河北中考数学复习 第9讲　平面直角坐标系与函数的认识

5/5第三章函数第9讲平面直角坐标系与函数的认识1.(2019,河北)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．轮船在静水中的速度为15km/h,水流速度为5km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地,在乙地停留一段时间后,又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h),航行的路程为s(km),那么s关于t的函数图象大致是(C)ABCD【解析】航行过程分三段,且第二段停留,此时s值不变,即图象与x轴平行,应选项D错误．无论速度快慢,路程都随时间的增大而增大,所以第一、三段图象都应是向上的趋势,应选项A错误．从甲地到乙地顺水航行,从乙地返回到甲地逆水航行,所以第一段图象比第三段倾斜程度更陡一些,应选项B错误,选项C正确．2.(2019,河北)如图,在矩形中截取两个相同的圆柱的上、下底面,剩余的矩形作为圆柱的侧面,刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x,那么y关于x的函数图象大致是(A)第2题图ABCD【解析】由题意,得y－eq\f(x,2)＝eq\f(π,2)x,即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(1,2)))x.3.(2019,河北,导学号5892921)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE＝EF＝FB＝5,DE＝12,动点P从点A出发,沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为ts,y＝S△EPF,那么y关于t的函数图象大致是(A)第3题图ABCD【解析】在Rt△ADE中,AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝13.在Rt△CFB中,BC＝eq\r(BF2＋CF2)＝13.①当点P在AD上运动时,如答图①,过点P作PM⊥AB于点M,那么PM＝AP·sinA＝eq\f(12,13)t,此时y＝eq\f(1,2)EF·PM＝eq\f(30,13)t,为一次函数．②当点P在DC上运动时,y＝eq\f(1,2)EF·DE＝30.③当点P在BC上运动时,如答图②,过点P作PN⊥AB于点N,那么PN＝BP·sinB＝eq\f(12,13)(AD＋CD＋BC－t)＝eq\f(12〔31－t〕,13),那么y＝eq\f(1,2)EF·PN＝eq\f(30〔31－t〕,13),为一次函数．综上可得选项A的图象符合．第3题答图平面直角坐标系与点的坐标特征例1(2019,枣庄)在平面直角坐标系中,将点A(－1,－2)向右平移3个单位长度得到点B,那么点B关于x轴的对称点B′的坐标为(B)A.(－3,－2) B.(2,2)C.(－2,2) D.(2,－2)【解析】点A(－1,－2)向右平移3个单位长度得到点B(2,－2),点B关于x轴的对称点B′的坐标为(2,2).针对训练1(2019,沈阳)在平面直角坐标系中,点B的坐标是(4,－1),点A与点B关于x轴对称,那么点A的坐标是(A)A.(4,1) B.(－1,4)C.(－4,－1) D.(－1,－4)【解析】关于x轴对称的点,横坐标相等,纵坐标互为相反数.函数图象的判断与分析例2(2019,达州)如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,那么以下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的图象大致是(D)例2题图ABCD【解析】铁块完全浸没在水中时,y应是重力与浮力的差,且保持不变；铁块从露出水面到完全离开水面的过程中,所受浮力减小,故y值增大；铁块完全离开水面后,y值等于重力,保持不变.针对训练2(2019,衢州)星期天,小明上午8：00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家．他离家的距离y(km)与时间t(min)之间的关系如下图,那么上午8：45小明离家的距离是1.5km.训练2题图【解析】分析图象,可知图书馆距小明家2km,他回程的速度是2÷20＝0.1(km/min),所以上午8：45他距家2－0.1×5＝1.5(km).函数自变量的取值范围例3(2019,恩施州)函数y＝eq\f(\r(2x＋1),x－3)的自变量x的取值范围是(x≥－eq\f(1,2)且x≠3).【解析】使式子有意义的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥0,,x－3≠0.))解得x≥－eq\f(1,2)且x≠3.针对训练3(2019,岳阳)函数y＝eq\r(x－3)中,自变量x的取值范围是(C)A.x＞3 B.x≠3C.x≥3 D.x≥0【解析】根据二次根式有意义的条件,得x－3≥0.解得x≥3.一、选择题1.(2019,十堰模拟)以下说法中,正确的选项是(D)A.点P(3,2)到x轴的距离是3B.在平面直角坐标系中,点(2,－3)和点(－2,3)表示同一个点C.假设y＝0,那么点M(x,y)在y轴上D.在平面直角坐标系中,第三象限内点的横坐标与纵坐标同号【解析】A.点P(3,2)到x轴的距离是2,故此选项错误．B.在平面直角坐标系中,点(2,－3)和点(－2,3)表示不同的点,故此选项错误．C.假设y＝0,那么点M(x,y)在x轴上,故此选项错误．D.在平面直角坐标系中,第三象限内点的横坐标与纵坐标同为负号,故此选项正确．2.如果点P(x－4,2x＋6)在平面直角坐标系的第二象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为(C)ABCD【解析】∵点P在第二象限,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4<0,,2x＋6>0.))解得－3<x<4.3.(2019,成都)在平面直角坐标系中,点P(－3,－5)关于原点对称的点的坐标是(C)A.(3,－5) B.(－3,5)C.(3,5) D.(－3,－5)【解析】关于原点对称的两点,横坐标和纵坐标分别互为相反数．4.(2019,石家庄27中模拟)将点A(－1,2)向左平移3个单位长度得到点B,那么点B关于y轴的对称点C的坐标是(B)A.(－4,－2) B.(4,2)C.(－2,2) D.(2,－2)【解析】点A向左平移3个单位长度,那么横坐标减3,纵坐标不变,即B(－4,2)．关于y轴对称的两点,纵坐标相等,横坐标互为相反数,即C(4,2)．5.(2019,扬州改编)在平面直角坐标系的第四象限内有一点M,点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,那么点M的坐标是(B)A.(3,－4) B.(4,－3)C.(－4,3) D.