2 群论 公理 定理 公式

定理每一个元素自逆的的群是一个阿贝尔群设群G={E=A1,气，，A}，若对^AkeG有：AA=E(A-i=A),

kk kk证明此群必为阿贝尔群。【证明】任取A.,AjEG，则有A=AAeG,A=AAeGlij kji由题给条件知AA=(AA)(AA)=A(AA)A)=AA=Elkijjiijjiii因而有4=Ak亦即AA.=AA定理重排定理定理1.1(重排定理)：在一个群的乘法表中，群中所有元素在每一行(列)中必须出现且仅能出现一次；群乘表中任意两行(列)是群中全体元素的不同的排列。重排定理告诉我们，对于VaeG，G和aG是同一个集合，只不过排列顺序不同而已，于是有下列重要推论推论重排定理的推论推论重排定理的推论推论：设G为群，f⑴（XeG）是定义在G上的函数。根据重排定理有：TOC\o"1-5"\h\z气）=&暨） （1.1）j=i j=ixeG xeGj jaeG定理由群G中一个m阶元素可以生成一sk个m阶的循环群{E=gm,&^,g2,g3,,g^1}；定理若一个n阶群中至少有一个n阶的元素，则此群必为n阶循环群。定理群的阶数与群中任何一个元素的阶数的商是一个整数；定理任何素数阶的群都是循环群。定理共轭的性质共轭是一种等价关系，满足a）自反性。即群中任何一个元素都与自身共轭。事实上，对于VAeG，总有EeG，使得：EAE-1=A；对称性。即若A是B的共轭元素，则B也是A的共轭元素；传递性。即若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭。事实上，对于VA,B,CeG，若有X,YgG，使得：XAX-1=B,YBY-1=C则必有：YBY-1=YXAX-1Y-i=ZAZ-1=C(Z=YXeG,Z-1=X-1Y-1eG)定理类的性质群中共轭的元素必在同一个类中(两个共轭元素的共轭类相同)；群中不共轭的元素属于不同的类(非共轭元素的共轭类完全不同)；群的任意两个相异类的交为零；群的所有类的和(并)等于群；第3、4条可以合并为一条：群的所有的类构成群的一个划分；类与群中任何一个元素对易，即若C是群G的一个类，则对VAeG有ACA-1=C或：AC=CA； (1.2)证：(1)VAAA-1eACA-1nAeCnAAA-1=A°eC,即AA^A-1jC；(2)又设A^eC,则必存在A§eC使得AA°A-1=A^nA^eACA-1，即CjACA-1。同一类中的元素有相同的阶数。证：设XAX-1=A^，且Am=E。则Am=(XAX-1)m=(XAX-1)(XAX-1)(XAX-1)=(XAnX-1)=E。P a a a a a定理陪集性质定理1.2设H是群G的一个子群，则有：子群和它的任何一个陪集没有共同元素，即，对任意XeG但X史H有:XHcH=HXcH=①(①表示空集和)；子群的任何两个左陪集(右陪集)要么完全相同，要么完全不同，即，对任意X,YeG但X,Y冬H有：XH=YH，或：XHcYH2HX=HY，或：HXcHY2群G的子群H群与它的所有相异左(右)陪集定义群G的一个划分*。即若群G的子群H有k-1个相异左(右)陪集XH(i=1,2,…,k-1),则iG=HuX1HuX2Hu…uX^H【证明】(1)设XHcH更①，则存在XHeXH,气eH，使得XH=H^ n X=HH-1eH显然与条件X冬H矛盾，故结论(1)成立；设XHcYH更①，则存在H,气eH，使得XH=YH.,nY-1X=HH-1eH，于是由重排定理得到Y-1XH=H nXH=YH设H共有k-1个不同的左陪集：XH,i=1,2,…,k-1i木艮据陪集的性质有：HcXH=O,i=1,2,…,k-1iXHcXH=O,i,j=1,2,...,k-1,i丰jHgG,XHgG,i=1,2,…,k-1i令： G=HuXHuX2HuuX^H显然，又因为，对VAgG,有AeH或AeXH(i=1,2,…,k-1),故AeG'。因此，iGcG由此可见G=G'。定理子群定理定理1.3设H是n阶群G的一个m阶子群，则有h=n/m必为一个整数，h称为子群的指数。【证明】设子群H共有k-1个不同的左陪集：XH,i=1,2,…,k-1,则有iG=HuXHuX2Hu…uXkH由于G=n，|HuXHuX2Hu.・・uXk1H|=km由此得到n=km，可见k=n/m是一个整数。定理子群定理推论定埋推论：该定理的一个直接推论为：群的阶与任何元素的阶的商必为整数。【证明】设AeG，且Am=E，则由A必可生成G的一个m阶循环子群(e=Am,A,A2,...,Am-1}由定理1.3得到k=n/m是一个整数。定理正规子群的性质正规子群(自轭子群、不变子群)例1.13已知H={E,C2}，为群C={E,C,C2,C3,m,mqq}的一个子群，4 4v 444尤y^v

