第三部分正弦稳态分析第十一章阻抗与导纳

第三部分正弦稳态分析第十一章阻抗与导纳

正弦稳态电路：

在单一频率正弦电压、电流激励下，线性非时变渐近稳定电路中各支路电流和电压，均为与激励同频率的正弦波。本章的主要内容1.正弦量的有效值相量表示；2.基尔霍夫定律与元件伏安关系的相量形式；3.阻抗、导纳的概念4.相量模型、相量法；5.用相量法分析正弦稳态电路响应。周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。R直流IR交流i物理意义11-1有效值有效值相量一、周期量有效值的定义一个周期性的电压或电流，如果在一个周期内的作功能力和一个直流电压或电流相同，则称该直流电压或电流为其有效值。均方根值定义电压有效值：习惯上用I或U来分别表示电流i(t)和电压u(t)的有效值。二、正弦量的有效值结论：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若交流电压有效值为U=220V

，U=380V

其最大值为Um311VUm537V注意工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。三、有效值相量（相量）*

电网频率：中国50Hz；美国、日本60Hz*

有线通讯频率：300-5000Hz*

无线通讯频率：

30KHz-3×104

MHz小常识在分析中有效值相量和振幅相量都可以使用，本教材后面全部为有效值相量。P5例11-1，例11-2§11-2基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。表明或或：例1.i1i2i3已知AA求i3解：结果：A解：VV求u3例2:已知+_+_+_u3u2u1结果：V思考题：P10作业：5一、电阻元件VAR的相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-URu相量关系：UR=RIu=

i§11-3R，L，C元件伏安关系相量形式波形图及相量图

itouRu=i同相位时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量关系：二、电容元件VAR的相量形式有效值关系：

IC=wCU相位关系：i=u+90°

XC=-1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)BC

=wC，

称为容纳，单位为

S

0，I0直流开路(隔直)w

，I高频短路w|XC|相量表达式1）电流与ω有关有效值关系：

IC=wCU容抗和频率成反比

容抗与容纳t

iCouu波形图及相量图电流超前电压9002）电流超前电压90°；相位关系：i=u+90°

时域形式：相量形式：相量模型相量关系：三、电感元件VAR的相量形式有效值关系：

U=wLI相位关系：u=

i+90°

i(t)uL(t)L+-jL+-感抗的性质表示限制电流的能力；感抗和频率成正比。wXL相量表达式XL=L=2fL，称为感抗，单位为

(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，

称为感纳，单位为S

感抗和感纳t

iouLi波形图及相量图电压超前电流900例1:试判断下列表达式的正、误。L例2：R=4Ω，求：i。解：(1)用时域关系式(2)用相量关系式①②③结论：纯电阻电路,电压与电流同相,可直接用时域关系式求解。例3：C=0.5F，求：u。解：用相量关系式①②③例4：L=4H，求：i。解：用相量关系式①②③V1VV2uSR+++___例5:如图电路，已知V1表的读数为80V，V2表的读数为60V求：V表的读数。解：

画出矢量图：例6已知电流表读数：A1＝8A＝6AA2A1A0Z1Z2A2A0＝?＝I0max=?A0A0＝I0min=?＝?A2A0＝A1解作业：7，8，911-4阻抗和导纳相量模型1.阻抗正弦稳态情况下，元件的电压相量与电流相量之比。记作：Z；单位：欧姆。Z+-无源线性网络+-阻抗模阻抗角关联参考方向下，欧姆定律的相量形式当无源网络内为单个元件时有：Z可以是实数，也可以是虚数。C+-R+-L+-表明XL=L=2fL，称为感抗XC=-1/wC，称为容抗2.导纳导纳模导纳角无源线性网络+-Y+-正弦稳态情况下，元件的电流相量与电压相量之比。记作：Y；单位：西门子。对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有：Y可以是实数，也可以是虚数。C+-R+-L+-表明BL=-1/L=-1/2fL，称为感纳BC

