数字信号处理(程佩青) 第二章 Z变换

第二章z变换张云zhyun86@126.com1内容提要2.1z变换的定义及收敛域2.2z反变换2.3z变换的基本性质和定理2.4序列的傅里叶变换2.5离散信号傅里叶变换的性质2.6离散系统的系统函数，系统的频率响应本章小结2时域：复频域：Laplace变换

2.1z变换的定义及收敛域3所以Fourier变换

频域：所以，傅里叶变换是仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。因为4对离散信号，可否做拉普拉斯变换？令：5则：得到：拉普拉斯变换对应连续信号变换对应离散信号关系离散信号的z变换6离散时间序列的傅里叶变换，DTFT平面平面7Laplace变换Fourier变换

连续时间信号8z变换Fourier变换离散时间信号平面平面92.z变换的收敛域收敛区域：对于所有的序列或所有的z值，z变换并不总是收敛的。对于任意给定的序列，使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：{Z：X(z)存在}＝收敛区域。注意：z变换收敛域的概念很重要，不同的序列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域却不同。所以应该特别注意，只有当z变换的表达式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相等。102.z变换的收敛域收敛条件：按照级数理论，收敛的充要是满足绝对可和的条件，即要求：要满足此不等式，值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。

112.z变换的收敛域常用的z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点界定其边界。不同形式的序列其收敛域形式不同，分别讨论如下：122.z变换的收敛域（1）有限长序列

在有限区间之内具有不为零的有限值的序列。其z变换为：（2.2）要使（2.2）式收敛，则需要满足由于x(n)为有限值，所以要求132.z变换的收敛域显然在上，都满足该条件。所以有限长序列的收敛域为：在n1，n2的特殊选择下，收敛域为：142.z变换的收敛域有限长序列收敛域（n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）152.z变换的收敛域（2）右边序列

在时有值，在时的序列。其z变换为：（2.3）第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。第一项是有限长序列的z变换，收敛域为162.z变换的收敛域综合可知，右边序列的收敛域为：右边序列及其收敛域（n1<0,故z=∞

除外）172.z变换的收敛域一种最重要的右边序列：因果序列——是指在n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛序列为：在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。182.z变换的收敛域因果序列及其收敛域（包括z=∞）192.z变换的收敛域（3）左边序列

在时有值，在时的序列。其z变换为：（2.4）第一项是z的正幂级数，按照级数收敛的阿贝尔定理知，存在一个收敛半径Rx+，级数在以原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。第二项是有限长序列的z变换，收敛域为202.z变换的收敛域综合可知，左边序列的收敛域为：左边序列(n2>0)及其收敛域（z=0除外

）若n2≤0，则包括z=0，则收敛域为：212.z变换的收敛域（4）双边序列

在n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可以看成:

双边序列＝右边序列＋左边序列收敛域收敛域222.z变换的收敛域若满足则存在公共收敛域双边序列的收敛域为：双边序列及其收敛域返回本章23从给定的z变换闭合式X(z)中还原出原序列x(n)称为z反变换，表示为

2.2z反变换求z反变换的方法通常有三种：1.围线积分法（留数法）2.部分分式展开法3.幂级数展开法（长除法）24

根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域（Rx-≥0，Rx+≤∞）内是解析的，则函数X(z)在该区域内可以展成罗朗级数：而式中C是X(z)收敛域内的环绕原点的一条反时针方向的闭合围线。（2.5）（2.6）

1.围线积分法（留数法）25比较z变换的定义式可以发现，x(n)就是罗朗级数的系数，即：

1.围线积分法（留数法）这就是用围线积分的z反变换公式：和（2.5）式26

1.围线积分法（留数法）直接计算围线积分比较麻烦，一般采用留数定理来求解。使用该式必须满足：X(z)zn-1的分母多项式z的阶数比分子多项式z的阶数高二阶或两阶以上。根据留数定理有:271.围线积分法（留数法）X(z)zn-1在任意一极点zr处的留数（1）zr

是X(z)zn-1的单（一阶）极点（2）zr

是X(z)zn-1的多重（l阶）极点281.围线积分法（留数法）例题：已知求z反变换解：291.围线积分法（留数法）301.围线积分法（留数法）讨论：

(1)当n≥-1时：函数在围线C内只有一个一阶极点。所以311.围线积分法（留数法）

(2)当n≤-2时：函数在围线C外只有一个4一阶极点。所以综合可得：322.部分分式展开法当X(z)为有理函数时，可以表示成X(z)可以展成下面的部分分式形式：其中zi是X(z)的一个r阶极点，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0项；M<N时Bn

