几何证明概述

第二章几何证明

本章研究的主要内容：

一、几何证明及其方法二、几类常见几何问题的证明三、几个著名的几何定理1编辑课件§2.1几何证明概述2.2.1命题及其结构1、命题的四种形式（变化）★命题的构成前提（题设）……结论……命题可分为真命题与假命题★数学命题的一般形式（假言命题）若P，则Q.或符号“”表示推出.2编辑课件命题的换质——否命题★命题的换位★命题的四种形式——逆命题原命题：若P,则Q.逆命题：若P,则Q.逆否命题：若P,则Q.否命题：若P,则Q.(互逆)(互逆)互否互否互逆否3编辑课件命题的四种形式的真假关系：互为逆否的命题同真假2、逆命题与逆定理★逆命题就是逆定理吗？★一个定理的逆定理是唯一的吗？.如“等腰三角形顶角的平分线也是底边的中垂线”此命题有5个逆定理.4编辑课件①②③④5编辑课件⑤BADC6编辑课件3、充分条件、必要条件与充要条件分析如下命题：

(1)平行四边形对角线互相平分.(2)菱形对角线互相垂直.4、证明的意义★证明的含义和作用★证明的组成①论题——即要证明的问题②论据——即已知为真的命题③论证——即一系列的推理7编辑课件5、证明要严谨证明中常见的错误有：论题错误、论据不足、论证不充分等判断一个命题不成立，通常是找反例.例1有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形ADBC题设：四边形ABCD中,AD=BC,∠A=∠C.求证：ABCD是平行四边形.8编辑课件AFDEBC证明：如图做辅助线(证明略)思考：以上证明有问题吗？问题出在哪里？能举出反例吗？●EADBC●●如右下图所示，作等腰三角形DAE，在AB边上任取一点B，作等腰梯形BEDC.得四边形ABCD.显然四边形ABCD符合题目条件，但ABCD非平行四边形.9编辑课件例2设两个三角形有两边及外接圆半径成比例，则必相似.(前苏联中学教材中定理)ABCMNO证法一：在如图两三角形中有(O,

是外心)则同理可证：故10编辑课件证法二：如图，则因表圆半径)可见从而[证毕]思考：以上证明一定成立吗？可考虑的特例，即得：“同园内接两三角形，若有两边分别相等，则必全等”这显然不成立！(如下页图)11编辑课件例3一个三角形的两边和其中一边的高，同另一三角形的两边和其中一边的高对应相等，则此两个三角形全等.(这曾经是我国初中课本上的一道习题)证题思路如下图：12编辑课件作业：1．例3中的结论成立吗？如不成立试举出反例.2.写出命题“两直线夹角的平分线上一点距此两边等远”的逆命题、否命题及逆否命题，并证明其逆命题.3.证明：圆外切四边形的一双对边之和等于另一双对边之和.叙述并证明其逆定理.3题逆定理证明提示：(用反证法或同一法)13编辑课件2.1.2直接证法与间接证法

1.直接证法与间接证法的意义⑴直接证法这种由原题入手的证明方法叫直接证法.⑵间接证法将一个命题改为它的等效命题来进行证明，这样的证明方法叫间接正法.14编辑课件①反证法反证法就是证明一个命题时，直接证明不容易，而证明其逆否命题成的一种方法.运用反证法证明的一般步骤是：Ⅰ否定结论；Ⅱ由此结合已知推出矛盾；Ⅲ因此原结论不能为假，只能为真。15编辑课件反证法的类型：归谬法——结论的反面只有一款。穷举法——结论的反面有若干款。应用举例：例4园内不是直径的两弦，不能平分。已知：求证：证明：（用归谬法证）16编辑课件例5直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。已知：求证：证明：（用穷举法）17编辑课件②同一法

