矩形折叠问题

关于矩形折叠问题第一页，共三十八页，2022年，8月28日一、什么是折叠二、与折叠有关的问题第二页，共三十八页，2022年，8月28日一.

折叠的意义1．折叠就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠.显然，“折”是过程，“叠”是结果;

第三页，共三十八页，2022年，8月28日ABOBَl图1如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OBˊ是OB在折叠前的位置；

OBˊ=OB；

第四页，共三十八页，2022年，8月28日

图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△ABC是△ABˊC在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形EAC；

△ABˊC≌△ABCAB´DB图2CE第五页，共三十八页，2022年，8月28日2.

图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形;3.图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称.第六页，共三十八页，2022年，8月28日二、和折叠有关的问题第七页，共三十八页，2022年，8月28日问题1.如图，将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察折叠后重叠部分三角形AEFFEAˊ

a这是一个什么三角形?第八页，共三十八页，2022年，8月28日FEAˊ

a

三角形AEF是等腰三角形123证明（方法一）∵图形在折叠前和折叠后是全等的,

∴∠1=∠2,又∵矩形的对边是平行的,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴

AE=AF

∴三角形AEF是等腰三角形第九页，共三十八页，2022年，8月28日FEAˊ

a∴

三角形AEF是等腰三角形证明：（方法二）∵图形在折叠前和折叠后的形状、大小不变，只是位置不同。∴表示矩形宽度的线段EP和FQ相等,即∆AEF的边

AE和AF上的高相等，∴AE=AFPQ第十页，共三十八页，2022年，8月28日思考题：改变折叠的角度α的大小，三角形AEF的面积是否会改变？为什么?

αAˊEFα的改变影响了AE的长度，但却不能改变边AE上的高，三角形AEF的面积会随着α的确定而确定.第十一页，共三十八页，2022年，8月28日例1.如图，标出点A在折叠前对应的位置A,问:四边形AEAF是什么四边形?

证明你的发现.答:四边形AEAF是菱形.

FEAˊA第十二页，共三十八页，2022年，8月28日1、矩形折叠给我们带来哪些信息？2、证明四边形是菱形通常有哪些方法？第十三页，共三十八页，2022年，8月28日FEAˊA∵

A是A在折叠前对应的位置,∴A和A关于直线EF轴对称

,∴AA⊥EF,且AO=AO,又∵AE∥AF,∴EO∶OF=AO∶OA,

∴EO=OF，∴AA与EF互相垂直平分O证明:（方法一）∴四边形AEAF是菱形.第十四页，共三十八页，2022年，8月28日

A是A在折叠前对应的位置,∴∆AEF≌∆AEF,AE=AE,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形,AE=AF（已证）,∴AE=AF=AE=AF,

∴四边形AEAF是菱形.

(方法二)证明:FEAˊA第十五页，共三十八页，2022年，8月28日例2在前面的思考题中,若翻折的角度α=30º,a=2.求四边形AEAF的面积.A

FEA30º30º30º30ºQ2S四边形AEAF=a分析：图中被覆盖的部分△AˊEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰AˊF(AˊE)的长。

第十六页，共三十八页，2022年，8月28日例3：如图,将矩形ABCD折叠,使B点落在MN上,落点为P.已知M、N分别为CD、AB的中点,且AB=,求折痕AE的长.分析:AE是直角三角形ABE的斜边，解决本题的关键是求PE(或BE)的长P第十七页，共三十八页，2022年，8月28日解法一∵

M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，P∴MN∥AD∥BC∴MN⊥AN且AN是AB的一半

又AP=AB.

∴AN是AP的一半∴∠PAN=60°,∠PAE=∠BAE=30°∴AEcos30°=,∴AE=2.

