材料力学弯曲应力

第六章

弯曲应力回顾FsM上一章任务：合力横截面上整体情况st本章任务：分力横截面上每一点情况横力弯曲——横截面上既存在弯矩，又存在横向剪力的梁的弯曲,称为横力弯曲纯弯曲——横截面上仅存在弯矩的梁的弯曲FFABCD剪力图弯矩图图示简直梁中BC

段为纯弯曲AB，CD段为横力弯曲横力弯曲纯弯曲几个基本概念内力的起因弯矩——横截面上正应力的合力偶，此时，正应力称为弯曲正应力剪力——横截面上切应力的合力，此时，切应力称为弯曲切应力梁弯曲的应力特征纯弯曲——横截面上仅存在正应力横力弯曲——横截面上不仅有正应力，而且还存在切应力几个基本概念st横截面上的正应力研究梁横截面上应力的分布，必须从几何（变形）、物理（本构）和静力学（平衡）三方面进行综合分析下面依次分析梁纯弯曲时，这三个方面的特征变形几何关系横截面上的正应力

纯弯曲试验及变形观察(表)纵向线aa，oo

，bb变为弧线a´a´，o´o´

，b´b´a´a´<aa，oo=o´o´，bb<b´b´横向线mm,nn仍然为直线，并且垂直于a´a´，o´o´，b´b´矩形截面上部变宽，下部变窄变形几何关系横截面上的正应力变形假设(里)1、弯曲变形的平面假设变形后，横截面仍保持为平面，并且仍与弯曲后的纵向线正交，各截面间作相对转动。2、弯曲变形的单向受力假定所有与轴线平行的纵向纤维处于轴向拉伸或轴向压缩，纤维之间不受力横截面上的正应力梁中纵向纤维长度不变的过渡层称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴1、几何方面

取长度为dx的一段微梁，变形后的形状如图。记长度不变轴线o´o´(中性层）的曲率半径为r，两横截面的夹角为dq，则变形后，距o´o´为y处纤维的长度为

注意到o´o´=

dx=rdq，于是，距o´o´为y处的纤维的线应变为dx横截面上的正应力即纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比2、物理关系

由于纵向纤维仅受拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，根据胡克定理，有即对给定的横截面，其上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比横截面上的正应力3、静力学关系

目前未解决问题:①z轴-中性轴where?②r=?与弯矩有何关系？横截面上的正应力代入得到梁横截面上的正应力分布公式r的确定静矩：yzAyzdA形心公式坐标原点过形心C附录：截面图形的几何性质附录：截面图形的几何性质yzAyzdA惯性积若图形有对称轴，则坐标轴含对称轴时横截面关于z轴的静矩为零，即z

轴为截面的形心轴横截面关于y、z

轴的惯性积为零。y、z

轴为主轴中性轴z的确定y，z形心主轴中性轴通过横截面形心，并垂直于纵向对称轴y①横截面上正应力是线性分布②正比于Mz

，反比于Iz

③中性层两侧一拉一压存在说明：①适用于任意截面（推导中没有用矩形性质）②成立条件(a)y，z轴须为形心主轴(b)比例极限内s<sp横截面上的正应力最大正应力发生在离中性轴最远的点上，即令——抗弯截面系数，则抗弯截面系数综合反映了横截面形状和尺寸对弯曲正应力的影响。横截面上的正应力惯性矩yzAyzdA附录：截面图形的几何性质常见横截面的惯性矩和抗弯截面系数zyhbCzydCzyDCd已知：矩形截面b×h求：Iy，IzCyzbhzdzdAydydA解：取平行于x轴和y轴的微元面积zyOdAyzrA惯性矩、极惯性矩——图形对y轴的惯性半径——图形对z轴的惯性半径zyOdAyz惯性矩、惯性半径已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPdrdrdACyz解：取圆环微元面积(1)选参考坐标系oyz,确定形心zyoy轴肯定是形心主轴y是对称轴Sz=SAiyi,Sy=SAizi(yi,

zi)每个图形形心在参考坐标系下oyz坐标从而确定形心坐标为yc=Sz/A,zc=Sy/A=0组合图形的静矩o’zc=yc组合图形的惯性矩(2)组合图形的惯性矩z1yoo’zcIyc=SIyci=Iy组合图形的惯性矩Izc=?平行轴公式Izc=S(Izci+di2Ai)yzAyzdA惯性矩平行轴定理:y0z0y0z0ab横截面上的正应力横力弯曲

尽管公式s

=

Mzy/Iz

是在纯弯曲条件下建立的。但弹性理论和实验表明：对于具有对称截面的一般细长梁（梁的跨度l与高度h之比l/h5），剪力对正应力的分布规律影响很小，上述计算正应力的公式仍然可用，并且具有足够的精度对于一般的弯曲梁，其弯矩是截面位置的函数。因此计算等截面直梁的最大正应力的公式为即横截面上的最大正应力发生在全梁最大弯矩Mmax所在横截面的最外边缘各点处正应力强度条件对于变截面直梁，最大正应力不一定发生在弯矩为最大的截面上，必须综合考虑M

