第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件_第1页
第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件_第2页
第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件_第3页
第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件_第4页
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第二节相似矩阵和矩阵对角化的条件一．相似的定义设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B．记作

（A等价于B：）则因为存在可逆矩阵使得则因为存在可逆矩阵使得即对于可逆矩阵设则对于可逆矩阵设则注

１．一般来说,与n阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个．因为对于任意的n阶可逆矩阵都有不同，则可能不同，但都有．2．与数量矩阵相似的矩阵只有它自身．1．反身性：2．对称性：3．传递性：二．相似的性质4．若则５．若则与的特征值相同7．若则6．若则与的迹相同可逆可以表示成一些初等矩阵的乘积即8.若则由性质5可知：

若两对角阵相似，则两对角线上的元素，不计次序外，完全相同．三.矩阵可对角化的条件条件1(充要条件）：证明：必要性显然，且线性无关．A有n个线性无关的特征向量．是A的特征值，是A的属于的特征向量．又线性无关充分性设Ａ有n个线性无关的特征向量：它们所对应的特征值依次为：则有由于线性无关，故Ｐ可逆．于是，若A有n个线性无关的特征向量,则A与对角阵相似，且其中，是Ａ的n个特征向量，是Ａ的属于的特征向量．判断矩阵是否和对角矩阵相似判断矩阵是否和对角矩阵相似．若相似，求出可逆矩阵，使得当时，令得基础解系令得基础解系当时，故Ａ不与对角阵相似．

共２个,２<４，

n阶矩阵相似于对角阵的充分条件：若n阶矩阵A的n个特征值互不相同，则A一定相似于一个对角阵．n阶矩阵相似于对角阵的充要条件２：对于每一个重特征值，矩阵的秩为即对于每一个特征值，都有：则Ａ相似于对角阵．的重数

判断矩阵是否和对角矩阵相似．的重数

判断矩阵是否和对角矩阵相似．n阶矩阵相似于对角阵的充要条件２：属于特征值的特征向量就是齐次线性方程组的非零解

而的基础解系中解向量的个数为对于每一个重特征值，矩阵的秩为即特征值的重数等于它所对应的线性无关的特征向量的个数．而特征值的重数之和为ｎ，所以线性无关的特征向量的总个数也是ｎ．因此，Ａ和对角阵相似．１.n阶若当块：３阶若当块４阶若当块１阶若当块由若干个若当块构成的分块对角阵矩阵有两个特征值并且仅有两个线性无关的特征向量

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