第十八页，共三十八页，2022年，8月28日解法二：延长EP交AD与F则FE=FA(已证)F231P∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC∴EP∶PF=BN∶NA=1∶1，又∠APE=∠B=90⁰,∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30⁰,∴AE=2.∵AP=第十九页，共三十八页，2022年，8月28日解法二：连结PB,F231P∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC∴PN垂直平分AB，∴PB=PA,又PA=BA，∴PA=BA=AB.∴∠2+∠3=60⁰,∴∠2=∠3=30⁰,∴AE=2.∵AP=第二十页，共三十八页，2022年，8月28日解法三：F231PO又FE=FA(问题1的结论)∴AE=AF=EF∴∠EAF=60°,∠1=∠2=30°,∠3=30°∴AE=2.

由BC//MN//DA且M、N分别为CD和AB的中点可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又∠EPF=90°

∴PO=AE，∴AE=AF，第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日xF例4

在例3中,若M、N分别为CD、AB的三等份点,AB=,求PE和AE的长.

P

A

C

B

D

EMN分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出EB(或EP)的长

第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日x2x3xF

P

A

C

B

D

EMN解：延长EP交AD于F,则FE=FA(已证)∵M、N分别是矩形的边AB和CD的三等分点，∴MN∥AD∥BC,∴EP∶PF=BN∶NA=1∶2,设EP=x,则PF=2x,AF=EF=3x,在Rt∆APF中有AP²+PF²=AF²,∴5+(2x)²=(3x)²,∴x=1,PE=1∴AE²=1+5=6∴AE=,第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日思考题：如上题中M、N为四等分或五等分点，其它条件不变你还能求出折痕的长吗？第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日

例5如图：将正方形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN上（图中的P）,若AB=3,(1)求PM的长；(2)以PE为边长的正方形的面积.分析：将本题与例题3比较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的关键是求PE和PN的长。

EDCNMBAP33第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日EDCNMBAP解:(1)M、N分别是正方形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC,∴MN⊥AN且AN=AB又AP=AB.∴AN=AP∴∠APN=30°,PN=AN=∴PM=3-(2)∵∠APN=30°,∴∠PAN=60°

∠EAB=∠EAP=30°,∴EP=BE=,∴以EP为边长的正方形的面积为3.第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日

例6

如图，将矩形ABCD折叠，使C点落在边AB上，（如图所示），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD的面积。分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形的边AB上，ΔACN和ΔAMN是全等的，所以，求四边形CNMD的面积可以转化为求ΔDCN或ΔDMN的面积，所以本题的解题关键还是求出NC(或BN)的长.

第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2.设NC=x,则MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=S四边形CNMD=2S△DCN==第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日解法二：由折叠的意义可知∠

DMN=∠C=90°∠DMA+∠NMB=90°∠A=∠C=90°,∴∆DMA∽ΔMNB，∴

6∶8=2∶(6-x),∴x=S四边形CNMD=2S△DCN==第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日例7:

将长为8，宽为6的矩形ABCD折叠,使B、D重合，1.求折痕EF的长。2.求∆DEF的面积。EF分析：由矩形折叠的意义可知，EF垂直平分BD（O为BD的中点),由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1,∴O为EF的中点，所以可设法先求出EO的长，或直接求EF的长,进而求∆DEF面积。

O第三十页，共三十八页，2022年，8月28日解（法一）：∵D、B关于EF成轴对称∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10

∴DO=5,又AB//DC,∴EO:OF=DO:OB=1:1,(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=,∴EF=(2)S△DEF=EF·DO=××5=

ABCDQPEFO第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日EFOP解法二：(1)过C作CP//EF，交AB于P,∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴,∴EF=(2)S△DEF=EF·DO=××5=

第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日EFOP设BF=x则FD=DE=x，AF=8-x,在Rt△ADF中，

AF2=AD2+DF2

∴(8-x)2+62=x2

∴x=(2)S△DEF=××6=

EF·DO=2×∴EF=解法三：又DO=5且EF·DO=ED·AD第三十三页，共三十八页，2022年，8月28日一、什么是折叠二、与折叠有关的问题小结：第三十四页，共三十八页，2022年，8月28日一、折叠的意义图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称

ABOBَl图1AB´DB图2第三十五页，共三十八页，2022年，8月28日