和Wmax

这两个因素，以确定全梁上的最大正应力，既确定一般应力表达式的最大值正应力强度条件对于塑性材料，由于其抗拉和抗压许用应力相同，梁的弯曲正应力强度条件为

smax

[s]对于脆性材料，由于其抗拉和抗压许用应力不相同，梁的弯曲正应力强度条件为

s+max

[s+]

s-max

[s-]正应力强度条件已知d1=100mm，d2=120mm，P=30kN，

l1=600mm，l2=800mm，[s

]=100Mpa。解支座反力：

FAy=FDy=P/2=15kNBPd2Ed1l1l2l1ACDFAyFDy例对图示的阶梯形变截面圆直梁校核强度EXAMPLE-1画出弯矩图：关于荷载P对称，且为折线。AB(CD)段上的最大弯矩MB=MC=9kN·m，位于截面B和C。BC段上的最大弯矩Mmax=ME=15kN·m，位于截面E1599ABCDEPEABCDEXAMPLE-1校核强度：截面E：WzE=

d23/32=1.696105mm3故smaxE=Mmax/WzE=88.4MPa截面B(C)

:WzB=

d13/32=9.81104mm3故smaxB=MB/WzB=91.7MPa。可见，最危险点在B(C)

截面的上下边缘，且

smax=smaxB=91.7MPa<[s]因此，该轴是安全的。PEABCD例题例

6-1已知：梁用№18工字钢制成,Me=20kN•m,E=200GPa。计算：最大弯曲正应力smax,梁轴曲率半径r解：1.工字钢一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（GB706-88）№18工字钢：Me=20kN•m，E=200GPa，求smax与r2.应力计算3.变形计算例题例

6-2已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm计算：截面B-B的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.惯性矩计算3.最大弯曲正应力例

3

已知：钢带厚d=2mm,宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。计算：带内的smax与M解：1.

问题分析应力～变形关系：内力～变形关系：已知钢带变形，求钢带应力与内力带厚

d=2mm,宽

b=6mm,D

=

1400mm,E

=

200GPa，求smax与M2.应力计算3.

弯矩计算若带厚

d=10mm,4.讨论例图示外伸梁由铸铁作成，横截面为T字形已知q=10kN/m，P=20kN，

[st

]=40Mpa，[sc

]=160Mpa，校核该梁的强度。EXAMPLE-2PACBD2m3mq1myzCzC2002003030解支座反力:FBy=

30kNFDy=10kNEXAMPLE-2FByFDyPACBD2m3mq1m弯矩图：Θ10kN·m20kN·mEXAMPLE-2yzCzC2002003030求Izc首先求形心C的位置形心主惯性矩为：EXAMPLE-2校核强度：FByFDyPACBD2m3mq1mΘ10kN·m20kN·mB截面：上边缘为拉应力下边缘为压应力EXAMPLE-2校核强度：FByFDyPACBD2m3mq1mΘ10kN·m20kN·mC截面：上边缘为压应力下边缘为拉应力所以仅对C截面拉应力校核。梁满足强度要求。例图示槽形截面铸铁梁。已知b=2m，Iz

=5493ⅹ104mm4，许用拉应力

[st

]=30MPa，[sc

]=90MPa，确定此梁的许可荷载。PACBDbbbq=P/byzO86134120401802020EXAMPLE-3解:支座反力FAy=P/4

,FBy=7P/4MB=-Pb/2弯矩图：弯矩图ΘMC=Pb/4FAyFAyPACBDbbbq=P/bEXAMPLE-3

分析可知，不管是对截面C还是截面B，该梁的强度均由最大拉应力控制最大正、负弯矩分别在C、B截面处，其值分别为

MC=Pb/4，MB=Pb/2弯矩图ΘMC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020由横截面尺寸可见，中性轴到上、下边缘的距离分别为y2=86mm，y1=134mm

因此，只须计算C、B截面上的最大拉应力。得弯矩图ΘMC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAMPLE-3由C截面上的最大拉应力由B截面上的最大拉应力得从而，许用荷载为弯矩图ΘMC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAMPLE-3F=80kNACB1m1m22060y1y2yzo220d例跨长l=2m的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉、压许用应力分别为[st]=30MPa，[sc]=90MPa。根据截面最为合理的要求，确定T字形截面梁的横截面尺寸d，并校核梁的强度。EXAMPLE-4解：截面最为合理，应使梁同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力之比stmax/scmax与相应的许用应力之比[st]/[sc]相等，同时达到破坏。即从而由于所以从而确定中性轴的位置。EXAMPLE-4中性轴的位置与截面的几何尺寸有关，根据形心的性质，有由此求得EXAMPLE-422060y1y2yzo220