行列式及矩阵的秩

第2章行列式及矩阵的秩行列式是十分有用的工具，利用它可以进一步研究矩阵及定义许多重要概念.本章介绍了行列式的概念、性质和计算方法，给出了行列式的一些应用：解线性方程组的克莱姆法则、定义矩阵的秩及求可逆矩阵逆矩阵的公式.第2章目录第2.1节

行列式的概念第2.2节

行列式的性质第2.3节

克莱姆法则第2.4节

矩阵的秩第2.5节

数学实验第2.1节行列式的概念本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式二元与三元线性方程组解的行列式表示n阶行列式返回1.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式

定义已知2阶方阵

称为二阶行列式，记作A或detA.

例如：(2)3阶行列式定义已知3阶方阵

称为三阶行列式.而称为元素a11,a12及a13的余子式；而称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.在3阶行列式中分别划去元素a11,

a12及a13后剩余的元素保持原来的次序构成的2阶行列式

例如：行列式中元素1,4,6的代数余子式为利用代数余子式的概念,上述定义可表述为：三阶行列式等于第1行各元素与其相应的代数余子式乘积之和，即例1计算3阶行列式解由定义，有2.二元、三元线性方程组解的行列式表示为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：利用二阶行列式定义，解中的分母可写作解中的分子可分别记为：这里Dj(j=1,2)是将系数行列式D的第j列换为右端常数项而得的行列式.系数行列式例2解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为例3解线性方程组解：系数行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为3.n阶行列式定义利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义.

定义：n阶矩阵

A=(aij)nn的行列式等于第1行各元素与其相应的代数余子式乘积之和，即也称为n阶行列式按第1行展开.例4计算行列式解由行列式定义，有例5证明n阶行列式(下三角)证：由定义，有下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积！类似地，可以证明4.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若用定义计算思考练习答案第2.2节行列式的性质1.行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：当n=2时，结论显然成立.假设n=k-1时结论成立,现证n=k时结论成立.由行列式的递推定义，有由于Ai1(i=1,2,…,k)为k-1阶行列式,由归纳法假设,有返回据此知：行列式的“行”成立的性质,对“列”也成立；反之亦然.例1计算行列式解性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.推论若行列式D有两行(列)完全相同,则D=0.性质3行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即推论(1)若D中一行(列)所有元素为零,则D=0；

(2)若D的两行(列)对应元素成比例,则D=0.性质3的证明证：若第1行有公因子,利用定义知结论成立.一般地，若第i行有公因子,互换第1行和第i行，有性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两项之和,则可把该行列式化为两个行列式的和，而这两个行列式这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余位置的元素不变.即性质5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即性质6行列式D的值等于它的任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

这里Aij为元素aij的代数余子式.证：当i=1时,为行列式的递推定义,结论成立；当i

>1时,将D的第i行依次与它的前i-1行互换,得到行列式D1,且有从而按行(列)展开定理性质7

n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即证考虑辅助行列式0=t列j列例2计算行列式解解解本例是利用行列式性质将其化为上三角形,再利用已知结果得出其值的！例3计算行列式解选取“0”多的行或列化出“0”多的行或列，降阶计算，最常用.例4计算行列式解例5证明证

证例6计算n阶行列式解例7计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)解(1)

注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回解

(3)返回箭形行列式例8已知4阶行列式解法1法2利用行列式的性质6，简化计算.例9范得蒙行列式（Vandermonde)记住结果！例如2.证明1.计算行列式思考练习答案=右边2.拉普拉斯（Laplace）定理k阶子式

在n阶行列式中，任意选定k行、k列（1≤k≤n）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而

为其代数余子式.这里i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk分别为k阶子式N的行标和列标.在n阶行列式定理1(Laplace)任意取定k行(1kn),由这k行元素组成的k阶子式M

1,M

2,…,Mt与它们的代数余子式

的乘积之和等于D，即解例10计算行列式一般地定理2(行列式的乘法定理)设A、B为n阶方阵，则

|AB|=|A||B|.特别地，对n阶方阵A有例11解第2.3节克莱姆法则下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克莱姆法则）如果n元线性方程组则方程组有唯一解的系数行列式返回其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式,即定理的结论有两层含义：①方程组（1）有解；②解唯一且可由式(2)给出.证

首先证明方程组(1)有解.事实上,将

代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开得

即式(2)给出的是方程组(1)的解.

下面证明解唯一.设xj=cj(j=1,2,…,n)为方程组(1)的任意一个解，则以D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,…,

Anj依次乘以上各等式，相加得从而

Dcj=Dj

由于D0,因此即方程组的解是唯一的.推论1如果线性方程组(1)无解或有两个不同解，则D=0；

推论2如果齐次线性方程组的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.可以证明:

系数行列式D=0，是方程组(3)有非零解的充分必要条件.例1解线性方程组

解

系数行列式

例2若齐次线性方程组有非零解，求λ值.解

系数行列式

方程组有非零解，则D=0.于是=3或=0.例3解第2.4节矩阵的秩基本概念矩阵秩的求法满秩矩阵的求逆公式返回1.基本概念定义1矩阵A=(aij)mn中,任取k行k列(kmin{m,n}),位于交叉点处的k2个元素按原相应位置构成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.定义2

矩阵A中不为零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩.记作r(A).

规定:零矩阵的秩为零，即r(0)=0.因此,对任意m×n矩阵A，有0≤r(A)≤min{m,n}.定理1

一个m×n矩阵A的秩为r是A有一个r阶子式不为零，而一切r+1阶子式(如果有的话)都等于零.

例1求矩阵的秩解(1)A的2阶子式所有3阶子式所以r(A)=2.(2)由于矩阵A的最后一行元素均为零,因此A的所有4阶子式均为零，而容易看出A的一个3阶子式所以r(A)=3.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.2.初等变换求矩阵的秩定理2初等变换不改变矩阵的秩.将矩阵用初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩.例2求矩阵的秩.解由得r(A)=2.例3求矩阵A的秩解当a=-8,b=-2,r(A)=2;当a=-8,b≠-2,r(A)=3；当a≠-8,b=-2,r(Ａ)=3;当a≠-8,b≠-2,r(Ａ)=4.

据定理2,可得如下结论:推论1

等价矩阵具有相同的秩.推论2

设A为m×n矩阵，则对m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，有r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A).推论3

r(A)=r存在可逆矩阵P，Q，使3.满秩矩阵的逆矩阵公式

定义设A为n阶方阵,若r(A)=n，称A为满秩矩阵;若r(A)<

n,称A为降秩矩阵.

容易得：A为满秩矩阵|A|0.进一步有定理3

ｎ阶方阵Ａ可逆(满秩)|A|0,且当A可逆时,有

这里

称为Ａ的伴随矩阵,Aij为元素aij的代数余子式.因A可逆，故有B，使AB=E.()由证()即A可逆，矩阵可逆性判别及其求法例4下列矩阵是否可逆？若可逆，求逆矩阵.解故Ａ可逆，且主对角线元素互换,副对角线元素改变符号.解(2)关于矩阵A的伴随矩阵的几点说明：①对n阶方阵A，总有相应的伴随矩阵A*，并不依赖于A的可逆性；②可以验证，有如下等式：③若A可逆，

例5解4.若n阶矩阵A可逆,试证A的伴随阵也可逆,并写出其逆阵的公式.答案思考练习第2.5节数学实验1.命令Det[A],用以计算方阵A的行列式.2