随机数学课件：1-3节 条件概率

引例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，从中任取一件，记A={取到一件合格品}， B={取到一件优质品}。则P(A)=90%而P(B)=85.5%

§3条件概率

3.1条件概率与乘法公式记：P(B|A)=95%P(A)=0.90是将整批产品记作1时A的测度P(B|A)=0.95是将合格品记作1时B的测度由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率分析：

BA

设A、B为两事件,P(A)>0,则称

为事件

A

发生的条件下事件

B

发生的条件概率，记为定义3.1条件概率也是概率,故具有概率的性质：2.性质(请自行证明）说明：1.条件概率P(A|B)与P(A)的区别：

每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.（1）古典概型

可用缩减样本空间法（2）其他概型

用定义与有关公式条件概率的计算方法

2)从加入条件后改变了的情况去算

1)用定义计算:P(B)>0

掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:

解法2:

解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算例2

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?

设A表示“能活20岁以上”的事件;B表示“能活25岁以上”的事件,则有解

掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.解设事件A为“两颗点数之和为7”,事件B为“一颗点数为1”.故所求概率为掷骰子试验两颗点数之和为7的种数为6,其中有一颗为1点的种数为2,课堂练习：4.乘法定理(公式）例3

一批零件共100件，次品率10%，接连两次从这批产品中任取一个，不放回，求第二次才取得正品的概率．

解设表示事件“第一次取次品”，表示事件“第二次取正品”，则表示事件“直到第二次才取得正品”．其概率为

五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解则有课堂练习：抓阄是否与次序有关?

依此类推故抓阄与次序无关.1.样本空间的划分—完备事件组二、全概率公式与贝叶斯公式2.全概率公式全概率公式图示证明化整为零各个击破*全概率公式可由以下框图表示： 设P(Aj)=pj,P(B|Aj)=qj,j=1,2,…,n

易知：SP1P2Pn...A2A1An...q2q1qnB说明

全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.例4

设袋中有4只白球,2只红球,(1)无放回随机地抽取两次,每次取一球,求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率?(2)若无放回的抽取3次,每次抽取一球,求(a)第一次是白球的情况下,第二次与第三次均是白球的概率?(b)第一次与第二次均是白球的情况下,第三次是白球的概率?解则有例5

有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例6

设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱,3箱,2箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率.

设A为事件“取得的产品为正品”,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知解故称此为贝叶斯公式.

3.贝叶斯公式证明[证毕]Bayes中概率是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.条件概率叫做后验概率.先验概率与后验概率例7解(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得解例8由贝叶斯公式得所求概率为若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解例9由贝叶斯公式得所求概率为

例10

在电报通讯中，发送端发出的信号是由“·”和“-”两种信号组合的序列．由于受到随机干扰，接收端收到的是“·”、“-”和“不清”三种信号．假设发送“·”、“-”的概率分别为0.6和0.4；在发“·”时，收到“·”、“-”和“不清”的概率分别为0.7、0.1和0.2；在发“-”时，收到“·”、“-”和“不清”的概率分别为0.1、0.8和0.1．求：(1)在任意发出一个信号后，收到“·”、“-”和“不清”的概率；(2)在已知收到“不清”的条件下，问原发送信号是“·”或“-”的概率各为多少？（书P26例3.8）

解设和分别表示事件“发送‘·’和‘-’”，表示收到“·”，表示“收到”“-”，表示收到“不清”．(1)

(2)