=wC，称为容纳3.阻抗（导纳）的串并联等效分压公式阻抗的串联Z1+Z2Zn－Z+-分流公式导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：Y1+Y2Yn－Y+-4.相量模型

运用相量的概念把电路变换后的一种假想模型，是为了方便进行正弦稳态分析而引入的，在这种模型中，电路的电流和电压均用相应的相量表示，电路元件用阻抗和导纳表示。根据相量模型，就可以仿照电阻电路对相量进行分析和计算。KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-jL

RLC串联电路的阻抗特性分析Z—复阻抗；|Z|—复阻抗的模；z

—阻抗角；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。转换关系：或R=|Z|coszX=|Z|sinz阻抗三角形|Z|RXjz分析R、L、C

串联电路得出：（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jz

为复数，称复阻抗（2）wL>1/wC

，X>0，j

z>0，电路为感性，电压超前电流。相量图：一般选电流为参考向量，zUX电压三角形jLeqR+-+-+-等效电路（3）wL<1/wC，

X<0，jz

<0，电路为容性，电压落后电流。zUX等效电路R+-+-+-（4）wL=1/wC

，X=0，j

z=0，电路为阻性，电压与电流同相。R+-+-等效电路例

已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC.解画出相量模型LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-jL则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。相量图注意-3.4°

GCL并联电路导纳分析由KCL：iLCRuiLiC+-iRR+-

jLY—复导纳；|Y|—复导纳的模；y—导纳角；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；转换关系：或G=|Y|cosyB=|Y|siny导纳三角形|Y|GBy（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jy为复数，称复导纳；（2）wC>1/wL，B>0，y>0，电路为容性，电流超前电压。相量图：选电压为参考向量，y分析R、L、C

并联电路得出：RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象IB注意（3）wC<1/wL，B<0，y<0，电路为感性，电流落后电压；y等效电路R+-（4）wC=1/wL，B=0，jy=0，电路为电阻性，电流与电压同相。等效电路等效电路jLegR+-R+-+-5.复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G1/R，B1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。ZRjXGjBY注意同样，若由Y变为Z，则有：GjBYZRjX例RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为：0.06mH50R’

L’注意一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变；一端口N0中如不含受控源，则有或但有受控源时，可能会出现或其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；注意一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为例1求图示电路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗为：1mH301000.1FR1R26.练习例2图示电路对外呈现感性还是容性？解1等效阻抗为：33－j6j45电路对外呈现容性例3解相量模型+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15Wj20W-j10W+_15W例4解+_5WuS0.2Fi相量模型+_5W-j5W例5解j40WjXL30WCBA例6图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。解法1令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部jXC+_RjXLUC+-画相量图计算jXC+_RjXLUC+-解法2例7图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后电源电压/3，问R、C应如何选择。解1画相量图计算jXC+_R+-解2作业：12，14，1511-5正弦稳态混联电路分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。结论2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（f=0)是一个特例。例1画出电路的相量模型求:各支路电流。已知：解R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1Z1Z2R2+_R1Z1Z2R2+_R1例2：图为RC选频网络，求u1和u0同相位的条件及解设：Z1=R+jXC,Z2=R//jXCjXC－R－＋＋Ruou1jXCZ1Z2已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。平衡条件：Z1Z3=

Z2Zx

得：R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例3解

|Z1|1

•|Z3|3

=|Z2|2

•|Zx|x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+3

=2

+x

Z1Z2ZxZ3已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例4解ZZ1+_

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：线圈的电阻R2和电感L2

。方法一、画相量图分析。例5解R1R2L2+_+_+_q2qq2q方法二、其余步骤同解法一。R1R2L2+_+_+_用相量图分析例6移相桥电路。当R2由0时，解当R2=0，q=180；当R2