当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时候可以作出具有所示性质的图形，然后证明所作图形就是同一个，把它们等同起来。这种证法叫做同一法。能用同一法证明的命题，实际上是依据事实：具有所示性质的图形是唯一的。例5以正方形ABCD的一边CD为底向形内作等腰三角形ECD使其两底角为，则是等边三角形。18编辑课件证明方法直接证法间接正法反证法同一法归谬法穷举法（3）证明方法分类证明：（同一法）19编辑课件作业：1.两圆相交，则其交点不能在连心线的同侧.2.若与有公共底边，且，则点在外部.3.设梯形两腰之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点.4.以正方形一边为底在正方形所在的一侧作等腰三角形，使其顶角为，则将其顶点与正方形另两顶点连接，必构成正三角形.20编辑课件2.1.3分析法与综合法1.分析法

——执果索因DCBA…………(因)(果)向下找结论的充分条件21编辑课件例6外接于，则它们的对角线共点。证法一：（用分析法证）欲证它们对角线共点.只需证AC与EG互相平分.即只需证AECG是平行四边形.又只需证AE=CG.又只需证，而此容易得证.22编辑课件例7为的中线上任一点，且，求证：证明：(用分析法)欲证①只需证②(注意到与)只需证，③只需证，④④式显然成立.23编辑课件⑴选择性分析法

选择性分析法解题，就是从要求解的结论B出发，希望能一步步把问题转化，但又难以逆推转化，进而转化为分析要及到结论B需要什么样（充分）的条件，并为此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向择优。假设有条件C就有结论B，即C就是选择找到的使B成立的充分条件（CB）；同样的，再分析在什么样的条件下能选择及到C，即DC；…；最终追溯到此结论成立或命题的某一充分条件（或充分条件组）恰好是已知条件或已知结论A为止。在运用选择性分析法解题时，常使用短语：“只需···即可”来刻划。24编辑课件例8如图，四边形的一条对角线平行于两对对边之交点的连线，求证：平分.(1978年全国数学竞赛题)BMCNDEFA分析：欲证的是线段等量关系，可试运用比例线段转化来探讨，但又不易直接证（若作辅助线证又另当别论），从而运用分析法来求解.证明：设AC交BD于M，交EF于N，则.25编辑课件BMCNDEFA要证BM=MD,作方向猜测，只需证NE=NF或即可.事实上这不容易证，于是再作方向猜测，欲证BM=MD，只需证或即可.而,从而只需证即可.又只需证即可.26编辑课件而,故欲证结论获证.27编辑课件⑵可逆性分析法如果在从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都推求的充分必要条件，那么这种分析法又可叫可逆分析法。因而用可逆分析法命题用选择性分析法一定能证明；反之，用选择性分析法证明的命题，用可逆性分析法不一定能证明。在可逆性分析法的证明中，常用符号“”来表示，或最后指出“上述每步可逆，故命题成立”。28编辑课件例9凸四边形的四边长分别为，两对角线长为，则四边形的面积为：证明：欲证①，则需证①注意到计算四边形的另一形式的面积公式(由三角形面积公式推导而来)，两对角线夹角为时，，则需证29编辑课件即则需证再注意到余弦定理，如图有30编辑课件则上述步骤每步均可逆，故原结论获证.注：此例结论成为布瑞须赖尔德(Bretschneider，1808~1878)公式.31编辑课件⑶构作性分析法如果在从结论向已知条件追溯过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需采取相应的构作性措施：如假设一些条件，作某些辅助图或式等，再进行探索、推导，才能追溯到原命题的已知条件（或稍作变形处理）的分析法叫做构作性分析法。32编辑课件例10如图，是的中线，任意引直线交于，交于.求证：.分析：注意到题中有中点，而求证式是一个比较特殊的比例式.需要转化来求解.证法一：欲证，只需证即可.若延长AD至H，使，则只需证EF∥BH.33编辑课件而由题设，D为BC中点，则BHCE为平行四边形，即有EF∥BH.故原命题获证.证法二：欲证，只需证即可.若取FB的中点G，则只需证EF∥DG即可.而由题设，D为BC中点，即DG为⊿BCF的中位线，即有EF∥DG.故原命题获证.34编辑课件abcdefABCDEF例11如图，设凸四边形ABCD的边长分别为a,b,c,d，两对角线长分别为e,f.求证：证明：(留作研究题目)注：(1)此例是布瑞须赖尔德发现的“四边形余弦定理”.

