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文档简介

6.4.2

第二型曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算一、问题的提出实例:

变力沿曲线所作的功常力所作的功1.分割:2.取近似：其中分别是曲线段在x

轴与y轴上的投影（此投影不一定是非负的）于是插入分点3求和4取极限近似值精确值上述和式的极限，就是如下两个和式的极限与二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.对坐标的曲线积分不考虑奇偶对称性

三、对坐标的曲线积分的计算（描述代人法）（参数方程）定理特殊情形对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，其要点是：

(1)

因为p(x,y)、q(x,y)定义在曲线l

上，所以x、y应分别换为x(t)、y(t)；

(2)dx、dy是有向小曲线段在坐标轴上的投影，dx=

x(t)dt、dy=

y(t)dt

；

(3)

起点a

对应的参数t=a是对t积分的下限，终点b

对应的参数t=

是对t积分的上限.例1解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.例4计算第二型曲线积分

解==例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程四、两类曲线积分间的联系则dx=ds.cos(t,x),记(t,x)(t,y)分别表示切线向量与

x轴

y

轴正向的夹角.于是由示意图可知dy=ds.sin(t,x)=ds.cos(t,y),yxoabdydxdst类似地,在空间曲线

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