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文档简介

第二节数列的极限一、数列本节要点二、极限的描述三、极限的定义四、极限的几何意义五、例六、数列极限的性质一、数列记为.

由定义,对每个正整数,数列都确定了一个相应的实数

,这些可按下标从小到大依次排成一个序列正整数集

上的函数称为数列.注意记号例1

数列中的第

个数又称为数列的第项,又叫作一般项.一般项一般项一般项一般项例2例3例4对于数列,我们所关心的主要问题是当

无限增大时,数列的变化趋势是如何的?特别地,是否无限地接近于某个定数?在中学里我们已经知道,对于一个数列如果当无限增大时,无限接近于某个数我们就称数列的极限就是并记作二、极限的描述

在上面的这些例中,我们发现例1、2、3都有明确的变化趋势.例1中,例2中例3中

上面仅仅是通过观察的方法得到数列的极限.如何用定量化的数学方法来刻画数列的极限？从本质上看,数某一个定数充分接近.列的极限反映了数列当

趋于无穷大时,数列中的项和对数列

我们知道:两个数

和

的接近程度可用两数差的绝只要

即可.即从第101项开始的以后所有项都满对值来刻画.大,足这一要求.故只要

充分就充分小.例如要使再如,要使一般:要使只要

即可.即从第项开始的以后所有只要

即可.即从第10001项开始的以后所有项都满足这一要求.项都满足这一要求.对上例的分析,可以看到,无论一个正数取得多么小,总可以找到自然数N,

在这项以后的所有项与1的距离都可以小于该数.数学上用来表示一个任意小的正数.由此引入极限的精确定义.三、极限的定义定义设数列如果存在常数使得对任意给定的正数（不论它多么小）,总存在自然数

只要都成立,那么称常数

是数列的极限,或则称数列收敛于不等式记为又记为如果这样的常数

不存在,就说数列没有极限,或称数注定义中的自然数

,实际上是某一项下标的序号,注定义中的正数

是一个任意小的数,不能把它和一列是发散的.个很小的数混为一谈.表示自该项以后的所有项.四、极限的几何意义

设数列收敛于

,则由定义,对任意给定的正数

,一定存在正整数

当时,所有的都落在aa+

a-

x1x2x3xN+1xN+2xN+3xNx一个以

为中心,

为半径的邻域中.五、例数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法:即对给定的任意正数

,去寻找满足不等式的.寻找办法是从经过不等式的变形,逐步解出

.例5证明数列要使证记取,则当

时,有的极限是1.则对任意的所以例6证明证任取因故取,则当时,有即例7证明取,则当时,有证任取因所以所以例8设

证明.欲使即取当时,有证任取因取整六、数列极限的性质收敛的数列有很多重要性质,对这些性质,大家更要从几何直观上加以理解和把握.定理1（极限的惟一性）如果数列收敛,则极限是惟一的.证由定义,取

设当时有因为故今证设同理,

当时有取则当时有,所以矛盾!惟一性的几何解释属于两个不交的集合定理2（收敛数列的有界性）如果数列收敛,则数列一定有界.证设由定义,对存在当时,有令则对于任意的总有有界了吗?因而数列有界.定理3（收敛数列的保号性）如果则一定存在正整数且当时有证设由极限定义知存在当时有在数列中,任意抽取无限多项,并保持这些

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