数据拟合的非线性模型

数据拟合的非线性模型多项式拟合的正交化方法超定方程组最小二乘解温度数据的平滑处理《数值分析》18数据拟合的非线性模型求拟合函数

f(x,c0,c1,···,cn

)满足观测数据2/16例1.已知人口统计数据利用最小二乘法求指数拟合

y=ceax

x

x1

x2··········

xm

f

y1

y2··········

ym年1991199219931994

19951996数量11.5811.7211.8511.98

12.1112.24指数函数拟合人口统计数据(单位：亿)(1)计算对数值yk=

lnNk

(k=1,2,…,6)(2)列出未知数a、b的超定方程组

a+btk=yk

(k=1，2，……，6)(3)求超定方程组的最小二乘解,得

N=ea+bx,并预测

N(2000),N(2008)

N2000=12.7971,N2008=13.9783

设

N=ea+bt

lnN=a+bt

令

y=lnN,

有

y(t)=a+bt

t199119921993199419951996

lnN2.45

2.46

2.47

2.48

2.492.503/16例2.利用极坐标观察值确定慧星轨道其中，p

为参数，e为偏心率

令k=1/rr2.702.001.611.201.02486783108126

k

0.37040.50000.62110.83330.9804

0.83781.16941.44861.88502.1991线性方程组(j=1,2,3,4,5)

p=?,e=?4/16r=[2.702.001.611.201.02];fai=[486783108126]*pi/180;n=length(r);b=ones(n,1);G=[1./r'cos(fai')];X=G\b;p=X(1);e=X(2);

p=1.4521,e=0.7027残差平方和:0.00225/16fa=pi/4:.1:3.5*pi/2;ro=p./(1-e*cos(fa));polar(fai,r,'ro'),holdonpolar(fa,ro)R=r-p./(1-e*cos(fai))R=sum(R.^2)例3.温度数据的拟合问题:中午1:00到第二天中午12:00温度记录数据如下66,66,65,64,63,63,62,6160,60,59,58,58,58,58,5857,57,57,58,60,64,67,68用最小二乘法求拟合函数

f(x)=E+Acos(Cx)+Bsin(Dx)E=?,A=？,B=?

,C=?

,D=?6/16定义

设

j(x)(j=0,1,···,n)是多项式系列,

是一点列,多项式i(x),j(x)在该点列上的值分别为则称

k(x)(k=0,1,···,n)为点列

上的正交多项式系.(j≠i)如果i=[i(x1),i(x2),······,i(xm)]Tj=[j(x1),j(x2),······,j(xm)]T7/16·····························

p0(x)=1,

pj(x)=xpj-1(x)(j=1,2,····,n)(j=2,3,···,n)8/16给定数据表

x

x1

x2··········

xmf(x)y1

y2··········

ym超定方程组:正交多项式系:,······,组成拟合函数

9/16正规方程:由正交性得10/16超定方程组最小二乘解X*的几何意义11/16例向量组平面正规方程Q—列正交矩阵;R—单位上三角矩阵矩阵的正交三角分解:G=QR12/16矩阵的LDLT分解DLTX=L-1bA=LDLT超定方程组AX=b记LTX=D-1L-1bX=(LT)-1D-1L-1b矩阵G的QR(正交三角)分解算法

G=(

gij)m×nm>n将矩阵按列分块，记为

G=[g1,g2,······,gn

]

分解算法①q1=g1②q2=g2–r12q1,其中

r12=(g2，q1)/(q1，q1)

···········································n其中······13/16G=[g1

g2

······

gn

]=[q1(r12q1+q2)······(r1nq1+···+rn-1,nqn-1+qn)]G=[q1,q2,······,qn

]RG=

QR

g1=

q1

g2=r12q1+q2··························记Q=[q1,q2,······,qn

]其中14/16多项式拟合用于数据平滑处理五点抛物线拟合公式设拟合函数为:P(t)=a0+a1t+a2t2

a0=yk–3(yk-2–4yk-1+6yk–4yk+1+y