(－3,4)【解析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值,点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．点在第四象限,横坐标是正数,纵坐标是负数．6.(2019,昆山一模)在平面直角坐标系中,点P(x,－x2－4x－3)所在的象限不可能是(A)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】∵－x2－4x－3＝－(x＋2)2＋1,∴当x>0时,－(x＋2)2＋1<－3<0.∴点P所在的象限不可能是第一象限．7.(2019,内江)函数y＝eq\f(\r(x＋1),x－1),那么自变量x的取值范围是(B)A.－1＜x＜1 B.x≥－1且x≠1C.x≥－1 D.x≠1【解析】根据二次根式、分式有意义的条件,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,,x－1≠0.))解得x≥－1且x≠1.8.如图,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中点A(－1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),那么此函数(A)第8题图A.当－1<x＜1时,y随x的增大而增大B.当－1<x＜1时,y随x的增大而减小C.当1<x<2时,y随x的增大而增大D.当2<x<6时,y随x的增大而减小【解析】观察图象的变化趋势可得结论．9.(2019,潍坊)如图,菱形ABCD的边长是4cm,∠B＝60°,动点P以1cm/s的速度自点A出发沿AB方向运动至点B停止,动点Q以2cm/s的速度自点B出发沿折线BCD运动至点D停止．假设点P,Q同时出发运动了ts,记△BPQ的面积为Scm2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是(D)第9题图ABCD【解析】当0≤t<2时,S＝eq\f(1,2)×2t·eq\f(\r(3),2)×(4－t)＝－eq\f(\r(3),2)t2＋2eq\r(3)t.当2≤t≤4时,S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)·(4－t)＝－eq\r(3)t＋4eq\r(3).只有选项D的图象符合．10.定义新运算：a*b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1〔a≤b〕,,－\f(a,b)〔a＞b且b≠0〕,))那么函数y＝3*x的图象大致是(B)ABCD【解析】根据新运算,可知y＝3*x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－1〔3≤x〕,,－\f(3,x)〔3＞x且x≠0〕.))①当x≥3时,此函数解析式为y＝2,函数图象在第一象限,是以(3,2)为端点平行于x轴的射线,故可排除选项C,D.②当x<3且x≠0时,此函数是反比例函数,图象位于第二、四象限,可排除选项A.11.(2019,石家庄新华区二模)定义新运算：a⊕b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＋b〔a≤b〕,,b－a2〔a＞b〕,))那么函数y＝x⊕1的图象大致是(A)ABCD【解析】根据新运算,可知y＝x⊕1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＋1〔x≤1〕,,1－x2〔x＞1〕.))①当x>1时,此函数解析式为y＝1－x2,函数图象在第四象限．②当x≤1时,此函数解析式为y＝1＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)),图象在第一、二象限．二、填空题12.(2019,新疆)点(－1,2)所在的象限是第二象限．【解析】横坐标是负数、纵坐标是正数的点在第二象限．13.(2019,临安)点P(3,－4)到x轴的距离是4.【解析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值．14.(2019,宿迁)在平面直角坐标系中,将点(3,－2)先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,那么所得的点的坐标是(5,1)．【解析】由题意,得所得点的坐标为(3＋2,－2＋3),即(5,1)．15.(2019,枣庄,导学号5892921)如图①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图②是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线局部的最低点,那么△ABC的面积是12.第15题图【解析】根据图象可知点P在BC上运动时,BP的长度不断增大,且BP的最大值为5,即BC＝5.∵M是曲线局部的最低点,∴此时BP最短,即当BP⊥AC时,BP＝4.∴由勾股定理,可知此时PC＝3.∵图象的曲线局部是轴对称图形,∴此时PA＝3.∴AC＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×6＝12.三、解答题16.(2019,嘉兴)小红帮弟弟荡秋千(如图①),秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示．(1)根据函数的定义,请判断变量h是否为关于t的函数？(2)结合图象答复：①求当t＝0.7时,h的值,并说明它的实际意义；②秋千摆动第一个来回需多少时间？第16题图【思路分析】(1)根据图象和函数的定义可以解答．(2)①根据函数图象可以解答此题．②根据函数图象中的数据可以解答此题．解：(1)由图象,可知对于每一个摆动时间t,h都有唯一确定的值与其对应,∴变量h是关于t的函数．(2)①由函数图象,可知当t＝0.7时,h＝0.5.它的实际意义是当摆动时间为0.7s时,秋千离地面的高度是0.5m.②由图象,可知秋千摆动第一个来回需2.8s.1.(2019,潍坊)在平面内,由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图,在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径,点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即P(3,60°)或P(3,－300°)或P(3,420°)等,那么点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的选项是(D)第1题图A.Q(3,240°) B.Q(3,－120°)C.Q(3,600°) D.Q(3,－500°)【解析】∵P(3,60°)或P(3,－300°)或P(3,420°),点P与点Q关于点O成中心对称,∴点Q的极坐标为(3,240°)或(3,－120°)或