高中数学几何证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。AEHBDFGC证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH1BD2同理，FG//BD,FG1BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。2(2)90°30°考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。ABCACCEABE证明：（1）BEAEADBDBC同理，DEABAEBE又∵CEDEE∴AB平面CDED（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC考点：线面垂直，面面垂直的判断3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，A1D1求证：A1C//平面BDE。证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为三角形AAC的中位线∴EO//AC11又EO在平面BDE内，AC在平面BDE外1∴AC//平面BDE。1考点：线面平行的判断4、已知ABC中ACB90o,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．证明：∵ACB90°BCAC又SA面ABCSABCBC面SACBCAD又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判断5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１)1∥面AB1D1；(2)AC1面AB1D1．CO证明：（1）连接A1C1，设A1C1B1D1O1，连接AO1∵ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形A1C1∥AC且A1C1AC又11AO且O1C1AOO1,O分别是A1C1,AC的中点，∴OC∥AOC1O1是平行四边形C1O∥AO1,AO1面AB1D1，C1O1面AB1D1∴CO∥面AB1D1（2）QCC1面A1B1C1D1CC1B1D!又∵A1C1B1D1，B1D1面AC11C即AC1B1D1同理可证A1CAD1，又D1B1AD1D1AC1面AB1D1考点：线面平行的判断（利用平行四边形），线面垂直的判断6、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）AC平面B'D'DB；（2）BD'平面ACB'.考点：线面垂直的判断7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；1DC1(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．B1A1证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，F又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，EDGC∴∥平面11．BDBDCA同理1∥平面11．BADBDC而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．考点：线面平行的判断（利用平行四边形）8、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB90o，AB（1）求证：MNAB；（2）当APB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连接MQ,NQ，∵M是PB的中点，∴MQ//BC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连接PD，∵PAPB,∴PDAB，又AN3NB，∴BNNDMNAB∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得（2）∵APB90o，PAPB,∴PD1AB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且2MQ1BC1，∴MN22考点：三垂线定理10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG∵D1GEB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDGEFD1EE，平面D1EF∥平面BDG考点：线面平行的判断（利用三角形中位线）11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.1）求证：A1C//平面BDE；2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是AA1、AC的中点，A1C∥EO又AC平面BDE，EO平面BDE，AC∥平面BDE11（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD又BDAC，ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC考点：线面平行的判断（利用三角形中位线），面面垂直的判断12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE中，AD2AE2DE2，AEDE∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角在RtPAD，PD42，在RtDCE中，DE22在RtDEP中，PD2DE，DPE300考点：线面垂直的判断,构造直角三角形13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小．证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB又BGAD，AD∥BC，BGBCPBG为二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PGBG，PBG450考点：线面垂直的判断,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：AO1平面MBD．证明：连接MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1平面A1ACC1∴DB⊥A1O．设正方体棱长为a，则A1O23a2，MO23a2．2924在Rt△ACM中，A1Ma2．∵A1O2MO2A1M2，∴AOOM．1141OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD．考点：线面垂直的判断，运用勾股定理追求线线垂直15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连接CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．∵ADBD，∴DFAB．又CFIDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDFCDAB．，∴又CDBE，BEABB，∴CD平面ABECDAH．，∵AHCD，AHBE，CDBEE，AH平面BCD．考点：线面垂直的判断16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D证明：连接ACBD⊥AC∴AC为A1C在平面AC上的射影考点：线面垂直的判断，三垂线定理17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=6