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第六章系统的性能指标与校正

§6.1系统的性能指标系统的性能指标，按其类型可以分为（1）时域性能指标，包括瞬态性能指标和稳态性能指标；（2）频域性能指标，（3）综合性能指标（误差准则）一、

时域性能指标1、瞬态性能指标（1）延迟时间td（2）上升时间tr（3）峰值时间tp（4）最大超调量或最大百分比超调量Mp（5）调整时间或过渡过程时间ts2、稳态性能指标它是指过渡过程结束后，实际的输出量与希望的输出量之间的偏差——稳态误差二、频域性能指标频域的主要性能指标如下：（1）相位裕度γ（2）幅值裕度Kg（3）复现频率ωm及复现带宽0~ωm（4）谐振频率ωr及谐振峰值Mr，Mr=Amax（5）截止频率ωb及截止带宽0~ωb频域性能指标与时域性能指标之间有一定的关系，如峰值时间和过渡过程时间都与系统的带宽有关。可以证明，ωbtp及ωbts都是系统阻尼比的函数。因此，当系统的阻尼比给定后，ωbtp及ωbts都是常数，故系统的截止频率ωb与tp及ts都呈反比关系，或者说，系统的带宽越大，该系统的快速性越好。这表明，带宽表征了系统的响应速度。例系统1

系统2三、

综合性能指标

1、误差积分性能指标在输入为阶跃，输出无超调量的情况下，误差e(t)总是单调的。因此，系统的综合性能指标可以取为：例可见，K越大，I越小。从减小I值看，K越大越好。但是K值的增大会影响系统的稳定性。

2、误差平方积分性能指标当输入为阶跃，输出有振荡时，常取误差平方积分作为系统的综合性能指标，即特点：重视大的误差，忽略小的误差。3、广义误差平方积分性能指标

取α为给定的加权系数，因此最优系统就是使此性能指标取极小的系统。特点：既不允许大的动态误差长期存在，又不允许大的误差变化率长期存在。§6.2系统的校正一、校正的概念二、校正分类

§6.3串联校正串联校正按校正环节的性质分为（1）增益调整；（2）相位超前校正；（3）相位滞后校正；（4）相位滞后——超前校正。

一、相位超前校正

1相位超前校正原理及其频率特性

高通滤波器当s很小时，即低频时，

相当于比例环节；

相当于比例微分环节；

此环节不起作用。

当s较小时，即中频时，当s很大时，即高频时，采用相位超前校正，加大了系统的剪切频率，截止频率，其结果加大了系统的带宽，加快了系统的响应速度；还有可能加大相位裕度，结果加大了系统的相对稳定性。稳定性能指标：单位恒速输入时的稳态误差ess=0.05；频域性能指标：相位裕度γ≥50º，幅值裕度20lgKg≥10dB。2、采用Bode图进行相位超前校正校正前相位裕度γ=17º<50º，幅值裕度20lgKg≥10dB，系统稳定，但不满足要求。相位超前量

在这点上校正前增益为-6.2dB，校正后应为0dB，所以校正环节在这一点上的幅值为为了补偿超前校正造成的幅值衰减，原开环增益需增加K1倍。校正后的系统传递函数

相位超前校正增大了相位裕度，加大了带宽。意味着提高了相对稳定性，加快了系统的响应速度，使过渡过程得到显著改善。但由于系统的增益和型次未变，所以稳定精度没有得到提高。

稳定性能指标：单位恒速输入时的稳态误差ess=0.1；频域性能指标：谐振峰值Mr<1.53、采用Nyquist图进行相位超前校正设在ω=6s-1时有最大的超前相位，约为25°二、相位滞后校正

1、相位滞后校正原理及其频率特性当s很小时，即低频时，此环节不起作用；

相当于比例积分环节加一阶微分环节；相当于比例环节。当s较小时，即中频时，

当s很大时，即高频时，滞后校正环节是一个低通滤波器。滞后校正的机理并不是相位滞后，而是使得大于1/T的高频段的增益全部下降，相位变化很小。因此，β和T要尽可能大。常用的为β=10和T=3~5s。采用Bode图进行相位滞后校正设单位反馈系统稳定性能指标：单位恒速输入时的稳态误差ess=0.2；频域指标：相位裕度γ≥40º，幅值裕度20lgKg≥10dB。校正前相位裕度γ=-20º，幅值裕度20lgKg=-8dB，系统不稳定。相位滞后校正能有效地改进系统的稳定性，但相位滞后校正后，相位裕度有所下降，对给定的相位裕度要增加5~12º做补偿。取相位裕度为50º，对应的剪切频率为0.6s-1，已校正的系统剪切频率选为0.5s-1。相位滞后校正环节的零点转角频率ωT应远低于已校正的系统剪切频率ωc，选ωc/ωT=5，

