《平面几何中的向量方法》设计

6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例【教学目标】1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．【教学重点】掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．【教学难点】体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题⑵通过向量运算，研究几何元素之间的元素，如距离、夹角等问题.⑶把运算结果“翻译”成几何关系.思考1用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD?[提示]法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up14(→))和eq\o(CD,\s\up14(→))；③证明eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.法二：先求eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))的坐标，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(x2，y2)，再计算eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.思考2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD?[提示]法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up14(→))和eq\o(CD,\s\up14(→))；③寻找实数λ，使eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(CD,\s\up14(→))，即eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))；④给出几何结论AB∥CD.法二：先求eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))的坐标，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))，再给出几何结论AB∥CD.以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))得到AB∥CD.2.向量在物理中的应用⑴物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.⑵向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中⑶动量是向量的数乘运算.⑷功是力和位移的数量积思考3.向量的数量积与功有什么联系？[提示]物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．小试牛刀1.若向量eq\o(OF1,\s\up10(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up10(→))＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(5,0)B．(－5,0)C.eq\r(5)D．－eq\r(5)C解析：F1＋F2＝eq\o(OF1,\s\up10(→))＋eq\o(OF2,\s\up10(→))＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝eq\r(－22＋－12)＝eq\r(5).已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()A．A，B，C三点共线B.eq\o(AB,\s\up10(→))⊥eq\o(BC,\s\up10(→))C．A，B，C是等腰三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点D解析：因为eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－2,0)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(2,4)，所以eq\o(BC,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝－4<0，所以∠C是钝角．4.力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．－11解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.例题讲授【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【思路点拨】方法一：用一组基底表示，然后求解即得.方法二：以分别为建立直角坐标系，求得坐标，利用可得.[证明]证法一：设eq\o(AD,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(AE,\s\up15(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up15(→))·eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up15(→))⊥eq\o(DE,\s\up15(→))，即AF⊥DE.证法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq\o(AF,\s\up15(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up15(→))＝(1，－2)．因为eq\o(AF,\s\up15(→))·eq\o(DE,\s\up15(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up15(→))⊥eq\o(DE,\s\up15(→))，即AF⊥DE.方法总结向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.当堂练习1如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.证明：方法一设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，所以eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝(eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→)))·(eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→)))＝eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.方法二设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up10(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up10(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq\f(1,2)DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．【思路点拨】⑴向量用和表示，再由可得.⑵利用即得.【解】(1)设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.所以|eq\o(AD,\s\up16(→))|2＝eq\o(AD,\s\up16(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)a2＋2·eq\f(2,9)a·b＋eq\f(1,9)b2＝eq\f(4,9)×9＋2×eq\f(2,9)×3×3×cos120°＋eq\f(1,9)×9＝3.故AD＝eq\r(3).(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AC,\s\up16(→))的夹角．因为cosθ＝eq\f(\o(AD,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AD,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq\f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq\f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×cos120°,3\r(3))＝0，所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.方法总结利用向量法解决长度问题的方法(1)基向量法：利用图形特点选择基底，应用向量的数量积转化公式求解.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，若，则当堂练习2在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，则|eq\o(AP,\s\up16(→))|等于解析∵eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴|eq\o(AP,\s\up16(→))|＝1.例3⑴两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：①F1，F2分别对该质点做的功；②F1，F2的合力F对该质点做的功.⑵一条宽为eq\r(,3)km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝eq\r(,3)km，船在水中最大航速为4km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？[思路探究](1)eq\x(求出合力、位移的坐标表示)→eq\x(利用数量积求功)⑵应用平行四边形法则可得【解】⑴eq\o(AB,\s\up16(→))＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.①F1做的功W1＝F1·s＝F1·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28.F2做的功W2＝F2·s＝F2·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.②F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.⑵如图所示，设eq\o(AC,\s\up14(→))为水流速度，eq\o(AD,\s\up14(→))为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，