=在方程中令y=±c得|x|=依题意并结合图形知=.∴b2=.即椭圆的标准方程为精选课件（2）设经过两点A（0，2），B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1，代入A、B得∴所求椭圆方程为x2+=1.精选课件11