ωT=ωc/5=0.5/5=0.1s-1T=1/ωT=1/0.1=10s要使ω=0.5s-1成为已校正的系统剪切频率，须将该点的幅频特性移动-20dB，即相位滞后校正环节的频率特性相位滞后校正能有效地改进系统的稳定性，但由于校正后开环系统的剪切频率下降，闭环系统的频宽也随之下降。三、相位滞后——超前校正

1、相位滞后——超前校正原理及其频率特性超前校正滞后校正

β=10，T1=0.25，T2=1滞后在先，超前在后。高频段和低频段均无衰减。2、采用Bode图进行相位滞后——超前校正稳定性能指标：单位恒速输入时的稳态误差ess=0.1；频域指标：相位裕度γ≥50º，幅值裕度20lgKg≥10dB。校正前相位裕度γ=-32º，幅值裕度20lgKg=-13dB，系统不稳定。采用超前校正，使相位在ω=0.4s-1以上超前。但是单纯采用超前校正，则低频段衰减太大；若附加增益，则剪切频率ωc右移，ωc仍可能在交接频率ωg右边，系统仍然不稳定。因此，在此基础上，在采用滞后校正，可是低频段有所衰减，有利于ωc左移。选未校正前的相位交接频率ωg=1.5s-1为新的系统剪切频率，则相位裕度γ=40º+10º=50º。滞后环节零点转折频率远低于ω=1.5s-1，即ωT2=1.5/10=0.15s-1，T2=1/ωT2=1/0.15=6.67s。选β=10，则极点转折频率为1/(βT2)=0.015s-1，

滞后环节频率特性

ω=1.5s-1作为校正后的剪切频率，幅值约为13dB，超前环节应产生相同的幅值。在Bode图上过点（1.5s-1，-13dB）作斜率为20dB/dec的斜率，它和零分贝线及-20dB线的交点就是超前环节的极点和零点转折频率。零点转折频率ωT1≈0.7s-1，T1=1/ωT1=1/0.7s，极点转折频率为7s-1。超前环节频率特性原系统超前校正滞后校正滞后——超前校正滞后——超前校正§6.4PID校正

无源校正环节：本身没有放大作用，而且输入阻抗低，输出阻抗高。有源校正环节：一般由运算放大器和电阻、电容组成，也称为调节器。PID调节器：即偏差的比例（Proportional）、积分（Integral）和微分（Derivative）。一、PID控制规律所谓PID控制规律，就是一种对偏差ε(t)进行比例、积分和微分变换的控制规律，即

其中，为比例控制项；为积分控制项；为微分控制项。1、PD调节器Kp=1时的频率特性采用PD控制后，相位裕度增加，稳定性增强；幅值穿越频率增加，系统的快速性提高。PD控制提高了系统的动态性能，但高频增益上升，抗干扰的能力减弱。PD校正相位超前2、PI调节器Kp=1时的频率特性

PI控制后，系统从0型提高到了I型，系统的稳态误差得以消除或减少，但相位裕量有所减小，稳定程度变差。PI校正相位滞后3、PID调节器Kp=1时的频率特性PID调节器在低频起积分作用，改善系统的稳态性能；在中频起微分作用，改善系统的动态性能。PID校正相位滞后超前PID控制作用如下：（1）比例系数Kp直接决定控制作用的强弱，加大Kp可以减少系统的稳态误差，提高系统的动态响应速度，但Kp不能过大。（2）在比例调节的基础上加上积分控制可以消除系统的稳态误差，因为只要存在偏差，它的积分所产生的控制量总是用来消除稳态误差的，直到积分的值为零，控制作用才停止。但它将使系统的动态过程变慢，而且过强的积分作用使系统的超调量增大，从而使系统的稳定性变坏。（3）微分的作用是跟偏差的变化速度有关的。微分控制能够预测偏差，产生超前的校正作用，它有助于减少超调，克服振荡，使系统趋于稳定，并能加快系统的动作速度，减少调整时间，从而改善了系统的动态性能。微分作用的不足之处是放大了噪声信号。二、PID校正环节

