用样本估计总体

关于用样本估计总体第一页，共四十三页，2022年，8月28日1.5.1用样本估计总体第二页，共四十三页，2022年，8月28日教学目标1、知识与技能：

（1）

通过实例体会分布的意义和作用.（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.

2、过程与方法：

通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.

3、情感态度与价值观：

通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.第三页，共四十三页，2022年，8月28日知识探究（一）：频率分布表

【问题】

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：第四页，共四十三页，2022年，8月28日3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2第五页，共四十三页，2022年，8月28日思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？0.2～4.3（）÷0.5=8.2第六页，共四十三页，2022年，8月28日思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5].第七页，共四十三页，2022年，8月28日

分组频数累计频数频率

[0，0.5）40.04[0.5，1）正

80.08[1，1.5）正正正

150.15[1.5，2）正正正正

220.22[2，2.5）正正正正正

250.25[2.5，3）正正

140.14[3，3.5）正一

60.06[3.5，4）40.04[4，4.5]20.02

合计1001.00第八页，共四十三页，2022年，8月28日思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？

用样本的频率分布估计总体分布.第九页，共四十三页，2022年，8月28日思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3.思考7：在实际中，取a=3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？分组时，组距的大小可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进行评价的.第十页，共四十三页，2022年，8月28日思考8：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？了解：对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分组数一般在（1+3.3lgn）附近选取.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？第十一页，共四十三页，2022年，8月28日思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？第一步，求极差.（极差=样本数据中最大值与最小值的差）第二步，决定组距与组数.（设k=极差÷组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=k+1）

第三步，确定分点，将数据分组.第四步，统计频数，计算频率，制成表格.（频数=样本数据落在各小组内的个数，频率=频数÷样本容量）第十二页，共四十三页，2022年，8月28日知识探究（二）：频率分布直方图思考1：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O第十三页，共四十三页，2022年，8月28日上图称为频率分布直方图，其中横轴表示月均用水量，纵轴表示频率/组距.频率分布直方图中各小长方形的和高度在数量上有何特点？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O宽度：组距高度：频率组距第十四页，共四十三页，2022年，8月28日思考2：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O各小长方形的面积=频率各小长方形的面积之和=1第十五页，共四十三页，2022年，8月28日思考3：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O第十六页，共四十三页，2022年，8月28日（1）居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O（2）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少；（3）居民月均用水量的分布有一定的对称性等.第十七页，共四十三页，2022年，8月28日思考4：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？

第一步，画平面直角坐标系.第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.第十八页，共四十三页，2022年，8月28日思考5：对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关？在居民月均用水量样本中，你能以1为组距画频率分布直方图吗？

与分组数（或组距）及坐标系的单位长度有关.月均用水量/t频率组距0.40.30.20.112345O第十九页，共四十三页，2022年，8月28日理论迁移

例1某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：

42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，

40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，

48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，

42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，

53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例约是多少.题型一频率分布直方图的画法及应用第二十页，共四十三页，2022年，8月28日(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.

分组频数频率

[27，32）30.06[32，37）30.06[37，42）90.18[42，47）160.32[47，52）70.14[52，57）50.10[57，62）40.08[62，67）30.06

合计501.00样本频率分布表：第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日（2）样本频率分布直方图：年龄0.060.050.040.030.020.01273237424752576267频率组距O（3）因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7，故年龄在32～52岁的知识分子约占70%.第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日将直方图各块顶端中点连线你会发现什么呢？：年龄0.060.050.040.030.020.01273237424752576267频率组距O思考：若组距取得越小，则频率折线的光滑程度会怎样？越光滑频率分布折线图第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日如果样本容量足够大，分组的组距取得足够小，则频率折线图将趋于一条光滑的曲线：年龄0.060.050.040.030.020.01273237424752576267频率组距O总体密度曲线第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日

调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171

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161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．解

(1)最低身高151cm，最高身高180cm，它们的差是180－151＝29(cm)，即极差为29cm；确定组距为3，组数为10，列表如下：【训练1】第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日(2)频率分布直方图如图所示．第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48.【例2】题型二频率分布折线图的画法及应用第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日解

(1)以4为组距，列频率分布表如下：第三十页，共四十三页，2022年，8月28日频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．(2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日

50辆汽车经过某一段公路的时速记录如图所示：将其分成7组并要求：(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)根据上述结果，估计汽车时速在哪组的概率最大？【训练2】第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日解

(1)由茎叶图知，数据最大值为33，最小值为13，分为7组，组距为3，则频率分布表为：第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示：(3)汽车时速在[21.5，24.5)内的频率最大，为0.22.第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日

(12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：【例3】题型三图形信息题第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；(2)补全频率分布直方图；(3)若成绩在75.5分～85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日审题指导

本题考查了频率分布直方图的相关知识，将图形中的信息转化为我们需要的信息，这是利用图形解题的关键，也是转化化归思想的重要体现．[规范解答](1)频率分布表如下：

4分第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日(2)频率分布直方图如图所示．

第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日所以成绩在75.5分～80.5分的学生频率为0.1，成绩在80.5分～90.5分的学生频率为0.32.所以成绩在80.5分～85.5分的学生频率为0.16，所以成绩在75.5分～85.5分的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人). 12分【题后反思】(1)在频