2014届高考数学(文)一轮复习课件：选修4-1 第2讲直线与圆的位置关系

第2讲 直线与圆的位置关系

不同寻常的一本书，不可不读哟！1.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.5种必会作法与圆有关的辅助线的五种作法：①有弦，作弦心距；②有直径，作直径所对的圆周角；③有切点，作过切点的半径；④两圆相交，作公共弦；⑤两圆相切，作公切线．2项必须注意1.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．3个必记结论1.切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．2.相离两圆的内公切线夹在公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．3.假设两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，那么此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆.课前自主导学1.圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的________．推论1：同圆或等圆中同弧或等弧所对的________相等，相等的________所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的________．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的________．“相等的圆周角所对的弧相等〞对吗？(2)如图，CD是⊙O的直径，AE切圆O于点B，连接DB，假设∠D＝20°，那么∠DBE的大小为________．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的______，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角________圆内接四边形的外角等于它的内角的________任意一个四边形是否有外接圆，三角形呢？如图，在⊙O中，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠ADC＝120°，那么∠CBE＝________，∠ABC＝________.3.圆的切线定义、定理及推论内容定义如果一条直线与一个圆有唯一公共点，那么这条直线叫做这个圆的________，公共点叫做________判定定理经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的________性质定理圆的切线________经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过________经过切点且垂直于切线的直线必经过________如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦BC与小圆相切于点A，假设BC＝6，那么由这两个同心圆所构成的圆环的面积为________．4．直线与圆位置关系的有关定理定理内容切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的______相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的________相等割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的________相等切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的________相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(1)如图，弦AB与CD相交于P点，PA＝4，PB＝2，那么PC·PD＝________.(2)如图，PE是⊙O的切线，PAB与PCD是⊙O的割线，PA＝AB＝1，那么PE＝________，PC·PD＝________.1.圆心角度数圆周角圆周角直角直径圆周角一半想一想：提示：只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．填一填：(1)100°(2)70°2．互补内角对角互补对角想一想：提示：任意一个四边形不一定有外接圆，但一个三角形一定有外接圆，并且外接圆唯一．核心要点研究例1[2021·辽宁高考]如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[审题视点]

(1)结合圆内接四边形对角互补可证CD∥AB.(2)证出四边形ABGF对角互补，即可证出四点共圆．[证明]

(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A、B、C、D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，那么△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．证明四点共圆的主要方法是利用其判定定理及推论，即通过证明四边形的一组对角互补或一个外角等于它的内角的对角实现．[变式探究][2021·泰兴模拟]如图，AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．解：(1)证明：连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解：由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.例2[2021·银川模拟]如下图，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．(1)求证：AD∥OC；(2)假设⊙O的半径为1，求AD·OC的值．[解](1)证明：如图，连接BD、OD.∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC.∴∠2＋∠3＝90°.又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1＋∠2＝90°.∴∠1＝∠3，∴AD∥OC.(2)∵AO＝OD，那么∠1＝∠A＝∠3，∴Rt△BAD∽Rt△COD，AD·OC＝AB·OD＝2.奇思妙想：在本例中，假设AD·OC的值是4，求⊙O的半径．解：∵AO＝OD，∴∠1＝∠A.∵∠1＝∠3，∴∠A＝∠3.∵∠BDA＝∠CDO＝90°，∴Rt△BAD∽Rt△COD.在解有关切线问题的题目时，从以下几个方面进行思考：(1)见到切线，要想到它垂直于过切点的半(直)径；(2)假设过切点有垂线，那么必过圆心；(3)过切点假设有弦，那么想弦切角定理；(4)假设切线与一条割线相交，那么想切割线定理；(5)假设有两条切线相交，那么想切线长定理，并要熟悉这里存在一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形．[变式探究]如图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过点C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，D为垂足，且AD与圆O交于点E，求∠DAC的大小与线段AE的长．[审题视点]此题条件中，直线CD为 圆的切线，故考虑利用切割定理建立等量 关系，再化简证之．涉及与圆有关的成比例线段或等积线段(有时需转化为成比例的线段)的证明，①利用相似三角形的性质在相似三角形中寻找比例线段．②利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．③利用角平分线对边成比例．[变式探究][2021·揭阳模拟]如图，过△ABC的顶点A的圆与边BC切于点P，与边AB、AC分别交于点M、N，且CN＝2BM，点N、P分别为AC、BC的中点．求证：AM＝7BM.解析：由切割线定理，得BP2＝BM·BA，CP2＝CN·CA.因为P是BC的中点，所以BM·BA＝CN·CA.又点N是AC的中点，所以BM·(BM＋AM)＝2CN2.又因为CN＝2BM，所以BM·(BM＋AM)＝8BM2，所以AM＝7BM.经典演练提能1.[2021·湖北高考]如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，那么CD的最大值为________．答案：2解析：连接OC，那么OD⊥CD知，OD2＋CD2＝OC2.要使CD最大，那么OD最小；当OD⊥AB时，OD最小，此时CD＝2.2.[2021·陕西高考]如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，假设AB＝6，AE＝1，那么DF·DB＝________.答案：5解析：由三角形相似可得DE2＝DF·DB，连接AD，那么DE2＝AE·EB＝1×5＝5.所以DF·DB＝5.3.[2021·广东高考]如以下图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.假设AD＝m，AC＝n，那么AB＝________.4.[2021·江苏高考]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：