，q=0。abbabR2R1R1+_+-+-+-+-例7图示电路，解R1R2jXL+_+_jXC例8求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。解应用三要素法：用相量法求正弦稳态解L+_+_Rtio直接进入稳定状态过渡过程与接入时刻有关注意出现瞬时电流大于稳态电流现象tio1）网孔分析法的相量形式Z11—自阻抗：组成该回路各支路上阻抗之和。Z12—互阻抗：两回路之间公共支路阻抗之和。网孔方程:2）节点分析法的相量形式节点方程:略常用静态电路分析方法的相应相量分析方式例+_+_i1i2uS32i19图示电路处于正弦稳态中，已知试用网孔分析法求i1,i2解：1.作相量模型2.相量分析：列网孔方程3.反变换+__3+V解：1.作相量模型+__+V2.相量分析：列节点方程例10+_+_i1i2uS3图示电路处于正弦稳态中，已知试用节点分析法求i1+_R1R2R3R4列写电路的网孔电流方程和结点电压方程例11解网孔方程+_LR1R2R3R4C结点方程+_R1R2R3R4等效3）戴维南定理的相量形式Nui单口网络Z0IUocU戴维南等效电路相量模型Z0——网络内部独立源均置零时的等效阻抗Uoc

——该网络的开路电压相量例12：试求负载电流解：+_V+_方法1：电源变换解例13Z2Z1Z3Z+-Z2Z1ZZ3方法2：戴维宁等效变换求开路电压：求等效电阻：ZeqZ+-+-Z2Z1Z3例14

求图示电路的戴维宁等效电路。解+_j300+_+_100求开路电压：j300+_+_5050求短路电流：+_j300+_+_100+_1004）叠加定理的相量形式例15+_uSi0.1HiS图示电路处于正弦稳态中,已知试用叠加定理求i解：1.作相量模型+_VA+_VA2.相量分析：1)单独作用时，V_+V2)单独作用时，AA3)3.反变换例16用叠加定理计算电流解Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3+-作业：17，21，26四、用相量图法分析1.对串联电路的分析例图示电路处于正弦稳态中已知用相量图法求uo

与uS

的相位关系。+uS–+uo–RC解：相量图法：未知结果，定性画出各相量，作图求解RI串联电路宜设电流参考相量2.对并联电路的分析例图示电路处于正弦稳态中，已知用相量图法求

iG,uiS+_uiGGiCC解：+_GGU并联电路宜设电压参考相量o解：例+_abUabR1R2R3Oc已知R1=R2，R3，用相量图法求3、混联电路分析11-10相量模型的等效

两个单口网络相量模型的端口电压电流关系相同时，称此两个单口网络等效。一、无源二端网络相量模型的等效电路+－NO无源二端网络

——输入阻抗——输入导纳（b）（c）阻抗等效电路

（d）（e）导纳等效电路

有两种等效电路，二者可以互相等效变换：1.输入阻抗2)若，呈容性，则等效为1)若，呈感性，则等效为RLRC2.输入导纳1)若B>0,则为GC2)若B<0,则为GL例1：已知，分别求出时域电路模型解：1）

2）例2：单口网络如图(a)所示，试计算该单口网络

=1rad/s和=2rad/s时的等效阻抗及等效电路。解：画出=1rad/s时的相量模型(b)，等效阻抗为注意：R、X、G、B均为ω函数，等效电路是指某一频率下的等效电路。例3：单口网络如图（a）所示，已知=100rad/s。

试计算等效阻抗和相应的等效电路。等效为一个电阻和电感的串联

二、几种常用的等效电路公式1.ZZ1Z2ZkZnZ2.YY1Y2YkYnY3.Z1Z2Z4._+++__+_5.6.+_ZsZs'三、含源单口网络相量模型的等效电路可以用一个独立电压源与阻抗的串联来代替；也可用一个独立电流源与阻抗

的并联来代替。

四、等效化简法的相量形式解：用电压源与电流源相互转换，化成单回路求解。例1：+_A求3.Z与Zcb

的模相等，虚部大小相等，符号相反+a_biNcCR图示电路处于正弦稳态中已知,，uab

与i同相,求N的等效阻抗Z例2：解：ab+_cZ1.作相量模型本章小结相量法—