直线的两点式方程

关于直线的两点式方程第一页，共二十七页，2022年，8月28日

y=kx+b

y-

y0=k(x-

x0

)k为斜率，P0(x0,y0)为直线上的一定点k为斜率，b为截距1).直线的点斜式方程：2).直线的斜截式方程：第二页，共二十七页，2022年，8月28日

解：设直线方程为：y=kx+b例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．一般做法：由已知得：解方程组得：所以:直线方程为:y=x+2方程思想第三页，共二十七页，2022年，8月28日还有其他做法吗？

为什么可以这样做，这样做的根据是什么？第四页，共二十七页，2022年，8月28日即：得:y=x+2

设P(x,y)为直线上不同于P1,

P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：

二、直线的两点式方程第五页，共二十七页，2022年，8月28日

已知两点P1(x1,

y1),P2(x2,

y2),求通过这两点的直线方程．解：设点P(x,y)是直线上不同于P1,

P2的点．可得直线的两点式方程：∴∵

kPP1=kP1P2记忆特点：1.左边全为y，右边全为x2.两边的分母全为常数

3.分子，分母中的减数相同

推广第六页，共二十七页，2022年，8月28日不是!

是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？

两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．注意：

当x1＝x2或y1=

y2时,直线P1P2没有两点式程.(因为x1＝x2或y1=

y2时,两点式的分母为零,没有意义)

那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?？第七页，共二十七页，2022年，8月28日

若点P1(x1,

y1),P2(

x2,

y2)中有x1＝x2,或y1=

y2,此时过这两点的直线方程是什么?当x1＝x2

时方程为：x

＝x１当y1=

y2时方程为：y=

y１第八页，共二十七页，2022年，8月28日

例2:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l

的方程．解:将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得:即所以直线l的方程为：四、直线的截距式方程第九页，共二十七页，2022年，8月28日②截距可是正数,负数和零

注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线

直线与x轴的交点(a,o)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?截距式直线方程:

直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距第十页，共二十七页，2022年，8月28日⑴过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?解:⑴

两条例3:那还有一条呢？y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0a=3把(1,2)代入得：设:直线的方程为:

举例第十一页，共二十七页，2022年，8月28日解：三条

(2)过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?

解得：a=b=3或a=-b=-1直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x设截距可是正数,负数和零第十二页，共二十七页，2022年，8月28日

例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，

B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线

方程，以及该边上中线的直线方程.解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：整理得：5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程.

举例第十三页，共二十七页，2022年，8月28日

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：即整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程.

过A(-5,0),M的直线方程M第十四页，共二十七页，2022年，8月28日中点坐标公式：则

若P1，P2坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)且中点M的坐标为(x,y).∵B(3,-3),C(0,2)∴M即M第十五页，共二十七页，2022年，8月28日

已知直线l:2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l

1的方程.

解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).

当x=-2时,y=1.

点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).

那么,点(2,7),(4,3)在l

1上.因此,直线l

1的方程为：化简得:2x+y-11=0

思考题第十六页，共二十七页，2022年，8月28日还有其它的方法吗？∵

l∥l

1，所以l

与l

1的斜率相同∴

kl1=-2经计算，l

1过点(4,3)所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)化简得：2x+y-11=0第十七页，共二十七页，2022年，8月28日名称

几何条件

方程

局限性

归纳直线方程的四种具体形式第十八页，共二十七页，2022年，8月28日(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？(2)每一个关于x,y的二元一次方程都表示直线吗？

思考第十九页，共二十七页，2022年，8月28日分析：直线方程二元一次方程(2)当斜率不存在时L可表示为x-x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程.(x-x0+0y=0)结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y

的二元一次方程表示.(1)当斜率存在时L可表示为y=kx+b

或y-y0=k(x-x0)

显然为二元一次方程.第二十页，共二十七页，2022年，8月28日即：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？（1）当B0时，方程可变形为它表示过点，斜率为的直线.

（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为，它表示一条与y

轴平行或重合的直线.结论2:关于x,y

的二元一次方程,它都表示一条直线.直线方程二元一次方程第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日由1，2可知：直线方程二元一次方程定义：我们把关于x,y

的二元一次方程

Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)

叫做直线的一般式方程，简称一般式.

定义第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日

在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴：（2）平行于y轴：（3）与x轴重合：（4）与y轴重合：分析:(1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,在x轴上的截距不为0．即A=0,B0,C0.(2)B=0,A0,C0.(3)A=0,C=0,B0.(4)B=0,C=0,A0.

探究第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日例1

已知直线过点A(6，4)，斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.解：代入点斜式方程有y+4=(x-6).

化成一般式，得

4x+3y-12=0.

举例第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日例2

把直线L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.解：化成斜截式方程

y=x+3

因此，斜率为k=,它在y轴上的截距是3.

令y=0得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.

由以上可知L与x

轴,y轴的交点分别为A(-6，0)B(0，3),过A，B做直线,为L的图形.

举例第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日m,n为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0，且两条直线的斜率分别为但由于