=0）。332.部分分式展开法各系数的求法:(1)Bn可用长除法求得。(2)(3)或k=1,2…rk=1,2…,M-r342.部分分式展开法例题：设求z反变换解：X(z)的分子分母同乘以z2，得2、0.5是X(z)的单极点，按照上面给的Ak的求法，将上式两端均除以z并展开得：352.部分分式展开法求得系数为：所以363.幂级数展开法（长除法）由于x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即所以只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。

一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。373.幂级数展开法（长除法）（1）当X(z)的收敛域为|z|>Rx-时，则x(n)必为因果序列，此时应将X(z)展成z的负幂级数，为此X(z)的分子分母应按z的降幂(或z-1的升幂)排列。（2）如果收敛域是|z|<Rx+

，则x(n)必然是左边序列，此时应将X(z)展成z的正幂级数，为此，X(z)的分子分母应按z的升幂(或z-1的降幂)排列。383.幂级数展开法（长除法）例题：已知，求其z反变换解：由于，所以序列是因果序列。将上式按z的降幂形式排列下面进行长除393.幂级数展开法（长除法）403.幂级数展开法（长除法）所以有由此得到返回本章412.3z变换的基本性质和定理(1)线性

设X(z)与Y(z)分别是x(n)与y(n)的z变换，即422.3z变换的基本性质和定理(2)序列的移位 设序列x(n)的z变换为:Z［x(n)］=X(z) Rx-＜|z|＜Rx+则有：其中m为整数，m为正则为延迟，m为负则为超前。432.3z变换的基本性质和定理(3)乘以指数序列（z域尺度变换） 如果序列x(n)乘上指数序列an(a可以是复数)，若

Z[x(n)]=X(z)Rx_＜|z|＜Rx+

则有：证明：442.3z变换的基本性质和定理讨论设z=z1为X(z)的极点，则X(a-1z)的极点为z=az1(A)如果a为正实数：则表示z平面的缩小或扩大，零极点在z平面延径向移动。(B)如果a为复数：|a|=1，则表示在平面上旋转，即零、极点位置沿着以原点为圆心，以|z1|为半径的圆周变化；若a为任意复数，则在z平面上，零极点既有幅度伸缩，又有角度旋转。452.3z变换的基本性质和定理(4)序列的线性加权（z域求导数） 若已知X(z)=Z[x(n)]Rx_＜|z|＜Rx+

则有：证明：对式两边求导得：462.3z变换的基本性质和定理所以有可递推得472.3z变换的基本性质和定理(5)共轭序列

若已知X(z)=Z[x(n)]Rx_＜|z|＜Rx+

则有：

(6)翻褶序列

若已知X(z)=Z[x(n)]Rx_＜|z|＜Rx+

则有：482.3z变换的基本性质和定理(7)初值定理

如果n＜0时，x(n)为零，则(8)终值定理

设x(n)为因果序列，且X(z)=Z[x(n)]的极点处于单位圆|z|=1以内，则492.3z变换的基本性质和定理(9)有限项累加特性 设x(n)为因果序列，即n<0，x(n)=0X(z)=Z[x(n)]|z|>Rx_则：502.3z变换的基本性质和定理(10)序列的卷积和（时域卷积和定理）

设y(n)是x(n)和h(n)的卷积和且：则：512.3z变换的基本性质和定理证明：522.3z变换的基本性质和定理例题：设求解：所以532.3z变换的基本性质和定理由上面的求解知，在z=a处，X(z)的极点被H(z)零点抵消，如果|b|<|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)和H(z)收敛域的重合部分要大。542.3z变换的基本性质和定理(11)序列相乘（z域复卷积和定理）

设

y(n)=x(n)h(n)且：则：552.3z变换的基本性质和定理或者：式中C1是X（z/v）与H（v）公共收敛内环绕原点的一条反时针旋转的闭合围线。C2是X(v)与H（z/v）公共收敛内环绕原点的一条反时针旋转的闭合围线。562.3z变换的基本性质和定理(12)帕塞瓦定理

若且：则：式中积分围线C取在X(v)与两者收敛域的重迭部分内。

返回本章572.4序列的傅里叶变换一个离散时间非周期信号及其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示：正变换反变换收敛条件傅里叶变换存在的条件返回本章582.5离散信号傅里叶变换的性质

