高考数学总复习第61讲数系扩充与复数

高考数学总61数系的扩充与复劳动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4,等数以及表示“没有”的数0。自然数的全体构成自然数集N。有相反意义的量以及满足记数的需要人们又引进了负数这样就把数集扩充到有理数集Q显然 Q Q、 ⑴i21i可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘法运算律不变。Ⅱ、-1的平方根：由于i2i)21，因此1的平方根为i。Ⅲ、i的周期性：i4n1i4n1ii4n21i4n3i，其中nN实部，b叫复数的虚部。当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。即abi与abi是互如果两个复数abicdiabcdR相等的充分必要条件是：它们的实部相等，且虚部相等ac即bda,ba,b复数a实数b0a非纯虚数非纯虚数a虚数b纯虚数az1abiz2cdia,b,c,dRz1z2abicdiacbd)i。z1z2z2z1z1z2z3z1z2z3z1abiz2cdia,b,c,dRz1z2abicdiacbdi。z1abiz2cdia,b,c,dRabicdiacbdbcad)i⑵两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并。z1z2z2z1z1z2z3z1z2)z3z1z2z3z1z2z1z3设复数abia，bR，除以cdic，dRxyi(x，yR，即abic

xyi(xyi)(cdi)(cxdy)(dxcy)i(cxdy)(dxcy)iabicxdy由复数相等定义可得dxcyxacbd解这个方程组，得y

c2dbcadc2dac bc于是(abi)(cdi) ic2d c2dc

a (abi)(cdi acbi(di)(bcad∴(abi)(cdi) c (cdi)(cdi c2d(acbd)(bcad ac bc c2d

c2d

c2d2i 设点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabia,bR可用点Za,b表示，称建立虚轴上除原点外的点都表示纯虚数。因为原点对应的有序实数对为0,0 它所确定的复数z00i0Za,b一一对应平面向量OZ。zabi一一对应平面向量OZ。z1abiz2cdia,b,c,dR，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，则OZ1OZ2的坐标形式为OZ1ab、OZ2c,d如图，以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ。OZOZ1 a,bc,dac,bd∴向量OZ对应的复数zacbdi。Ⅳ、复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算z1abiz2cdiabcdRzacbdizz1z2z1z2z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形OZ1ZZ2，那么这个平行四边形OZ1ZZ2的另一边OZ2所表示的向量OZ2z2对应，即与复数zz1z2cdi对应。由于OZ2Z1Zzz1与连接这两个

m23m 案例1：复数z mm3

m6i，当实数m为何值时？（1）z为实数；（2）z （3a限当且仅当b0

ab b （3）m23m m5m解：z m2m6i m3m2im mz为实数，当且仅当m20，即m2。所以当m2时，z为实数。z为虚数，当且仅当m3m20，即m3且m2。所以当m3且m2z为虚数。m5m2z为纯虚数，当且仅当

m 即m5m3m2所以当m5zm5m2复数z对应的点落在第二象限，当且仅当

mm5或3m即m3或m2 解得m5

m3m2

1,z22z1zzzxyixyR

1x2y21z22z1zz1

3iz1 zxyixyRz1x2y21z22z0xyi22xyi 0 x。x2y23x2x1yi02x1y。x2y23xx2x1y x 由 解得

或 x2y2

y

y x x 由xy3x0验得y0或 y 31 i31 （ 分析：利用实系数一元二次方程的根的判别式分类解决，即00，方程有相等实根； 答案：m的值分别为m ，m ，m xx26x2m0的判别式为628m492m∴方程有两个不等实根，当且仅当0，即m92方程有两个相等实根，当且仅当0，即m929方程有两个虚根，当且仅当0，m 2 所以当m 时，方程有两个不等实根；当m 时，方程有相等实根；当m （2）xx2m2ix2mi0有实根，求这个根及实数m的值。分析：由于x是实数，利用复数相等列关于x、m的方程组，解之即可。22答案：x 2,m2 或x2,m2 解：设x是方程的一个实根，且m是实数，则22x2m2ix2mix2mx22xmi02x2mx22当且仅当2xm ，解得x ，相应的实数m值为m∓22案例4：（1）投掷两颗 ，得到其向上的点数分别为m和n，则复数mninmi为实数的概 A D 分析：复数mninmi为实数，当且仅当复数的虚部为0，求得这事件所含的基本事件个数，mninmi2mnn2m2)in2m20，即mn1、2、、66种可能。由古典概率的计算公式，所以复数mninmi为实数的概率P C1C

1。故选C6

1时，y的取值范围是 x 3

3 B.3,33 C.3,0∪0,3 D.3,0∪0,3 y分析：z1表示以2，0为圆心，1为半径的圆，表示表示原点O0,0与圆上Px,y的斜yx答案：A。

x

1x22y21如图y表示原点O0,0与圆x22y21Px,y的斜x tanxOA，即 x3 33

x3,3。A 5zzz2iz3aiaRz在复平面内对应的点在第二象限，求a的的充要条件，把问题转化为a2关于yy0的二次函数，利用二次函数的单调性求a的取值范围23,0zxyix0y0∵