1、PD校正环节2、PI校正环节3、PID校正环节三、PID调节器设计

1、二阶系统最优模型开环传递函数为

单位反馈系统闭环传递函数为

2、高阶系统最优模型

这个模型既保证了中频段斜率为-20dB/dec，又使低频段有更大的斜率，提高了系统的稳态精度。显然，它的性能比二阶最优模型高。

在初步设计时，可以取ωc=ω3/2；中频段宽度h选为7～12个ω2

，如果希望进一步增大稳定裕量，可把h增大到15～18个ω2。试设计有源校正装置使系统Kv≥40，ωc≥50rad/s，相位裕度γ≥50º。例

为保证系统的稳态精度，提高系统的动态性能，选串联PD校正。校正前开环传递函数为使校正后的开环Bode图为希望二阶最优模型，可消去未校正环节的一个极点，令Td=0.15s，则校正前P校正PD校正PI校正PID校正§6.5反馈校正

控制系统采用反馈校正后，除了能收到与串联校正同样效果外，还能消除系统的不可变部分中为反馈所包围的那部分环节的参数波动对系统性能的影响。一、位置反馈校正二、速度反馈校正一、位置反馈校正校正后系统型次未变，但时间常数T下降为T/(1+K1)，即惯性减弱，这导致过渡过程时间ts(=4T)缩短，响应速度加快；同时系统的增益K1由下降到K1/(1+K1)。例滚齿机差动机构，是一种具有两个自由度的机构。假设中心齿轮z1和转臂m为主动，中心齿轮z4为被动。他们分别以xi(t),xm(t)和xo(t)的转速转动。（1）设转臂不动（2）设中心齿轮z1不动Xi(t)=0时，用反转法求得差动机构的传动比为2，故反馈回路总的传动比为2p，即H(s)=2p。（1）当机床调整好后，p是一常数，系统为位置反馈。（2）调整p，便可获得不同的输入输出转速，满足滚刀与工件相对运动的要求。二、速度反馈校正校正后系统型次未变，但时间常数由T下降为T/(1+Kα)，响应速度加快；同时系统的增益K1由下降到K/(1+Kα)。例§6.6顺馈校正

（1）顺馈校正的特点是不依靠偏差而直接测量干扰，在干扰引起误差之前就对它进行近似补偿，及时消除干扰的影响。因此，对系统进行顺馈补偿的前提是干扰可以测出。（2）当增加顺馈校正后，使G(s)=1，即Xo(s)=Xi(s)，所以E(s)=0。这称为全补偿的顺馈校正。（3）当增加顺馈校正后，稳定性不受影响，因为系统的特征方程没变。这是因为顺馈补偿为开环补偿，其传递路线没有参加到原闭环回路中去。例液压仿形刀架根据任意三角形的关系，触头运动速度为Ⅰ型系统，在单位恒速输入时稳态偏差为在vi恒速输入时稳态偏差为采用顺馈校正后为实现Gc(s)=s/K，只要将模板平移一段，即沿工件纵进给方向逆移L距离即可。这等于输入量xi(t)导前一段时间Td，而成为xi(t+Td)。校正前输入xi(t)，校正后输入xi(t+Td)，拉氏变换后得生产实践证明，将靠模逆着刀架纵进给方向敲一敲，只要其量适当，就能提高仿形车削精度。也就是移动靠模，造成一个阶跃输入，从理论上讲，这相当于顺馈补偿。Xo(s)Xi’(s)++_+G(s)Tds输出反馈的对数频率特性校正例1要求kv=20,γ≥50(kg≥10dB)解：调整k满足稳态性能，再加领先校正满足动态性能1设k=20低频段ω＝120lg20=26,-20转折频率输出反馈的对数频率特性校正求相角裕量72012ωc-20-40输出反馈的对数频率特性校正2、对消法注输出反馈的对数频率特性校正3、作图法使即若要求γ≥50，则校正装置应提供：Φm≈500-200+50=350(裕量)输出反馈的对数频率特性校正校正时，将ωm放置在新的ωc’，此时可最大提升