首先定义两种序列，共轭对称序列与共轭反对称序列。共轭对称序列：对于实序列该条件变成，即xe(n)为偶对称序列。共轭反对称序列：对于实序列该条件变成，即xo(n)为奇对称序列。59任一序列总能表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和。要证明这一点，需要找到xe(n)和xo(n)，这只要令xe(n)和xo(n)满足下式即可：60同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：其中，是共轭对称的，是共轭反对称的。61(1)序列的卷积特性 序列的卷积特性是时域内的卷积关系映射到频域内为相乘，即(2)序列傅氏变换的周期性 序列的傅氏变换是ω的周期函数，周期为2π。62(3)复序列傅氏变换的对称性634．实序列傅氏变换的对称性返回本章642.6离散系统的系统函数，系统的频率响应123系统函数65456以上6个关系是离散时间系统中的基本关系，它们从不同的角度描述了系统的性质，它们彼此之间可以互相转换。传输函数661.因果稳定系统线性移不变系统稳定的充要条件为：

z变换收敛的充要条件为：

所以，若系统函数的收敛域包括单位圆|z|=1，则系统是稳定的。？67因果系统的单位抽样响应为因果序列，又知道因果序列的收敛域为所以，综合可知：一个因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个z域内收敛，即：682.系统函数和差分方程的关系常系数线性差分方程的一般形式：若系统的起始状态为零，直接对上式求z变换：69所以有：将上式进行因式分解得：使分子多项式=0的的Zeros(零点)使分子多项式=0的的Poles(零点)系统的极－零分析！70为了保证系统分子、分母多项式的系数始终为实数，所以，如果系统有复数的极、零点，那么这些复数的极、零点一定共轭出现。即：注713.系统频率响应的意义

为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用，有必要研究线性移不变系统对复指数或正弦的稳态响应，这就是系统的频域表示法。设输入为：则：72当系统输入为复指数序列，则输出为同频的复指数序列，其幅度受频率响应幅度加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。系统的频率响应73任意序列都可表示成复指数的叠加，即微分增量的叠加，利用这一叠加特性，以及系统对复指数的响应是完全由确定的这一性质，可以得出对于任意输入，系统的输出响应为74系统分析的任务给定一个系统，可能是判断（或分析）线性？移不变？稳定？因果？幅频：低通？高通？带通？…相频：线性相位？最小相位？4.系统的极-零分析751.稳定性:判别条件1：稳定性:判别条件2：？极零分析的应用所有极点都必需在单位圆内！762.系统频率响应特性分析我们可以利用H(z)在z平面上零点、极点的分布，来分析系统的频率响应特性。用代入上式，即得到系统的频率响应，为77（1）.幅频特性：78观察：1.当时，最小；2.极点约接近于单位圆，越小；如何影响幅频

3.注意，向量在分母上。？79频率响应的幅度＝各个零点至点矢量长度之积除以各极点至点矢量长度之积，再乘以常数|K|80（2）.相频：也就是说：频率响应的相角＝各个零点至点矢量相角之和＋常数K的相角＋线性相移分量—各极点至点矢量相角之和。81若在某一个

处,在单位圆上有一零点,

则若在某一个

处,在接近单位圆有一极点,

则（3）.极--零点对系统幅频的影响：在

处的极、零点不影响幅频,

只影响相频。82在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的凸峰的位置和深度则有明显的影响。极点在单位圆外，则不稳定。利用这种直观的几何方法，适当地控制极点、零点的分布，就能改变数字滤波器的频率特性，达到顶期的要求。由于单位圆附近的零点位置将对幅度响应凹谷的位置和深度有明显的影响，零点在单位圆上，则谷点为零，即为传输零点。零点可在单位圆外。83极－零分析是数字信号处理的基本功，对不太复杂的系统，应能从系统的极－零分布图大致判断出该系统的幅频特性。84例：设一阶系统的差分方程为

求系统的频率响应。解：将差分方程等式两端取z变换，可求得这是一个因果系统，可求出单位抽样响应为85幅度响应为该一阶系统的频率响应为相位响应为86零极点分布冲激响应87幅度响应相位响应88本章小结z变换的定义及收敛域特殊序列——有限长、右边、左边、双边z反变换及其求法留数法、部分分式法、长除法序列的傅里叶变换定义及其与z变换的关系离散系统的系统函数、频率响应

系统的极-零分析89

1．filter.m本文件用来求离散系统的输出y(n)。若系统的h(n)已知，由y(n)=x(n)*h(n)，用conv.m文件可求出y(n)。

filter文件是在A(z)、B(z)已知，但不知道h(n)的情况下求y(n)的。调用格式是:y=filter(b,a,x)x,y,a和b都是向量。与本章内容有关的MATLAB文件902．impz.m在A（z）、