(2)由此例可得托勒密(Ptolemy)定理：四边形中，，并且等号当且仅当四边形内接于圆时成立.35编辑课件⑷设想型分析法(合情推理)在向已知条件的追溯过程中，借助于有根据的设想、假定，形成“言之成理”的心构思，再进行“持之有据”的验证逐步地找出正确途径的分析法又称为设想型分析法.在求解一些关于位置关系、轨迹、作图等问题时，常采用这种方法.例12在已知锐角三角形的三边上各找一点，使以三点为顶点的三角形周长最小.例13已知两边求作三角形，使这两边上的中线互相垂直.以上两例在学习合情推理时再讨论.36编辑课件例14如图，在⊿ABC中，AB＝AC，求在此三角形内部且到底边的距离等于两腰的距离的几何平均值的点的轨迹.ABCEFHM37编辑课件2.综合法——由因导果ABCD…………(果)(因)向下推38编辑课件深入发掘题设内涵，充分运用已知条件是熟练地运用综合法解题的关键.例15外接于，则它们的对角线共点。证法二：（用综合法证）把分析法与综合法结合起来，在分析中有综合法，在综合法中有分析法或交叉使用去论证，求解命题的思维方法叫做分析综合法。它通常是从一个例题的两点向中间“挤”，这样，容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果。39编辑课件作业：(用综合法或分析法证明下列各题)1．中，在上任取一点E，在AB的延长线上取一点D，使BD=EC.证明BC平分DE.2．证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为常量.3．证明等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差为常量.4．证明等边三角形内部任意一点到三边的距离之和为常量.(又若此点去在取在三角形外，命题将如何变化？)40编辑课件2.1.4演绎法与归纳法1.什么是推理？推理是从一个或几个判断得出一个新的判断的思维形式.★推理与证明的区别与联系★最常见的三类推理:归纳推理;演绎推理;类比推理.在几何中还常用到合情推理.2.归纳推理★归纳推理是从特殊到一般的思维方法(归纳法).41编辑课件归纳推理完全归纳枚举法(对象有限)数学归纳法(对象无限)不完全归纳法★★枚举法举例例16证明在圆内同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍.证明(略)：(分三种情况进行枚举归纳，即圆心在圆周角的一条边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外)(作出图形进行分析说明)42编辑课件★数学归纳法举例例17圆上一点至内接偶数多边形相间各边距离之积,等于该点至其余各边的距离之积.已知：是圆内接边形,圆上一点P到各个边所在直线……的距离依次记为.求证：=43编辑课件证明：(1)当n=2时，即可述为如下命题：从圆上一点到内接四边形ABCD各边做垂线PE、PF、PG、PH,则.(如图)易证,从而易得.即当n=2时命题成立.PP44编辑课件(2)设定理对于n成立,证明它对于n+1也成立.如图,由归纳假设对于2n边形有=.而对于四边形有.两式相乘约去因子p.即得求证.故,对取任意自然数命题都成立.Pp45编辑课件★不完全归纳举例例18凸n边形内角和为.3.演绎推理★演绎推理是从一般到特殊的思维方法.★演绎推理中最常见的形式是三段论三段论由三个部分组成:大前提(全称判断),小前提(特殊判断),结论(最后的判断).例如：凡矩形对角线相等，(大前提)

正方形是矩形,(小前提)

