数学模型 数学论文指导 初等模型分配问题

初等数学模型问题一：公平的席位分配问题公平的席位分配是人类社会中相当普遍的一类权益分配问题，这个问题来源于美国众议院议员在各州的名额分配问题。精选课件席位分配问题某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则表示某单位的席位数表示某单位的人数表示总人数表示总席位数1问题的提出精选课件20个席位的分配结果现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。10641064现象1

丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）精选课件为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。21个席位的分配结果1173现象2

总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？精选课件2建模分析目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。精选课件一般地，当席位分配公平精选课件但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。C,D的不公平程度大为改善！精选课件2）相对不公平表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。则A吃亏,或对A是不公平的。定义“相对不公平”对A的相对不公平值；同理，可定义对B的相对不公平值为：精选课件对B的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3建模模型1若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。不失一般性，有下面三种情形。精选课件情形1说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。情形2说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。计算对B的相对不公平值情形3说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。计算对A的相对不公平值精选课件则这一席位给A单位，否则给B单位。结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。精选课件记则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值方法。若A、B两方已占有席位数为4推广有m方分配席位的情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增加1席时，计算则1席应分给Q值最大的一方。从开始，即每方至少应得到以1席，（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）精选课件设有k个部门，每个部门的人数分别

为

,总人数N，待分配的席位为m，理想化的席位分配结果为,记

显然，若全为整数时，应有

当不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：模型2精选课件公理1、

，即

取

，其中

，

，

表示

的整数部分。公理2、，即总席位增加时，各个部门的席位数不会减少。公理1显然满足Young公理的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调性）和公理III（名额单调性）精选课件设总人数为n，总席位数为m，第个部门的人数为，令称其为对第个部门的绝对不公平值。令称其为对第个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。精选课件由于人口数是整数，为使分配公平，需所有的

越小越好，所以公平的分配方案应该是最大的

达到最小，亦即所有的达到最小。为方便起见，首先考虑只有两个部门的情况，并且

，

和

不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。记，即为的小数部分。精选课件 定理、满足公理1、2的分配方案为：(1)若

，且

，则取，（即“比例加惯例”的方法）。(2)若

，则取得结果同上.

(3)若

，则取精选课件按照定理，对三个部门，设全不为零（若有一个为零，实则按两个部门进行分配），可以做以下公平的分配精选课件当时；按比例取整后，多余的席位分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方法）。当时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一个部门，若多余两个席位，则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部分较大的部门。精选课件当时

；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一、二部门中小数部分较大的部门，若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。当时

；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一部门；若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。精选课件一般地，对个部门，设不全为零，且，则当时，将剩余的个席位分配给第一至第个部门，当时，将剩余的个席位分配给第一至第-1个部门及(较大的一个部门。精选课件X-表示相对尾数法分配结果，B-表示比例加惯例分配结果，Q-表示Q-值法分配结果，H-表示d’Hondt法（文[1]）分配结果精选课件5举例甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？按Q值方法：精选课件练习学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用惯例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各