数学建模-概率模型

概率模型一、概率论的诞生及应用二、常染色体遗传模型三、随机决策模型四、允许缺货的存储模型

1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢

c局便算赢家,若在一赌徒胜

a局

(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.（一）概率论的诞生及应用1.概率论的诞生2.概率论的应用

概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律.概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,确定性现象

“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象确定性现象的特征

条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.

随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.实例2

明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨.特征:条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系

,其数量关系无法用函数加以描述.1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.3、概率的定义Andrey

NikolaevichKolmogorov1903.4--1987.101）等可能概型(古典概型)定义

设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:

古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球(2)有放回地摸球例1

某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周内接待12次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为例2

假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.64个人生日各不相同的概率为故64个人中至少有2人生日相同的概率为解说明我们利用软件包进行数值计算.确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型(二)常染色体遗传模型1.常染色体遗传是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型。说明2.假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有三种可能基因型：AA、AB和BB。例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。3.当一个亲体的基因型为AB，另一个亲体的基因型为BB时，那么后代可以从基因型BB中得到基因B，从基因型AB中得到A或B，且等可能的得到。问题的提出

某植物园中的一种植物的基因型为AA、AB和BB，现采用AA型植物与每一种基因植物相结合的方案培育后代。试组建数学模型进行预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型的分布情况。模型假设1)按说明3，后代从上一代亲体中继承基因A或B是等可能的，则可计算得到双亲体基因型的所有可能结合，是其后代形成每种基因型的概率分布情况如下表：下一代的基因型(n代)上一代父母的基因型(n-1代)

AA--AAAA--ABAA--BBAB--AB

AB--BBBB--BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21

：第n代植物中基因型为AA的植物总数的百分率；

：第n代植物中基因型为AB的植物总数的百分率；

：第n代植物中基因型为BB的植物总数的百分率；

：第n代植物中基因型的分布率；即有则特别当n=0时，称为植物基因型的初始分布率。模型建立

首先考虑第n代中的AA型，按前表所给数据，第n代AA型所占百分率为同理，可得第n代的AB和BB型所占百分率，并联立三式得：用矩阵形式表示，可得：简洁地表示为：其中由上式递推，可得第n代基因型分布的数学模型问题转化为了对的求解，设法将M转化为对角阵模型求解将M对角化，就是求可逆矩阵P，使则，即其中Λ为对角阵，其对角元素为M的特征值，P为M的特征值所对应的特征向量。得M的特征值为解方程组将分别代入方程组求解，分别得到三个特征向量为：解行列式以三个特征值为对角元素构成对角阵Λ，以三个特征向量为列构成可逆阵P，即：又，于是得到从而或写成模型分析(1)由上式可见，当n∞时，有即当繁殖后代数目很大时，所培育出的植物基本上呈现的是AA型，AB型极少，BB型根本就不存在。(2)本例基本思路用到了概率论中的知识，而在求解过程中则巧妙的利用了矩阵来表示概率分布。作业选用AB型或BB型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果

(三)随机决策模型

决策问题是人们在政治、军事、社会、经济以及我们的日常生活、学习中经常会碰到的问题。例如：在有多余资金时，应如何支配资金，就需要我们对以下方案作出决策：方案一：存入银行，保险又增值，但相对收入低一些；方案二：投资房地产，买股票，买期货等这些方案，带有较大的风险性，但相对收入比存入银行高的多。决策问题分类：

确定性决策

不确定性决策

风险性决策(主要研究问题)

主要介绍：1.风险决策模型的概念

2.风险决策模型的求解方法3.例题分析有关概念风险决策是指在作出决策时往往有某些随机性的因素影响，而决策者对这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或可估算出来，这种决策因存在一定的风险而称为风险型决策。2.基本要素：(1)决策者(2)方案或策略(3)准则：衡量所选方案正确性的标准。一般以期望的效益值为准则，即根据每个方案的数学期望值作出判断。(概率论的有关知识)(4)事件或状态：不为决策者所控制的客观存在的且将发生的自然状态(5)结果：事件发生带来的收益或损失值。3.解决方法