所以,正方形对角线相等.(结论)46编辑课件三段论式推理可以用公式表示为：所有的M都是B（大前提）S是M（小前提）故S是M（结论）★数学证明中演绎推理举例数学中的三段论,为了叙述简便,常常略去一个前提(多半是大前提),有时甚至略去小前提只写出结论.例19(如图)D是线段BC的中点,过D引射线,A是射线上任一点.求证:∠ACB,∠ABC的大小顺序不变,与A的位置无关.(以下对证明过程进行剖析)47编辑课件证明：不妨设∠ACB

＞∠ABC,在射线DA上任意取一,即需证明.因为∠ACB＞∠ABC所以,AB＞AC(三角形中大角对大边)则∠ADB＞∠ADC(两三角形若有两边对应相等,则第三边大者对角也大)因而（两三角形若有两边对应相等,则夹角大者对边也大)则（三角形大边对大角）48编辑课件4．类比推理★什么是类比推理?根据两个对象在某些属性上的相同而得出这两个对象在其他属性上也可能相同的结论.如对象A有属性a、b、c、d,对象B有属性a、b、c,那么就可以得出对象B也有属性d这一结论.类比推理是一中或然性的推理,它只能给人们提供线索、启发人们思考和发现问题,结论是否正确,还必须借助其他方法验证.49编辑课件★类比推理举例例20在直角三角形中,有勾股定理.相应的,取空间中这样的四面体:它的三个面是直角三角形,把这四面体的这三个面看成直角三角形的直角边,而把第四面看作斜边.又把这四面体的面积看作直角三角形相应的各边长.于是猜想命题”……那三面的面积的和等于第四面的平方”该问题留给同学们自己研究.50编辑课件5.合情推理★什么是合情推理?

★论证推理与合情推理的关系

★几何问题中的合情推理——猜想例21过O外两点P、Q，作一圆与此圆相切。51编辑课件分析：首先设想圆已经作出……作法：（略）证明：（略）52编辑课件例22由等边三角形内任一点，向三边作垂线，则三垂线段长之和为定值。分析：（如图，略）证明：（略）53编辑课件作业：1．三角形两边之积等于第三边上的高于外接圆之积.(运用此结论可以证明例20而不用数学归纳法)用普通归纳法证明2-3题

2.设圆O与O’交于P、Q两点，过Q任作一直线交圆于A、B，则∠APB＝∠OPO’.3.在⊿ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点，求证.

用数学归纳法证明4-5题4．圆内接偶数多边形相间各角之和等于其余各角之和.54编辑课件5.从一点M作多边形A1A2、A2A3、…、AnA1的垂线MH1、MH2、…、MHn，则.6.证明：从圆上一点到其内接四边形一双对边的距离之积，等于从该店到两条对角线的距离之积.7.设A、B、C、D为直线上顺次四点，证明欧拉定理：.若使用有向线段，则不论四点顺序如何，上式总成立.8.已知两边求作三角形，使这两边上的中线互相垂直.55编辑课件9.在中，，求在此三角形内部且到底边的距离等于两腰的距离的几何平均值的点的轨迹.56编辑课件2.1.5几何证明的其他方法——面积法、代数法、三角法、解析法、复数法、向量法等1.面积法★面积法解题的基本依据(1)几个面积公式设在⊿ABC中，角A、B、C所对的边依次为a、b、c，ha为a边上的高，R为外接圆的半径，r为内切圆的半径，p为三边之长的一半，S⊿ABC表示⊿ABC的面积，则有①②

57编辑课件③

④

⑤

⑥设凸四边形ABCD的边长为a、b、c、d，两对角线长为e、f，两对角线夹角为，表示四边形ABCD的面积，则有⑦⑧

58编辑课件若记为一双对角和，则⑨⑩

⑩

(2)几个常用的等积变形定理①面积分割原理：一个图形的面积等于它的各个部分面积之和；②两个全等形的面积相等；③等底（含同底）等高的两个三角形面积相等；反之若两三角形等高（或等底）且等积，则它们等底（或等高）；59编辑课件④等积平行定理：；且点在BC的同侧∥.①相似图形的面积比等于其相似比的平方；②两个同（等）底的三角形（平行四边形）的面积比等于这边上对应高的比；③两个同（等）高的三角形（平行四边形）的面积比等于它们底边的比；