考察该子群的性质。解：由C群的乘法表可以列出H的所有左、右陪集如下:4vC4H=HC4={C4,C4\,C3H=HC：={C3,C4}mH=Hm={m,m},mH=Hm={m,m}

x x xy y y yxbH=He={b,b},bH=He={b,b}|1 ppv v vvp稍加分析即可看出：H的任何一个左陪集与对应的右陪集相等，即XH=HX;H除与自身共轭外，没有其它共轭子群，即对PXjeG,有XHX-i=H；子群H可以表达为C群的几个类的并，即：H={£}o{C2}=CUC。4v 4 12定理不变子群定理不变子群定理1.5(1)不变子群的任何两个陪集的直积*仍然是该子群的陪集；(2)不变子群与任何一个陪集的直积等于陪集自身。【证明】(1)设H是群G的不变子群，任取X,YeG,有(XH)(YH)=X(HH)Y=XHY=XYH=ZH(Z=XYeG)(2)任取XeG，有H(XH)=(HX)H=(XH)H=X(HH)=XH注：两个陪集的积定义为：第一陪集中的元素与第二陪集中的元素依次相乘得到的集合，但重复的元素只算一次。定理商群的性质商群有下列性质:商群G/H的单位元素(幺元)为正规子群H；商群的阶数为正规子群的指数，即，若G的阶数为n,H的阶数为m,则G/H的阶数为n/m；商群G/H给出了群G的一个划分。即PK,KeG/H有KcK=①KDKDDK=G(/=n/m)事实上，由G群的任何一个子群H都可以导出G的一个划分，这个划分就是子群与其所有相异左陪集(右陪集)所组成的集合。由正规子群导出的划分就是商群G/H。定理群的结构•对任何一个群G，总有它的一个生成子集ScG，由S中各元素的幕和乘积可以生成群中所有的元素，子集中的各元素称为群的生成元。显然，若子集S中只有一个元素，那么群就是一个循环群。•若群的阶n是一个素数，则群只能有一种结构，这就是n阶循环群。定理生成集的充要条件定理1.7子集ScG是群G的一个生成集的充要条件是：G中不存在包含S的真子群。【证明】(1)设S是群G的一个生成集。若存在G的一个真子群H使得：ScHuG则由运算在子群H上的封闭性知道，由S中各元素的幂和乘积只能生成H中的元素，显然与前提矛盾，故假设不成立；(2)设S是群G的一个子集。且G的任何真子群不包含5,则令K={S中各元素的幂}d{S中各元素的乘积}显然K包含S，且是G的一个子群(运算在K上封闭，K中各元素有逆)，即但由前提知道K不可能是G的真子群，故必有K=G。可见S是群G的生成集。例如：下列集合都是的C={E,C,C2,C3,m,mqq}生成集:4v 444尤y日v{C,m},{C,a}{C,m},{C,a}4尤 4日4y4v定理置换群定理关于S群：nS群中有一半偶置换和一半奇置换；n偶置换与偶置换的乘积是偶置换，奇置换与奇置换的乘积是偶置换，奇置换与偶置换的乘积是奇置换；全体偶置换构成Sn群的子群，称为n次交代群。置换群的概念不仅可用于全同对象系统，实际上对任何有限群有下列结论：定理1.8任何有限群总同构于Sn群的一个子群。例1.19写出与C={E,C,C2,C3,m,m,a,a}群同构的置换群。4v 444尤y日v解：将4个顶点标记为a,b,c,△顶点所在的空间位置标记为1，2,3,4。则群中每一个对称操作对应一个置换:'12