决策树法：利用树形图法表示决策过程。解决方法例1：某渔船对下个月是否出海打鱼作出决策，若出海后是好天，则可获益5000元；若出海后天气变坏，将损失2000元；若不出海，无论天气好坏，都承担1000元损失。根据预测，下个月好天的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，应如何选择最佳方案？？决策树的画法ABC决策结点状态节点概率分支收益值或损失值策略分支由此得到例1的决策树为ABC天气好0.6天气坏0.4天气好0.6天气好0.45000元-2000元-1000元-1000元出海不出海注意：1)决策树是由左向右画，画的过程中同时将各种已知数据标于相应的位置上，这样的树形图即为本题的数学模型。2)求解过程与画决策树顺序正好相反，即由右向左进行，先计算右端的每个状态节点的期望值模型建立2200-1000模型求解先计算出海的期望值，将出海收益作为随机变量，相应的天气情况的概率作为概率，则概率分布列为x5000-2000P0.60.4则数学期望EX=5000*0.6+(-2000)*0.4=2200,此为状态结点B的数学期望值，标于B的上方。

同理将不出海的效益作为随机变量，求出期望值为EX=(-1000)*0.6+(-1000)*0.4=-1000,标于C的上方。模型分析比较这两个期望值，显然出海的期望值比较大，从而剪去不出海决策枝，选择出海作为最终决策。施工决策问题某建筑工程用正常速度施工，若以天气正常，30天即可完工，但预测15天后天气将转坏，其中40%的可能为不影响施工的阴雨天；50%的可能遇到暴雨，使工期推15天；10%的可能遇到台风，是工期推20天。面对这种情况有两个方案可供选择：方案(一)：提前紧急加班，在天气变坏之前完工，但需多支付18000元的工资。方案(二)：不提前加班，15天后再做决策：(1)遇阴雨天，按时完工；(2)遇暴雨：不采取措施，需支付工程延期费20000元；采取措施，有三种可能：可能1：50%减少误工1天，损失费24000元；可能2：30%减少误工2天，损失费18000元；可能3：20%减少误工3天，损失费12000元。(3)遇台风：不采取措施，损失费50000元；采取措施，三种可能：1、70%减少误工2天，损失费54000元；2、20%减少误工3天，损失费46000元；3、10%减少误工4天，损失费38000元.试对以上问题做出决策选出最佳方案。模型建立ABCEDF提前加班阴雨0.4暴雨0.5台风0.1应急措施正常施工应急措施正常施工少1天0.5少2天0.3少3天0.2少2天0.7少3天0.2少4天0.1-180000元-24000-18000-12000-20000-54000-46000-38000-50000-50000模型求解1.一级决策状态结点E处的数学期望为(-54000)*0.7+(-46000)*0.2+(-38000)*0.1=-50800,状态结点F处的数学期望为(-24000)*0.5+(-18000)*0.3+(-12000)*0.2=-19800.2.二级决策状态节点B处数学期望为-(0.4*0+19800*0.5+0.1*50000)=-14900结论：

最佳决策是不用提前加班，等15天后，若遇阴雨天或台风都只需顺其自然，按原来的速度施工，而遇到暴雨则应采取应急措施。

此决策方案支付的数学期望是14900元。作业2某公司根据市场预测值，生产的产品会有较大规模的需求量，而目前的产量明显不足。现行状态是公司当前的雇员用每周40小时的正常工作时间运作着，为了提高产量，公司决策集团提出了两种新的方案：1.利用现有雇员进行超时工作；2.增加新设备。

又市场分析专家认定：1.对产品需求增加15%的可能性为60%2.经济恶化，需求实际下降5%的可能性为40%。信息列于下表中行动下降5%（40%）增加15%(60%)保持当前水平300000340000员工超时工作300000420000增加新设备260000440000自然状态四、随机型存储模型存储问题的数学模型涉及以下的主要经济变量：1.需求量：某种物资在单位时间内的需求量，以D表示，如年需求量、月需求量、日需求量。需求量有时是常量，而在许多情况下则是随机变量，这时它的变化规律应当是能够掌握的.对需求量进行科学地预测和估计是解决存储问题的重要依据.2.批量：为补充存储而供应一批物资的数量称为批量，以Q表示.由外部订货供应的批量称为订货批量；由内部生产供应的批量称为生产批量.3.货点:为补充存储而发生订货时的存储水平，以R表示.4.备运期：发生订货的时间与实际收到订货入库的时间的间隔.5．存储费：保管存货的费用，包括存储所占用资金的利息、仓库和场地费用、物资的存储损耗费用、物资的税金、保险费用等，以表示.6．订货费：为补充存储而订货所支付的费用，包括准备和发出订货单的费用、货物的堆放和装运的费用等，以K表示.7．缺货损失费：发生需求时，存储不能提供而引起的费用，包括利润的损失、信誉的损失、停工待料的损失以及没有履行交货合同的罚款等，以表示.存储费、订货费和缺货损失费构成了库存的总费用，即总费用=存储费+订货费+缺货损失费.使总费用最小是建立和求解存储模型的主要目标.