(3)几个常用的面积比定理60编辑课件④夹在两条平线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果截得两条线段之比总等于一个常数，那么这两个平面图形的面积之比为；

⑤共边比例定理：若与的公共边所在的直线与直线PQ交于M，则

；

⑥共角比例定理：若在与中，或，则

；

61编辑课件⑦内接于同一圆的两个三角形的面积比等于三边乘积的比.(4)几个重要结论①三角形的三条中线将该三角形分成等面积的六个小三角形.②平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个小三角形.③平行四边形一边上任一点与对边两端点的连线将该平行四边形分成等积的两部分.④平行四边形内任一点与四顶点的连线将其分成四个三角形，则对顶的两个三角形面积之和相等.⑤任意凸四边形两对角线将该四边形分成四个三角形，对顶的两三角形面积之积相等.62编辑课件★面积法解题举例例23用面积法证明勾股定理.BACDEFGHI63编辑课件ABCPDEF

例24设P是⊿ABC的∠A平分线上的任意一点，过C引CE∥PB交AB延长线于E，过B引BF∥PC交AC的延长线于F，求证：BE＝CF.64编辑课件

2.代数法

例25在同底的一切周长相等的三角形中，面积最大的是哪一种三角形？

证明：(可用代数法证)借助于代数式的计算而获得几何命题的证明方法叫做代数法.

用代数法证几何题，关键是把图形性质的研究转化为对其数量关系的讨论.也就是说，把几何问题代数化.65编辑课件例26已知正方形ABCD，在BC边上任取一点E，过E作AE的垂线交角C的外角平分线于F.求证：AE=EF.

3.三角法

利用图形已有的三角形(或添加辅助线，出现三角形)和题中给出的某些线段和角的特定关系，通过构成三角函数式，结合三角知识通过三角运算，从而使命题获证的方法称为三角法.它是几何证明中的一种常用方法.证明一：(纯几何法)66编辑课件

证明二：(三角法)67编辑课件例27证明三：(用解析法证)4.解析法

解析法也称坐标法，就是把平面几何图形通过建立直角坐标系，把平面上的点和直线与数或方程对应，化为代数式或方程，通过代数运算或解方程达到论证的目的.解析法的关键是恰当选择坐标系，此外还要熟练掌握和善于使用解析几何有关公式、定理.68编辑课件

5.向量法

在几何学中，把几何图形看作点的集合，而平面上的点、线段、可表示为向量.因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合.这样，平面几何中涉及的度量关系和位置关系，都可以表示为某种向量代数的运算.这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法称为向量法.

向量法具有书写简便，便于运算等优点.但往往难点在于选择媒介向量，在解题时，要善于把条件与结论的关系或中间向量联系起来，沟通已知与未知的联系.69编辑课件

例28证明三角形重心定理AGEDCB

[分析]如图，D,E是⊿ABC边AC,AB的中点，BD,CE交于G.

易知70编辑课件

6.复数法复数x+yi(x,y为实数)与复平面上的点可以建立一一对应关系.把几何图形的点看作对应于复平面的复数，借助于复数的运算，获得几何命题证明的方法称为复数法.

用复数法证明几何题，首先将题目给出的已知条件“翻译”成复数的若干关系式，然后经过一系列的复数运算，得出一批新的关系式，最后把它们再“翻译”所需要的几何结论.几何条件复数关系新的复数关系几何结论转化几何推理复数运算转化71编辑课件

例29如图，在矩形OABC中，MN＝OA，AN＝1，AB＝5，OD＝DE

＝EA

＝

.求证：ODEANMCB123

用复数法证几何题，其关键是如何把几何问题转化为相应的复数问题.为此，首先要掌握复数及其