2022-2023学年福建省连城县高二年级上册学期第二次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省连城县第一中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知是数列等差数列，，则公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由等差数列的通项公式计算可得结果.【详解】∵是等差数列∴，即：，∴，故选：C.2．已知直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线的一般式转化求出斜率，根据斜率定义即可求解.【详解】可以整理为：，故直线的斜率为-1，根据，所以，故选：C.3．抛物线的准线方程为A． B． C． D．【答案】A【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.【详解】，抛物线的准线方程为，即，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.4．某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（

）A．7种 B．12种 C．4种 D．3种【答案】A【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.【详解】解:由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选:A5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（

）A．8 B．13 C．18 D．23【答案】B【分析】根据题意，利用从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，逐项进行计算，进而计算出.【详解】由已知得，，，，，，故选：B6．点M是椭圆上的点，点M到椭圆的一个焦点的距离为1，则点M到另一焦点的距离等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】已知椭圆上的点到一个焦点的距离为1，由椭圆定义直接求出到另一个焦点的距离.【详解】因为椭圆方程为，所以.由椭圆定义可知，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于，且.因为点M到椭圆的一个焦点的距离为1，所以点M到另一个焦点的距离为3.故选：C．7．设是等比数列，且，则（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】根据题意结合等比数列的通项公式列式求解，代入即可求得结果.【详解】由题意可得：，解得，故.故选：B.8．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，.若，且的面积为，则抛物线的方程为A． B．C． D．【答案】D【分析】过点作交直线于点，交轴于点，设点、，当焦点在轴的正半轴时，设：，由得，然后可得，从而得到，，然后由可算出.【详解】过点作交直线于点，交轴于点.设点、，当焦点在轴的正半轴时，设：，由，得，即①.又因为，所以，所以②.由①②可解得，.在中，，，所以，所以，解得，此时的方程为.同理，当焦点在轴的负半轴时，得，此时的方程为.综上所述，抛物线的方程为.故选：D【点睛】本题主要考查的是抛物线定义的应用，解题的关键是画出图形，分析出图形的特点.二、多选题9．对于圆，下列说法正确的为（

）A．圆C的圆心为 B．圆C的圆心为C．圆C的半径为2 D．圆C的半径为【答案】BD【分析】根据圆的标准方程可得答案.【详解】因为圆，所以圆C的圆心为，圆C的半径为.故选：BD.10．若，则正整数x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】根据组合数的性质进行求解即可.【详解】由，或，由，故选：BC11．如图，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法中正确的有（）A．若AB⊥x轴，则|AB|＝2pB．若点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2为定值p2C．D．以线段AF为直径的圆与y轴相切【答案】ACD【分析】对于A，求出的坐标即可判断；对于BC，联立直线与抛物线的方程由根于系数的关系以及焦半径公式即可判断；对于D，由焦半径公式与中点坐标公式即可判断【详解】对于A：若AB⊥x轴，则，代入抛物线方程可得，∴，∴|AB|＝2p，故A正确；对于B：设直线AB的方程为x＝my，代入抛物线方程可得，，整理得y2﹣2pmy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣p2，故B错误；对于C：由B选项可知，，，又∵，∴，∴，故C正确，对于D：∵，AF的中点M的坐标为，∴点M到y轴的距离为，∴以线段AF为直径的圆与y轴相切，故D正确，故选：ACD．12．设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（

）A．长度为n的0—1序列共有个 B．若数列是等差数列，则C．若数列是等差数列，则 D．数列可能是等比数列【答案】AC【分析】A选项，可根据分步乘法计数原理求出；B选项，根据等差数列定义得到为定值，分与两种情况讨论求出答案；C选项，根据数列是等差数列，推导出；D选项，假设数列是等比数列，推出矛盾.【详解】由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；因为数列是等差数列，所以为定值，当，则，则，当，则，则，B错误；若数列是等差数列，则为定值，只有能满足要求，故，C正确；若数列是等比数列，则为定值，且，因为，所以，，所以，若，则，所以，舍去；若，，，其中，解得：，，其中，解得：，故不是定值，数列不可能是等比数列，D错误.故选：AC三、填空题13．从3个女生4个男生中选取3人参加某项活动，男生女生都要有人参加，共有_______种选法．【答案】30【分析】分两类：1男2女和2男1女，每类用分步乘法计数原理，然后再根据分类加法计数原理可得总的选法数量.【详解】分两类：一类是1男2女共有种情况，另一类是2男1女共有情况，由加法原理得共有种情况，故答案为：3014．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程是______．【答案】【分析】根据斜率乘积为求得，进而求得直线方程．【详解】依题意，可设直线的方程为，由两直线垂直得，解得，∴直线的方程为即，故答案为：．15．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.【答案】【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果．【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，，，所以，因为，所以，，因为，所以，因为，联立可得，，因为为圆的直径，所以,即，，，，，，所以离心率．【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题．四、双空题16．若数列的前n项和，且对任意的正整数n，有，则___________，___________．【答案】

1

##【分析】令时，可求出，当时，，代入可得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，即可求出.【详解】令时，则，解得：，当时，，则，则，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，则.故答案为：1；.五、解答题17．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；（2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．18．设数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，是等比数列的前三项．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）an=2n﹣1，（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由题意可得的方程，解方程可得值，可得通项公式；（Ⅱ）易得等比数列的首项为1，公比为2，由求和公式可得．【详解】解：（Ⅰ）由题意可知：，，，，成等比数列，，，，若，则，与，，成等比数列矛盾，，，；（Ⅱ），，等比数列的首项为1，公比为2，．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用，属于基础题．19．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.(1)选5名同学排成一排：(2)全体站成一排，甲、乙不在两端：(3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(4)全体站成一排，男生彼此不相邻；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)直接用排列原理求解；(2)先特殊后一般即可求解；(3)利用捆绑法求解；(4)利用插空法求解.【详解】（1）无条件的排列问题,排法有种.（2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，所以有种.（3）相邻问题，利用捆绑法，共有种.（4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，所以共有种.20．已知抛物线C：的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段AB的中点M到准线的距离．【答案】(1)(2)4【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得，解出即可求解;（2）根据抛物线的定义可得，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解.【详解】（1）∵双曲线E：的焦点坐标为，又抛物线（）的焦点，∴，即.∴抛物线C的方程为.（2）设，，由抛物线定义，知，∴，于是线段的中点M的横坐标是1，又准线方程是，∴点M到准线的距离等于.21．已知数列满足，前项和满足(1)求的通项公式；(2)求的通项公式；(3)设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由，利用“累乘法”可得，化简即可的结果；（2）利用公式可得结果（注意检验）；（3）是递减数列，得恒成立，即，化为恒成立，只需即可得结果.【详解】（1）满足上式

（2）时，，当时，符合上式，；（3）是递减数列，即只需，设时，，即，所以数列为递减数列，当时，，所以的最大项为22．设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.(1)求双曲线的离心率；(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)2(2)以为直径的圆过定点或【分析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足.【详解】（1）由已知得：，将代入中，，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得：，因为，所以，方程两边同除以得：，解得：或（舍去），所以双曲线的离心率为2（2）因为，所以，解得：，故，，所以双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线联立得：，设，则，，因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，所以，解得：，直线，则，同理可求得：，则，其中，所以则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以为直径的圆的方程为：，整理得：，所以以为直径的圆过定点，，当直线的斜率不存在时，此时不妨设，此时直线，点P坐标为，同理可得：，.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，综上：以为直径的圆过定点，.【点睛】直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.23．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与轴