《合情推理与演绎推理》试卷市赛获奖 省赛一等奖

《合情推理与演绎推理》试卷一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是()A．① B．②C．③ D．①和②解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.答案：B2．(2022河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①②正确，③错误，因为两个复数如果不是实数，不能比较大小．故选C.答案：C3．(2022上海闸北二模)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1 B．2nC．eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)个区域，选C.答案：C4．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么如图中(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→—，D→，从而可知图(a)对应B*D，图(b)对应A*C.故选B.答案：B5．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解析：依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n组整数对的和为n＋1，且有n个整数对．这样前n组一共有eq\f(nn＋1,2)个整数对．注意到eq\f(1010＋1,2)<60<eq\f(1111＋1,2).因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．故选B.答案：B6．对于a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2eq\r(ab)(大前提)，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))(小前提)，所以x＋eq\f(1,x)≥2(结论)．以上推理过程中的错误为()A．小前提 B．大前提C．结论 D．无错误解析：大前提是a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2eq\r(ab)，要求a、b都是正数；x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))是小前提，没写出x的取值范围，因此本题中的小前提有错误．故选A.答案：A二、填空题7．(2022山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1，a2满足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，则a1＋a2≤eq\r(2)”的证明过程：证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).根据上述证明方法，若n个正实数满足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)解析：由题意可构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，因对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，即a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n).答案：a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n)8．(2022山东莱芜模拟)容易计算2×5＝10,22×55＝1210,222×555＝123210,2222×5555＝12343210.根据此规律猜想22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为________．解析：由2×5,22×55,222×555的结果可知22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))的结果共18位，个位为0，其他数位从左向右为连续的自然数且左右对称，即22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))＝123456789876543210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898.答案：8989．(2022江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A，B分别与实数x1，x2对应，则线段AB的中点M与实数eq\f(x1＋x2,2)对应，由此结论类比到平面得，若平面上不共线的三点A，B，C分别与二元实数对(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)对应，则△ABC的重心G与________对应．解析：由类比推理得，若平面上不共线的三点A，B，C分别与二元实数对(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)对应，则△ABC的重心G与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))对应．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))10．观察下列几个三角恒等式①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为____________________________________________________________________．解析：所给三角恒等式都为tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的结构形式，且α、β、γ之间满足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.答案：当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1三、解答题11．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.证明：∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B>eq\f(π,2)，∴A>eq\f(π,2)－B，∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…由上式规律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1(n≥2)，又n＝1满足上式，所以f(n)＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)