工科数学分析第七章习题

【例7-1】（平面薄板的质量问题）设有一质量非均匀分布的薄板，将其置于xOy平面上，它所占有的区域为D(图7-1),在D上任一点P(x,y)处的面密度为这里且在D上连续.OxyD（图7-1）把区域D任意分划为n个小区域(i=1,2,…,n)，同时表示该小区域的面积.由于连续，因此薄板在每个小区域上的质量可以近似的看做均匀分布.在每个上任取一点，则该小区域质量的近似值为从而整个薄板质量m的近似值为记，所谓的直径指的是上任意两点间距离的最大值.当d→

0时，每个的面积将趋于零，并且小区域的数目无限增大，上述近似值就无限接近薄板的实际质量.因此可以把上面和式的极限规定为薄板的质量，即【例7-2】计算，其中D由y轴、直线y=1及抛物线围成.【例7-3】计算，其中D是由曲线所围成的闭区域.Oxyy=x2D1（图7-8）（图7-9）Oxy2ABD-11【例7-4】计算，其中D由x轴、直线x=1和y=x围成（图7-10）.Oxyy=xD1（图7-10）1【例7-5】计算，其中D是下半圆域（图7-11）.（图7-11）Oxy2D-2【例7-6】设D是xOy平面上以曲线y=x3,直线x=-1和y=1所围成的闭区域（图7-12）,求y=x3D1（图7-12）Oxy1-11D2D3D4（图7-17）Oxy12【例7-7】计算其中D是圆环域（图7-17）.【例7-8】把二重积分化作在极坐标系下的累次积分，其中D是由直线y=x,y=2x及曲线x2+y2=4x,x2+y2=8x所围成的平面区域（图7-18）.（图7-18）Oxy4【例7-9】求双纽线(x2+y2)2=2a2(x2-y2)(a>0)（图7-19）所围区域的面积.（图7-19）OxyD【例7-10】（1）计算二重积分其中D是1/4圆域

（2）利用（1）的结果求反常积分（图7-20）OxyD1aD2D3【例7-11】求球体被圆柱面所截得含在圆柱面内的立体体积V.（图7-22）OxyD（图7-21）OxyzRRR【例7-12】计算，其中D是由曲线xy=1,xy=2,y=x及y=4x在第一象限围成的区域（图7-23）.（图7-23）OxyDy=xy=4xxy=2xy=1（图7-24）Oxy1142【例7-13】计算，其中D为椭圆域：【例7-14】计算，其中V是由平面x+y+z=1和三个坐标面围成的闭区域.Oxyz111z=1-x-yy=1-xDxy（图7-26）【例7-15】计算,其中Oxyz111Dxy-1-1（图7-27）Oxyz（图7-28）czd【例7-16】计算

其中V是由平面z=x+y

,x=0,y=0,z=所围成的立体（图7-29）.（图7-29）zOxyzDz【例7-17】已知椭球V：，其密度

，求该椭球体的质量m.【例7-18】计算，其中V是由锥面及平面z=1围成的区域（图7-33）.（图7-33）1OxyzD1-1-11【例7-19】计算其中V是由曲线绕z轴旋转一周所得曲面与平面z=2围成的空间区域（图7-34）.（图7-34）Oxyz2【例7-20】计算其中V由曲面和围成（图7-37）.（图7-37）OxyzR【例7-21】计算其中【例7-22】计算其中V为球体在第一卦限的部分.【例7-23】求抛物面z=x2+2y2与z=6-2x2-y2所围立体（图7-38）的体积.（图7-38）DxyxyzO【例7-24】求几何体（a、b、c均为正数）的体积.【例7-25】计算曲线积分，其中L为圆心在(R,0)，半径为R的上半圆周（图7-39）.OxyR2Rt（图7-39）【例7-26】计算，其中L以A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)为顶点的三角形边界（图7-40）.这里记号表示积分是在闭合曲线L上进行.OxyA(1,0)（图7-40）B(1,1)C(0,1)【例7-27】计算，其中L为螺线x=cost,y=sint

,z=t上对应于t从0到1的一段弧.【例7-28】计算，其中L圆：【例7-29】设椭圆柱面被平面z=y及z=0所截.求位于第一、二卦限内所截下部分的侧面积（图7-42）.（图7-42）O3yzx【例7-30】求球面介于平面z=h（0<h<R）和平面z=0之间的部分的面积.【例7-31】计算其中S是锥面被柱面所截下部分（图7-44）.Oxyza2aDxy（图7-44）【例7-32】计算其中S是由圆柱面，平面z=0和z-x=R所围立体的表面（图7-45）.记号表示积分在闭曲面S上进行．OxyzS1S2S3DxzDxy（图7-45）【例7-33】一颗地球同步轨道通讯卫星的轨道位于地球赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在填空不动．已知地球半径为R，卫星离地面的高度为h（h为定值），计算一颗通讯卫星所覆盖地球表面的面积S．地球ORzyxhS赤道卫星（图7-46）【例7-34】设有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为cm，时间单位为h），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数0.9），问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时？【例7-35】求均匀半球面的质心坐标．【例7-36】有一半径为a的均质半球体V1，在其大圆上拼接一个材料相同的半径为a的圆柱V2，问圆柱体的高为多少时，拼接后的立体V的质心恰好在球心处．OV2V1xaayzh（图7-47）【例7-37】求曲线关于z轴的转动惯量（设线密度）．【例7-38】计算半径为R，圆心角为的圆弧L对它的对称轴的转动惯量（设线密度）．OxyLR（图7-48）【例7-39】设有一半径为R，密度为常数的圆板，在板的中心垂线上有一质量为1的质点M0，M0距板中心的距离为h．求圆板对该质点的引力．（图7-49）OM0(0,0,h)yzxDRRrM

(x,y,0)【例7-40】（空气的总质量为多少）地球大气层中空气的密度随海拔高度的增加而减少，若地球上空距地球中心为（>R，R为地球半径）处，空气密度，这里是地球表面处空气密度，K为常数，和K均可通过测量获得．试证明，地球上空空气总质量约为【例7-41】在研究山脉形成时，地质学家要计算从海平面耸起一座三所作的功．假定日本的富士山形如一个半径为19km，高为4km的直圆锥体，密度为常数3200kg/m3，那么从最初海平面上的一块陆地变为现在的富士山需作多少功？

【例7-42】（飓风的能量有多大）一个简化的飓风模型：假定风速只取单纯的圆周方向，其大小为在此假设下，求飓风运动的全部能量，并问在哪一位置风速具有最大值？其中(r,z)是柱面坐标，,h,a为常数，为飓风的角速度，a为飓风风眼的半径，h为等温大气高度．以海平面飓风中心处为坐标原点，大气密度这里为地面大气密度，假定其为常数．【例7-43】1696年伯努利提出了一个著名问题：确定一条从A到B的曲线（点B在点A的下方，但不在正下方），使得一颗珠子在重力的作用下，沿着这条曲线从点A滑到点B所用的时间最短．这就是著名的最速下降线问题，它是对变分学发展有着巨大影响的三大问题之一．这个问题在1697年就得到了解决，牛顿、莱布尼兹、