第4章弯曲内力

第4章弯曲内力§4.1概述

一、弯曲变形

在垂直于杆件轴线的外力作用下，使原为直线的轴线成为曲线。这种变形称为弯曲。

二、以弯曲变形为主的杆件称为梁。

4.1.1平面弯曲的概念

三、

当所有的外力都作用在纵向对称面内时，梁变形后的轴线弯曲成在此对称面内的一条平面曲线

4.1.2梁的计算简图

§4.1概述一、梁所受到的约束可简化为以下三种形式：

(1)可动铰支座

(2)固定铰支座

(3)固定端

§4.1概述二、梁的计算简图

(1)梁的两端支承在墙上，上面放一重物

(2)机车轮轴

(3)卡盘夹紧的车削工件

4.1.3静定梁的基本形式

§4.1概述根据约束的不同，静定梁的基本形式有三种。

(1)简支梁

(2)外伸梁

(3)悬臂梁

一端为固定铰支，另一端为可动铰支的梁

简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁

一端固定，另一端自由的梁

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图

1.剪力和弯矩的求法

计算截面n-n上的内力

4.2.1梁横截面上的内力-剪力与弯矩

内力FS称为剪力

内力偶矩M称为弯矩

截面n-n的形心C列力矩平衡方程

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图结论

(1)梁任意横截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧(左侧或右侧)所有横向外力的代数和。

(2)梁任意横截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数和。

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图2.剪力和弯矩正负号的规定正负作如下规定

(1)使梁微段发生“左上右下”错动的剪力为正，反之为负；

(2)使梁微段发生“上凹下凸”变形的弯矩为正，反之为负。

这两个规定可归纳为：

剪力—顺钟向为正，弯矩—向上弯为正。

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图计算剪力与弯矩的步骤为：

(1)在需求内力的横截面处将梁截开，并任选一部分作为隔离体；(2)画出隔离体的受力图，并注意按正的方向和转向假设截面上的未知剪力和弯矩；

(3)由隔离体的平衡方程计算剪力FS；

(4)由力矩平衡方程计算弯矩M，式中C为截开截面的形心。§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图例4-1试求图4-8a所示外伸梁指定截面1-1、2-2、3-3和4-4上的剪力和弯矩。

解(1)求约束力

研究整体的平衡

铰支座A处的水平约束力为零。

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图(2)计算指定截面上的内力

截面1-1

截面2-2

截面3-3

截面4-4§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图总结：

a)在集中力偶两侧相邻截面上，剪力不变，而弯矩发生突变，突变值等于集中力偶之矩。

b)在集中力FBy两侧相邻截面上，剪力发生突变，且突变值等于集中力的数值，但弯矩保持不变。

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图一、剪力方程和弯矩方程

以x表示横截面在梁轴线上的位置，各截面上的剪力和弯矩可表示为x的函数。二、剪力图和弯矩图

4.2.2梁横截面上的内力-剪力与弯矩

根据剪力方程和弯矩方程，画出剪力和弯矩随截面位置变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图例4-2图4-9a所示简支梁受集中载荷F作用。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

解(1)计算约束力

由静力平衡方程可求得约束力为

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图(2)建立剪力方程和弯矩方程

AC段CB段

(3)画剪力图和弯矩图§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图例4-3受均布载荷作用的简支梁如图4-10a所示，试建立剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解(1)求约束力

利用载荷及支座铅垂方向约束的对称性可得

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图(2)建立剪力方程和弯矩方程

剪力图是一条斜直线

弯矩图是一条二次曲线

(3)画剪力图和弯矩图§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图例4-4悬臂梁受力如图4-11a所示，试建立剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

解(1)建立剪力方程和弯矩方程

AC段

CB段

§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图剪力图：(2)画剪力图和弯矩图AC段为水平线CB段为斜直线弯矩图：AC段为斜直线

CB段为二次抛物线

FS(a)=qa

FS(2a)=0M(0)=-qa2/2，M(a)=qa2/2

M(a)=-qa2/2M(2a)=0M(3a/2)=-qa2/8§4.2剪力与弯矩剪力图与弯矩图例4-5外伸梁受力如图4-12a所示。试作剪力图和弯矩图。解(1)求支座约束力

(2)建立剪力方程和弯矩方程

CA段AB段

(3)画剪力图和弯矩图

§4.3弯矩、剪力与分布载荷集度间的微分关系

研究长度为dx的微段考虑微段的平衡

剪力对截面位置坐标x的一阶导数等于该截面处分布载荷的集度q(x)

一、剪力和分布集度的关系

弯矩对截面位置坐标x的一阶导数等于同一截面上的剪力FS(x)。

二、剪力和弯矩的关系

§4.3弯矩、剪力与分布载荷集度间的微分关系三、弯矩和分布载荷集度的关系

弯矩对截面位置坐标x的二阶导数等于同一截面处的分布载荷集度q(x)。(1)若梁上某一段内无分布载荷作用，q(x)=0四、绘制剪力图和弯矩图的一般性规律

§4.3弯矩、剪力与分布载荷集度间的微分关系剪力图为水平线若FS>0，M图的斜率为正，该直线向右上方倾斜；若FS<0，M图的斜率为负，直线向右下方倾斜。FS(x)为常数弯矩图为斜直线M(x)是x的一次函数。(2)梁上某段受均布载荷作用，即q(x)为常数

§4.3弯矩、剪力与分布载荷集度间的微分关系剪力图为斜直线

若q>0（即q向上），FS图为向右上方倾斜的直线，M图为下凸的抛物线。

若q<0（即q向下），FS图为向右下方倾斜的直线，M图为上凸的抛物线。

FS(x)为x的一次函数

弯矩图为二次抛物线M(x)是x的二次函数。(3)对应于FS(x)=0的截面，弯矩取极值。

§4.3弯矩、剪力与分布载荷集度间的微分关系(5)在集中力偶作用的截面处，弯矩图发生突变，且突变值等于该集中力偶值；而剪力图由于弯矩图的斜率不变而保持连续。(6)在梁的端部，若无集中力偶作用，则弯矩一定为零。(4)在集中力作用的截面处，剪力图发生突变，且突变值等于该集中力的数值；弯矩图则由于在该处的斜率产生突变而出现尖角。§4.3弯矩、剪力与分布载荷集度间的微分关系例4-6外伸梁受力如图4-14a所示。利用M、FS、q间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。

解(1)求支座约束力

(2)作剪力图

各控制截面上的剪力

弯矩取极值的截面

§4.4刚架的内力图

由多根杆件组成的框架结构。杆与杆的交点称为节点。若各杆在节点处不发生相对转动，则称这样的节点为刚节点。

一、刚架

由刚节点将位于一个平面内的多根杆件连接成的平面框架称为平面刚架。所有未知约束力