为实现该目标，需要确定批量和订货点，这就是所谓存储决策.批量与订货点即决策变量.因而存储模型的主要形式有：

总费用=（批量）或总费用=（批量，订货点），即F=（Q）或F=（Q，R）.为了更具体理解随机性存储模型，先来看一个具体实例.考察报童问题.报童每日早晨从报社以每份报纸0.30元的批发价购得当日的日报，然后以每份0.45元的零售价售出.若卖不完，则每份报纸的积压损失费为0.30元；若不够卖，则缺一份报纸造成潜在损失的缺货损失费为0.15元.该报童对以往的销量作了连续一个月的统计，其记录如表日需求量D120130140150160频率P（D）0.150.20.30.250.1那么，报童每日应订多少份报纸，才能使总损失费最小？数学期望离散型随机变量X的概率分布为则随机变量X的数学期望值为连续型随机变量X的概率密度函数为则随机变量X的数学期望值为期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！（四）允许缺货的存储模型一、问题的提出在商店里，若存储商品数量不足，会发生缺货现象，就失去销售机会而减少利润；如果存量过多，一时售不出去，会造成商品积压，占用流动资金过多且周转不开，这样也要造成经济损失．那么如何制定最优存储策略呢？这就面临着市场需求的随机性问题，试建立数学型，制定最优存储策略．二、模型假设

允许缺货，缺货费为C2需求是连续的、均匀的,需求速度R为常数，时间t的需求量Rt

每次定货量不变，定货费C3

不变单位存储费不变,记为C1

存储量与时间关系图QTOS

三、模型建立假设最初存储量为

可以满足

时间段的需求

平均存储量为

平均缺货量为

在t时间内所需存储费：

订货费：

在t时间内的缺货费：

平均总费用：

求最佳存储策略,使平均总费用最小.

四、模型求解利用多元函数求极值的方法求解

当C2很大时（不允许缺货）

结果分析

两次订货间隔时间延长

在允许缺货的情况下订货量

存储量

时间内的缺货量

五、模型的分析与推广

这里的模型是在假定需求是连续均匀的，且需求速度为常数.

事实上在大多实际问题中需求速度是随机的，这样模型的使用受到了一定的局限．

例一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元，问该鞋店多少天批发一次最好，进货量为多少？最佳进货周期（天）

进货量

（双）不允许缺货例题(五)报童的诀窍问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。1.确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式每天的总收入为目标变量每天购进报纸的份数为设计变量3.寻找约束条件设计变量所受的限制问题分析寻找设计变量与目标变量之间的关系若每天购进0份，则收入为0。若每天购进1份，售出，则收入为a-b。退回，则收入为–(b-c)。若每天购进2份，售出1份，则收入为a-b–(b-c)

。退回，则收入为–2(b-c)。售出2份，则收入为2(a-b)

。收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。1设每天购进n份，日平均收入为G(n)3每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…2售出一份赚a-b；退回一份赔b-c模型假设与符号说明求n使G(n)最大每天的收入函数记为U(n)，则收入函数的期望值为模型建立将r视为连续变量模型求解使报童日平均收入达到最大的购进量应满足上式。因为售完的概率因为当购进份报纸时，是需求量不超过的概率是需求量超过的概率售不完的概率上式意义为：购进的份数之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。应该使卖不完与卖完的概率根据需求量的概率密度的图形可以确定购进量在图中用分别表示曲线下的两块面积，则Onr当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。结论求解的几何意义利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？举例查概率积分表得（六）随机人口模型背景

一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区平均生育率平均死亡率确定性模型一个家族或村落出生概率死亡概率随机性模型对象X(